Equilibrage d`une roue.

Equilibrage d’une roue.
Présentation du problème :
Un des problèmes essentiels dans la fabrication ou la mise au point des mécanismes est l’équilibrage dynamique des solides
tournant autour d’un axe ( roue de véhicule, vilebrequin de moteur, rotor d’hélicoptère...). Cela, afin d’éviter les vibrations dues
à des effets parasites pouvant entraîner une détérioration rapide des paliers et avoir des conséquences graves sur le
comportement des mécanismes.
Compléments de cours :
Equilibrage statique : soit un solide en liaison pivot par rapport à un bâti. On dira qu’il y a
équilibre statique si le solide peut rester immobile dans toutes les positions en rotation. On
vérifiera qu’il suffit que le centre d’inertie soit sur l’axe de rotation du solide.
Equilibrage dynamique : pour avoir équilibrage dynamique pour le même solide, il faut rendre les
actions mécaniques (force et moment) de la liaison pivot aussi constante que possible, en
particulier, indépendante de la position, de la vitesse et de l’accélération angulaire par rapport au
bâti.
D’une façon imagée, la figure ci-dessous représente un solide non équilibré, un solide équilibré
statiquement mais non dynamiquement et un solide équilibré dynamiquement :
I. Etude préliminaire :
z0
z
1
0
O
G
θ
x0
y0
Soit un bâti 0 auquel est lié le repère galiléen
liaison pivot sans frottement d’axe
Soit
y
R0 (O, x0 , y0 , z 0 ) . Un solide 1, de masse m et de centre d’inertie G, a une
(O, x0 ) avec le bâti 0 (figure ci-dessus).
R(O, x0 , y, z ) un repère lié au solide 1, tel que le centre d’inertie G se trouve dans le plan (O, x0 , y ) .
On pose :
DM n°5 PSI* décembre 2014
θ = (y0 , y )
OG = a.x0 + b. y
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La matrice d’inertie au point O du solide 1, dans la base du repère R, est de la forme :
 A − F − E
[I O (1)] =  − F B − D
− E − D
C 
( x0 , y, z )
On néglige pour cette étude préliminaire, les actions extérieures à 1 autre que celles de la liaison pivot (notamment celle de la
pesanteur).
Les différents torseurs et vecteurs seront écrit dans la base du repère mobile R.
Questions:
1. Ecrire le torseur des actions mécaniques de 0 sur 1.
2. Ecrire la résultante cinétique de 1 par rapport à 0.
3. Ecrire le moment cinétique de 1 par rapport à 0 au point O :
σ O (1 / 0) .
4. Ecrire la résultante dynamique de 1 par rapport à 0.
5. Ecrire le moment dynamique de 1 par rapport à 0 au point O :
δ O (1 / 0) .
6. Ecrire les 6 équations du principe fondamental de la dynamique appliqué au solide 1. En déduire les actions mécaniques de 0
sur 1.
7. Pour avoir équilibrages statique et dynamique, il faut que les actions de 0 sur 1 soient constantes. En déduire que les
conditions pour avoir équilibres statique et dynamique, il faut : b = 0, E = 0 et F = 0.
II. Equilibrage d’une roue de voiture :
Les vitesses élevées auxquelles roulent les voitures actuelles ne peuvent être atteintes dans de bonnes conditions de confort et
de sécurité, que si les véhicules sont exempts de vibrations.
L’équilibreuse de roue permet d’annuler les vibrations provenant d’une différence de répartitions de masse d’une roue
(ensemble pneu-jante), généralement due à un petit écart de répartition de gomme sur le pneumatique, mais pas les vibrations
ayant une origine géométrique, comme un voile de la roue, une déformation de la bande de roulement, un faux rond au roulage,
un mauvais centrage du pneu sur la jante...
L’équilibreuse étudiée permet l’équilibrage des roues démontées. Elle est constituée d’un arbre 1 guidé en rotation par deux
paliers à roulement en O et A (figure 1). Ces paliers en liaison élastique avec le bâti 0, dans une seule direction à l’aide de deux
lames flexibles, permettent l’enregistrement des composantes horizontales des résultantes d’action mécanique dans les paliers à
roulement, par l’intermédiaire de deux capteurs couplés à un repérage de la position angulaire de l’arbre 1.
Soit le bâti 0 de l’équilibreuse auquel est lié le repère galiléen
R0 (O, x0 , y0 , z 0 ) . Le vecteur g est porté par − y 0 (Pour
cette étude, on ne néglige plus la pesanteur).
L’arbre 1 de l’équilibreuse a une liaison pivot sans frottement d’axe
(O, x0 )
avec le bâti 0, réalisée par deux paliers à
roulement, que l’on peut schématiser par une liaison rotule de centre O et une liaison linéaire annulaire de centre A et de
→
direction
Le repère
x0 , telle que : OA = −a.x0 .
R1 (O, x0 , y1 , z1 ) est lié à l’axe 1. On pose : θ = ( y 0 , y1 ) avec θɺ = ω , constante positive.
L’arbre 1 est entraîné à vitesse angulaire constante par un système poulie-courroie. La poulie est fixée au centre d’inertie G1 de
→
l’arbre 1, tel que OG1 = −d .x0 .
Le torseur d’action mécanique de la courroie sur la poulie est de la forme :
{ℑ } =
c→ p
−T . y0 


C .x
G1  m 0 
L’arbre 1 (avec la poulie), de masse m1 , a pour moment d’inertie I1 par rapport à l’axe
(O, x0 ) . Cet arbre est dynamiquement
équilibré en rotation.
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La roue 2 à équilibrer est fixée à l’arbre 1 de l’équilibreuse. Le repère
R2 (B, x0 , y2 , z 2 ) est lié à la roue 2, tel que :
OB = b.x0 . et α = ( y1 , y2 ) , angle constant mais a priori inconnu.
La roue 2, de masse m2 , a pour centre d’inertie G2 , dont la position est donnée par :
BG2 = h.x0 + ρ .z2
h et ρ étant inconnues.
La matrice d’inertie de la roue 2, au point B dans la base
(x0 , y2 , z2 ) , est de la forme :
 A − F − E
[IB (2)] =  − F B − D
− E − D
C 
( x0 , y2 , z2 )
Première partie. Détermination des actions mécaniques dans les paliers.
Cette partie permet en fonction des résultats de l’équilibreuse :
→ de connaître les actions dans les paliers.
→ et d’en déduire les caractéristiques d’inertie de la roue : ρ, α, E et F.
1. Donner la forme des torseurs d’actions mécaniques pour les liaisons rotule en O et linéaire annulaire en A entre 0 et 1 dans la
base R0.
Notation. Exemple XO : composante de la résultante de la liaison rotule en O.
2. Ecrire le torseur dynamique du système E = { 1 , 2 } par rapport à 0 dans la base R2 puis dans la base R0.
3. Sans faire de calcul, écrire les torseurs d’actions mécaniques extérieures à E.
4. Ecrire les équations du principe fondamental de la dynamique.
5. En déduire les expressions de X O (θ ) , YO (θ ) , YA (θ ) , Z O (θ ), Z A (θ ) .
6. On utilise deux capteurs d’efforts, l’un en O l’autre en A, situés dans un plan horizontal et couplés à un capteur angulaire de
l’arbre 1, pour mesurer les composantes suivant z 0 des résultantes d’action mécanique du bâti 0 sur l’arbre 1, notées ZO (θ) et
ZA (θ).
Les équations précédentes donne les coordonnées ρ et α du centre d’inertie G2 de la roue 2, ainsi que les produits d’inertie E et
F relatifs à l’axe (O, x0 ) en fonction de ZO (0), ZO (π/2), ZA (0) et ZA (π/2),.
Z O (π / 2) + Z A (π / 2)

tgα = − Z (0) + Z (0)
O
A


1
2
2
 ρ = m ω 2 [Z O (0) + Z A (0)] + [Z O (π / 2) + Z A (π / 2)]
2

a

 F = ω 2 [Z A (0) cosα + Z A (π / 2) sin α ]

 E = a [Z (0) sin α − Z (π / 2) cosα ] − m ρb
A
2

ω2 A
Application numérique :
m2 = 18 kg
a = 460 mm
b = 80 mm
La figure 2 fournit les courbes ZO (θ) et ZA (θ) enregistrées par les capteurs.
En déduire les valeurs numériques de ρ, α, E et F.
ω = 60 rad.s-1.
Deuxième partie. Equilibrage de la roue.
Cette permet de choisir les masselottes à placer pour équilibrer la roue.
La roue sera équilibrée avec deux masselottes 3 et 4, assimilables à des points matériels M3 et M4 de masse respective m3 et m4
, situées de part et d’autre de la jante, de telle sorte que :
BM 3 = r.u3
avec
β 3 = ( z 2 , u3 )
BM 4 = c.x0 + r.u4
avec
β 4 = (z2 , u4 )
r est le rayon de la jante et c son épaisseur.
1. Ecrire les conditions d’équilibrage dynamique de la roue 2 (utiliser les résultats de la partie préliminaire question I.7).
2. Déterminer les masses m3 et m4 des masselottes 3 et 4, ainsi que leur position β3 et β4 sur la jante. Applications numériques.
On donne : r = 190 mm et c = 180 mm.
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