Alg`ebre - Exercice proposé n 9 `A afficher le 30/04/04

Algèbre - Exercice proposé n◦ 9
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Avez-vous déjà entendu parler de la preuve par 9 ?
Celle-ci est parfois encore enseignée dans certaines écoles primaires pour vérifier les résultats de
calculs écrits.
Considérons la multiplication 123 × 777 = 95571. Pour vérifier ce résultat, on trace d’abord une
croix en forme de X définissant quatre cases que l’on remplit de la façon suivante.
– On porte dans les cases de gauche et de droite les restes des divisions par 9 des sommes des
chiffres composant les deux facteurs. Ici, on obtient 6 et 3.
– Dans la case du haut, on porte le reste de la division par 9 de la somme des chiffres composant
le produit, soit 0.
– Dans la case du bas, on indique le reste de la division par 9 du produit des chiffres inscrits dans
les cases gauche et droite. Dans l’exemple considéré, on trouve 0.
0
6
3
0
Si le résultat de l’opération initiale est correcte, les chiffres des cases du haut et du bas sont
égaux. C’est le cas ici.
a) Expliquez pourquoi la preuve par 9 fonctionne.
b) La “preuve par 9” constitue-t-elle une preuve valable de l’exactitude du produit ?
c) Peut-on généraliser la preuve par 9 en utilisant d’autres nombres que 9 ?
Solution
a) Expliquez pourquoi la preuve par 9 fonctionne.
i. Démontrons d’abord que le reste de la division par 9 d’un nombre entier N est égal au
reste de la division par 9 du nombre obtenu en sommant les chiffres qui composent N.
Soit N qui s’écrit an an−1 ...a0 et comprend donc n + 1 chiffres ai .
n
N = a0 100 + a1 101 + ... + an 10n = ∑ ai 10i
i=0
Nous pouvons donc écrire
1
n
N ≡ ∑ ai 10i (mod 9)
i=0
n
≡ ∑ ai (9 + 1)i (mod 9)
i=0
n
≡ ∑ ai 1 +Ci1 9 +Ci2 92 + ... +Cii−1 9i−1 + 9i (mod 9)
i=0
n
≡ ∑ ai (mod 9)
i=0
où on a utilisé l’expression du binôme de Newton :
(x + a)n =
n
∑ Cnj x j an− j
j=0
ainsi que le résultat évident α9k ≡ 0 (mod 9) pour tout α entier.
ii. Il nous reste à montrer que la preuve par 9 fonctionne. Considérons la multiplication
AB = C et un naturel quelconque n. Si a, b, c et r désignent respectivement les restes de
la division des facteurs A et B, du résultat C et de ab par n alors
A ≡ a (mod n)
B ≡ b (mod n)
C ≡ c (mod n)
ab ≡ r (mod n)
Utilisant le résultat (8.25) démontré dans les notes de cours. il vient
AB ≡ ab (mod n)
≡ r (mod n)
≡ c (mod n)
Puisque 0 ≤ r, c < n et que r et c sont congrus modulo n, on doit avoir r = c.
c
a
b
r
Si le résultat est correct, la preuve fonctionne (r = c) et ce, quel que soit n, c’est-à-dire en
particulier pour n = 9.
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b) La “preuve par 9” constitue-t-elle une preuve valable de l’exactitude du produit ?
Non, il s’agit simplement d’une condition nécessaire que doit remplir le résultat. Il suffit que le
reste de la division par 9 du résultat soit égal au reste de la division par 9 du produit des restes
de la division par 9 des deux facteurs pour que cela fonctionne. En particulier, changer l’ordre
des chiffres dans un des deux facteurs, ou les deux, ne change rien à la preuve par 9 alors que
le résultat de la multiplication doit être différent.
c) Peut-on généraliser la preuve par 9 en utilisant d’autres nombres que 9 ?
Oui, le résultat obtenu en a) ii est valable avec un naturel n quelconque.
Cependant, l’intérêt de prendre n = 9 est double.
i. D’une part, il est aisé d’évaluer le reste de la division d’un nombre par 9 puisqu’il suffit
de prendre le reste de la division par 9 de la somme des chiffres qui le composent, ce qui
n’est pas vrai pour n quelconque.
ii. D’autre part, plus l’entier n est grand, moins il y a de risque que la preuve fonctionne alors
que le résultat est faux. Par exemple, pour n = 2, il suffit que le résultat ait la bonne parité
pour que la preuve fonctionne (1 chance sur 2). En général, il y a une chance sur n pour
que la preuve fonctionne puisqu’il y a n possibilités de restes différents pour le résultat de
la division d’un nombre par n.
La preuve par 11 est également pratique, le reste de la division d’un entier par 11 étant très
facilement évalué.
Il y a aussi moyen de généraliser la preuve par 9 aux opérations d’addition et de soustraction
(cf. formule (8.25) des notes de cours pour l’addition).
Mathématiques générales, FSA, ULg. Avril 2004
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