Géométrie, L2 Mathématiques

Géométrie, L2 Mathématiques
Rachid Regbaoui
2
Chapitre 1
Géométrie affine plane
1.1
Plan affine
L’ensemble R2 sera muni de sa structure naturelle d’espace vectoriel réel, i.e pour tout
(x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ R2 et λ ∈ R, on a
(x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ) et λ(x1 , x2 ) = (λx1 , λx2 ).
Un vecteur de R2 sera noté par une lettre surlignée d’une flèche. Ainsi un vecteur u = (x, y) ∈ R2
−
→
→
→
→
sera noté −
u . Le vecteur nul (0, 0) sera noté par 0 . On rappelle que deux vecteurs −
u et −
v sont
−
→
−
→
−
→
→
dits colinéaires (ou parallèles) s’il existe une constante λ ∈ R telle que u = λ v ou v = λ−
u.
−
→
−
→
Dans ce cas note u k v .
Définition 1.1.1. Un plan affine est la donnée d’un ensemble E et d’une application ϕ : E×E →
−
−
→
R2 associant à chaque (A, B) ∈ E × E un vecteur ϕ(A, B) ∈ R2 noté AB vérifiant les deux
conditions suivantes :
−
−
→ −→ −−→
1) pour tout A, B, C ∈ E, on a AB = AC + CB ( Relation de Chasles)
−−
→ →
→
2) pour tout A ∈ E et tout −
u ∈ R2 , il existe un unique point B ∈ E tel que AB = −
u.
Les conditions (1) et (2) dans la définition précédente sont appelées les axiomes de la géométrie
→
affine. Dans la condition (2) on dit que le point B est le translaté du point A par le vecteur −
u
(voir figure 1). Par abus de langage l’ensemble E est appelé plan affine et ses éléments sont
appelés points.
B
b
−
→
u
A
b
−→ −
Figure 1 : AB = →
u
1
2
CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE PLANE
Exemples
1) On prend E = R2 et on définit ϕ(A, B) = B − A pour tout (A, B) ∈ E × E.
2) Soit E =]0, +∞[×]0, +∞[ et on définit ϕ : E → R2 par ϕ(A, B) = ln B − ln A, où l’on a
utilisé la notation ln(x, y) = (ln x, ln y).
La proposition suivante donne quelques propriétés qui découlent directement de la définition
1.1.1.
Proposition 1.1.1. Soit E un plan affine. Pour tout A, B ∈ E, on a
−
−
→ −
→
1) AB = 0 si et seulement si A = B.
−
−
→
−
−
→
2) AB = −BA.
−→ −
→
Démonstration. 1) Montrons tout d’abord que pour tout A ∈ E, on a AA = 0 . Par la relation
−→
−→
−→
−−
→
−
→
−
→
de Chasles on a AA = 2AA ce qui implique AA = 0 . Supposons maintenant que AB = 0 .
D’après le deuxième axiome de la géométrie affine ( condition (2) dans la définition 1.1.1) il existe
−−
→ −
−→ −
→
→
un unique point B ∈ E vérifiant AB = 0 , et comme le point A vérifie AA = 0 d’après ce qui
précéde, on a donc A = B par unicité. Pour démontrer la relation (2) de la proposition il suffit
−−
→
−
−
→
−
−
→ −
−
→ −
−→ −
→
→
de remarquer que AB = −BA si et seulement si AB + BA = 0 ce qui est équivalent à AA = 0
par la relation de Chasles. La proposition 1.1.1 est donc démontrée.
Définition 1.1.2. Soit E un plan affine, et soit D un sous-ensemble de E. On dit que D est
→
une droite affine (ou droite) si il existe un point A ∈ D et un vecteur non nul −
u ∈ R2 tel que
n
o
−−→ →
D = M ∈ E : AM k −
u .
→
Dans ce cas on dit que −
u est un vecteur directeur de D.
Remarque 1.1.1. On peut vérifier facilement en utilisant la définition précédente que si D est
→
une droite de vecteur directeur −
u , alors pour tout A ∈ D, on a
n
o
−−→ →
D = M ∈ E : AM k −
u .
→
Remarque 1.1.2. Si −
u est un vecteur directeur d’une droite D, alors tout vecteur non nul
−
→
colinéaire à u est aussi vecteur directeur de D.
Définition 1.1.3. On dit que deux droites D1 et D2 sont parallèles si elles sont confondues ou
si D1 ∩ D2 = ∅. Dans ce cas on note D1 k D2 .
Proposition 1.1.2. Deux droites du plan affine sont parallèles si et seulement si elles ont un
même vecteur directeur.
Démonstration. On peut supposer que D1 6= D2 (sinon la proposition serait triviale). Supposons
→1 , −
→2 des vecteurs directeurs de D1 et D2 respectivement.
que D1 k D2 , i.e, D1 ∩D2 = ∅, et soient −
u
u
−
→
−
→
→1 , −
→2 } serait une base de R2 . Soit
On veut montrer que u1 k u2 . Supposons le contraire, alors {−
u
u
maintenant A1 ∈ D1 et A2 ∈ D2 . Il existe donc deux réels λ1 et λ2 tels que
−−−→
→1 + λ2 −
→2 .
A1 A2 = λ1 −
u
u
(1.1)
1.1. PLAN AFFINE
3
D’après le deuxième axiome de la géométrie affine, il existe un unique point M ∈ E tel que
−−−→
→1 .
u
(1.2)
A1 M = λ1 −
On a par la relation de Chasles
−−−→ −−−→ −−−→
A2 M = A2 A1 + A1 M
ce qui implique en utilisant les relations (1.1) et (1.2) que
−−−→
−
→2 .
A2 M = −λ2 u
(1.3)
Il est clair que la relation (1.2) implique que M ∈ D1 et la relation (1.3) implique que M ∈ D2 ,
→1 k −
→2 . Supposons
contredisant ainsi le fait que D1 ∩ D2 = ∅. Nous avons donc montré que −
u
u
−
→
maintenant que D1 et D2 ont un même vecteur directeur u et montrons que D1 k D2 . Pour
cela supposons qu’il existe A ∈ D1 ∩ D2 . On a ainsi par définition d’une droite (en utilisant la
remarque 1.1.1) que
n
o
−−→ →
D1 = M ∈ E : AM k −
u
et
n
o
−−→ →
D2 = M ∈ E : AM k −
u
c’est à dire que D1 = D2 . Ceci termine la preuve de la proposition.
Proposition 1.1.3. Soit E un plan affine. Alors pour tout A ∈ E et tout vecteur non nul
−
→
→
u ∈ R2 , il existe une unique droite D passant par A et ayant −
u comme vecteur directeur.
Démonstration. Considérons l’ensemble suivant
n
o
−−→ →
D = M ∈ E : AM k −
u .
→
Par définition d’une droite D est une droite passant par A et ayant −
u comme vecteur directeur.
′
−
→
Si D est une autre droite passant par A ayant u comme vecteur directeur, alors il existe A′ ∈ D′
tel que
n
−−→ → o
D′ = M ∈ E : A′ M k −
u .
−−→ →
Comme A′ ∈ D′ , on a AA′ k −
u , ce qui implique en utilisant la définition de D et D′ que D = D′ .
D
A
b
−
→
u
−
Figure 2 : droite D passant par A et de vecteur directeur →
u
CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE PLANE
4
La proposition précédente a pour conséquence le corollaire suivant :
Corollaire 1.1.1. Soit D une droite d’un plan affine E, et soit A un point n’appartenant pas à
D. Alors il existe une unique droite passant par A et parallèle à D.
Proposition 1.1.4. Soient A et B deux points distincts d’un plan affine E. Alors il existe une
unique droite affine passant par A et B. Cette droite sera notée (AB).
−−
→
Démonstration. Remarquons tout d’abord que si une telle droite existe, elle doit avoir AB comme
vecteur directeur. On en déduit qu’une telle droite, si elle existe, est unique d’après la proposition
1.1.3. Soit maintenant D l’ensemble défini par
o
n
−
→
−−→ −
D = M ∈ E : AM k AB .
Il est clair que D est une droite affine passant par A et B. La preuve de la proposition est
complète.
Etant donnée une famille de points d’un plan affine, on dit que de tels points sont alignés s’il
existe une droite affine les contenant. D’après la proposition précédente deux points quelconques
d’un plan affine sont toujours alignés. Cette propriété n’est plus vraie en général lorsqu’il s’agit
d’au moins trois points.
Définition 1.1.4. Soient A et B deux points d’un plan affine E. On appelle segment d’etrémité
A et B l’ensemble noté [A, B] défini par
n
o
−−→
−−
→
[AB] = M ∈ E : ∃t ∈ [0, 1], AM = tAB .
B
b
A
b
Figure 3 : segment [AB]
Définition 1.1.5. Une partie A ⊂ E est dite convexe si pour tout A, B ∈ A, on a [AB] ⊂ A.
Exemples
Le plan affine E est convexe. Tout segment de E est convexe. Toute droite affine est convexe.
Un ensemble fini constitué d’au moins deux points n’est jamais convexe. Une droite privé d’un
point n’est pas convexe.
1.1. PLAN AFFINE
5
A
B
b
A
b
b
b
Figure 4 : Ensemble non convexe
B
Figure 5 : Ensemble convexe
Définition 1.1.6. Soit [AB] un segment. On appelle milieu de [AB] l’unique point I de [AB]
−
→ −→
−
−
→
vérifiant AI = IB = 21 AB.
B
I
b
b
A
b
Figure 6 : Milieu I d’un segment [AB]
Nous avons aussi la notion d’une demi-droite.
→
Définition 1.1.7. Soit A un point de E et soit −
u ∈ R2 un vecteur non nul. On appelle demi−
→
droite d’origine A et de vecteur directeur u l’ensemble
n
o
−−→
→
M ∈ E : ∃t ≥ 0, AM = t−
u .
Dans la suite, on utilisera les notations suivantes pour des droites et demi-droites. Si A ∈ E
→
→
et −
u ∈ R2 est un vecteur non nul, on notera par D(A, −
u ) la droite affine passant par A et de
+
−
→
−
→
vecteur directeur u . On notera par D (A, u ) la demi-droite d’origine A et de vecteur directeur
−
→
→
→
u . De même, on notera par D− (A, −
u ) la demi-droite d’origine A et de vecteur directeur −−
u.
Nous avons ainsi :
→
→
→
→
→
D(A, −
u ) = D+ (A, −
u ) ∪ D− (A, −
u ) et D+ (A, −
u ) ∩ D− (A, −
u ) = {A} .
La notion de demi-droite permet de définir la notion de secteur :
Définition 1.1.8. Soient D1 et D2 deux demi-droites de même origine O et de vecteurs directeurs
−
→1 et −
→2 respectivement. On appelle secteur délimité par D1 et D2 l’ensemble noté S(D1 , D2 ) défini
u
u
par
o
n
−−→
−
→1 + t2 u
−
→2 .
S(D1 , D2 ) = M ∈ E : ∃t1 , t2 ≥ 0, OM = t1 u
CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE PLANE
6
D2
S(D1 , D2 )
D1
O
b
Figure 7 : Secteur S(D1 , D2 ) délimité par D1 et D2
Exercice 1.1.1. Montrer que deux droites affines distinctes sont parallèles ou elles sont sécantes
en un point unique (elles se coupent en un point unique).
1.2
Repère affine, mesure algébrique
Dans toute la suite, E désignera un plan affine.
Définition 1.2.1. Un repère affine de E est la donnée d’un point O ∈ E, appelé origine du
→
→
→
→
repère, et d’une base { −
e1 , −
e2 } de R2 . On note par { O, −
e1 , −
e2 } ce repère.
→
→
Comme { −
e1 , −
e2 } est une base de R2 , pour tout point M ∈ E, il exsite un unique couple
(x, y) ∈ R2 tel que
−−→
→
→
OM = x−
e1 + y −
e2 .
→
→
Les nombres x et y sont appelés les coordonnées du point M dans le repère { O, −
e1 , −
e2 }.
→
→
Soit D une droite affine de E et soit { O, −
e1 , −
e2 } un repère affine. Soit A un point de D de
2
−
→
−
→
−
→
coordonnées (x0 , y0 ) et soit u = a e1 + b e2 ∈ R un vecteur directeur de D. Un point M ∈ E
−−→ →
de coordonnées (x, y) appartient à D si et seulement si AM k −
u , c’est à dire si et seulement s’il
−−→
→
existe λ ∈ R tel que AM = λ−
u , ce qui est équivalent à
b(x − x0 ) − a(y − y0 ) = 0.
→
→
Cette dernière équation s’appelle équation cartésienne de la droite D dans le repère { O, −
e1 , −
e2 }.
Inversement, il est facile de montrer que tout ensemble constitué des points M du plan affine de
coordonnées (x, y) vérifiant une équation de la forme
ax + by + c = 0,
où a, b, c sont des constantes réelles, est une droite affine.
En utlisant l’équation d’une droite on peut définir la notion d’un demi-plan affine.
1.2. REPÈRE AFFINE, MESURE ALGÉBRIQUE
7
→
Définition 1.2.2. Soit D une droite affine de vecteur directeur −
u . Soit O un point de D et
2
−
→
−
→
−
→
v ∈ R un vecteur non nul tel que l’ensemble { O, u , v } forme un repère du plan affine E. Pour
→
→
un point M ∈ E on désigne par (x, y) ces coordonnées cartésiennes dans le repère { O, −
u,−
v }.
Les deux ensembles
E + = { M ∈ E : y > 0 } et E − = { M ∈ E : y < 0 }
s’appellent demi-plans affines déterminés par la droite D. On a ainsi E = D ∪ E + ∪ E − et
E + ∩ E − = ∅.
Remarque 1.2.1. On peut démontrer (voir exercice 1.2.2 ci-dessous) que les demi-plans E + et
E − définis ci-dessus ne dépendent pas du choix du point O ∈ D ni des choix des deux vecteurs
−
→
→
u et −
v.
→
Définition 1.2.3. Soit Dune droite affine et soit −
u un vecteur directeur de D. Soient A, B ∈ D,
−
−
→
→
on appelle mesure algébrique du vecteur AB relativement à −
u l’unique nombre réel λ vérifiant
−−
→
−
→
AB = λ u . Ce nombre sera noté AB
En utilisant la relation de Chasles, on vérifie facilement que si A, B, C sont trois points alignés
de E, alors AB = AC + CB.
Remarque 1.2.2. Etant donnés deux points A et B d’une droite affine D, la mesure algébrique
−−
→
→
du vecteur AB dépent du choix du vecteur directeur −
u de D.
Proposition 1.2.1. Soient D1 et D2 deux droites parallèles de E, soient A, B deux point de D1
→
et soient C, D deux points de D2 (avec C 6= D). Soit −
u un vecteur directeur des deux droites D1
et D2 . Alors le rapport
AB
CD
−
→
est indépendant du vecteur directeur u .
Démonstration. Conséquence directe de la définition.
Lorsque D1 = D2 dans la proposition précédente on obtient le corollaire suivant :
Corollaire 1.2.1. Soient A, B, C, D quatre points d’une droite affine D tels que C 6= D. Alors
le rapport
AB
CD
est indépendant du choix du vecteur directeur de D.
La proposition suivante permet d’introduire la notion de barycentre.
CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE PLANE
8
Proposition 1.2.2. Soit A1 , A2 , ..., An une famille de points de E et soit a1 , a2 , ..., an une famille
de nombres réels tels que a1 + a2 + · · · + an 6= 0. Alors il existe un unique point G ∈ E tel que
−−→
−−→
−−→ −
→
a1 GA1 + a2 GA2 + · · · + an GAn = 0 .
Le point G s’appelle barycentre du système pondéré
{(A1 , a1 ), (A2 , a2 ), ..., (An , an )} .
Démonstration. Fixons un point O ∈ E. On a pour tout G ∈ E,
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→
−−→
a1 GA1 + a2 GA2 + · · · + an GAn = (a1 + a2 + · · · + an )GO + a1 OA1 + a2 OA2 + · · · an OAn . (2.1)
Par le deuxième axiome de la géométrie affine il exsite un unique point G ∈ E tel que
−−→
OG =
1
−−→
−−→
−−→
a1 OA1 + a2 OA2 + · · · an OAn .
a1 + a2 + · · · + an
(2.2)
Il découle de (2.1) et (2.2) que
−−→ −
−−→
−−→
→
a1 GA1 + a2 GA2 + · · · + an GAn = 0
ce qui prouve la proposition.
Lorsque a1 = a2 = · · · = an dans la proposition précédente, on dit que G est l’isobarycentre
(ou centre de gravité) des points A1 , A2 , ..., An .
Définition 1.2.4. On appelle base affine d’un plan affine E toute famille de trois points {A, B, C}
non alignés de E.
−
−
→ −→
Remarque 1.2.3. Il est facile de voir que si {A, B, C} est une base de E, alors {A, AB, AC}
est un repr̀e affine.
Dans le cas d’une base affine La proposition précédente admet une réciproque :
Proposition 1.2.3. Soit {A, B, C} une base affine de E. Alors pour tout M ∈ E, il existe trois
nombres réels a, b, c tels que M soit le barycentre du système pondéré
{(A, a), (B, b), (C, c)} .
De plus le triplet (a, b, c) est unique à une constante multiplicative près. Les nombres a, b, c s’appellent coordonnées barycentriques du point M dans la base affine {A, B, C}. Lorsqu’on impose
la condition a + b + c = 1, on dit que ces coordonnées barycentriques sont normalisées .
−
−
→ −→
Démonstration. Comme {A, B, C} est une base affine, alors {A, AB, AC} est un repère affine.
−−→
Soit M ∈ E, et soit x, y les coordonnées de M dans le repère précédent. On a alors AM =
−−
→
−→
−−→ −−→
−−→ −−→
−−→
−−→
−−→
xAB + y AC = x(AM + M B) + y(AM + M C) = (x + y)AM + xM B + y M C, ce qui implique que
M est le barycentre du sytème pondéré {(A, a), (B, b), (C, c)}, avec a = 1 − x − y, b = x, c = y.
1.3. QUELQUES FIGURES DU PLAN AFFINE
9
Soit maitenant a, b, c ∈ R avec a + b + c 6= 0 tel que M soit le barycentre du système pondéré
{(A, a), (B, b), (C, c)}, c’est à dire que l’on a
−−→
−−→
−−→ −
→
a M A + b M B + cM C = 0 .
Soit λ = a + b + c et soit a′ = λa , b′ = λb , c′ =
c
λ
. On a alors d’après ce qui précéde,
−−→
−−→
−−→ −
→
a ′ M A + b ′ M B + c′ M C = 0 ,
−
→ −−→ −−→ −→
−−→ −−→ −
et comme par la relation de Chasles on a M B = M A + AB et M C = M A + AC, on obtient
−−→
−
−
→
−→ −
→
(a′ + b′ + c′ )M A + b′ AB + c′ AC = 0 ,
ce qui donne, puisque a′ + b′ + c′ = 1,
−−→
−−
→
−→
AM = b′ AB + c′ AC
−
−
→ −→
c’est à dire que b′ = x et c′ = y (les coordonnées du point M dans le repère {A, AB, AC} ).
Ainsi on a montré que
(a, b, c) = λ(1 − x − y, x, y).
La démonstration de la proposition est ainsi complète.
Exercice 1.2.1. (segment d’or) Soit [A, B] un segment de E. Trouver un point M ∈ [A, B] tel
que
AM
MB
=
.
AB
AM
→1 , −
→2 deux vecteurs directeurs de D et
Exercice 1.2.2. Soient D une droite de E, O, O′ ∈ D, −
u
u
2
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
v1 , v2 ∈ R tels que { O, u1 , v1 } et { O, u2 , v2 } soient des repères affines. On désigne par E + , E −
1
1
les deux demi-plans déterminés par la droite D (comme défini ci-dessus )lorsqu’on utlise le repère
→
→
−
→2 , −
−
→1 , −
v2 }. Démontrer que
v1 }. De même, on définit E2+ , E2− lorsqu’on utlise le repère { O, u
{ O, u
l’on a E1+ = E2+ et E1− = E2− , ou E1+ = E2− et E1− = E2+ .
1.3
Quelques figures du plan affine
Définition 1.3.1. Dans un plan affine E un triangle ABC est la donnée de trois points A, B, C
et de trois segments [AB], [BC], [CA]. Les points A, B, C s’appellent les sommets du triangle, et
les segments [AB], [BC], [CD] les côtés du triangle. Lorsque les points A, B, C sont alignés on
dit que le triangle est plat.
Remarque 1.3.1. Un triangle est complètement déterminé par la donnée de ces sommets. Autrement dit, étant donnés trois points A, B, C, il existe un seul triangle ayant A, B, C comme
sommets. Comme on le verra plus loin, cette propriété n’est pas vraie pour les quadrilatères d’une
façon générale.
CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE PLANE
10
Soit ABC un triangle non plat et soit SA le secteur délimité par les deux demi-droites d’origine
−
−
→ −→
A et de vecteurs directeurs AB et AC. On définit de la même façon les deux secteurs SB et SC .
On appelle intérieur du triangle ABC l’ensemble SA ∩ SB ∩ SC = SA ∩ SB = SA ∩ SC = SB ∩ SC .
Souvent dans la pratique on inclut l’intérieur du triangle avec le triangle.
A
B
b
b
b
C
Figure 8 : Intérieur d’un triangle ABC
Remarque 1.3.2. Comme on peut facilement le vérifier, un triangle (avec intérieur inclus) est
un ensemble convexe.
Définition 1.3.2. Dans un plan affine E un quadrilatère ABCD est la donnée de quatre points
A, B, C, D et de quatre segments [AB], [BC], [CD], [DA]. Les points A, B, C, D s’appellent les
sommets du quadrilatère, et les segments [AB], [BC], [CD], [DA] s’appellent les côtés du quadrilatère. Lorsque les sommets d’un quadrilatère sont alignés on dit qu’il est plat. Si au moins trois
sommets sont alignés, on dit que le quadrilatère est dégénéré.
Remarque 1.3.3. D’après la définition précédente, l’ordre dans lequel est noté un quadrilatère est important car il détermine les sommets et les côtés. Ainsi le quadrilatère ABCD et le
quadrilatère ABDC sont distincts même s’ils ont les mêmes sommets. Contrairement aux triangles, un quadrilatère n’est pas déterminé par la donnée de ses sommets. Etant donnés quatre
points A, B, C, D, il existe plusieurs quadrilatères ayant A, B, C, D comme sommets (voir figure
8 ci-dessous).
B
b
B
C
b
b
b
A
b
Quadrilatère ABCD
C
b
D
b
A
b
Quadrilatère ABDC
Figure 9 : Deux quadrilatères distincts avec les mêmes sommets
D
1.3. QUELQUES FIGURES DU PLAN AFFINE
11
Définition 1.3.3. Une diagonale d’un quadrilatère est un segment reliant deux sommets du
quadrilatère et qui n’est pas un côté du quadrilatère. Ainsi les diagonales du quadrilatr̀e ABCD
sont les segments [AC] et [BD]. Celles du quadrilatère [ABDC] sont [AD] et [BC].
Deux sommets d’un quadrilatère sont dits consécutifs s’ils appartiennent à un même côté. De
même, deux côtés sont dits consécutifs s’ils ont un sommet en commun. Ainsi dans le quadrilatère
ABCD les sommets A et B sont consécutifs, mais pas les sommets A et C. De même, les côtés
[AB] et [BC] sont consécutifs, mais pas les côtés [AB] et [CD]. Un quadrilatère dont deux
côtés non consécutifs sont sécants ( i.e d’intersection non vide ) est dit croisé. Par exemple le
quadrilatère de droite dans la figure 9 ci-dessus est croisé, celui de gauche ne l’est pas.
Contrairement aux triangles, la définition de l’intérieur d’un quadrilatère est plus complexe
compte tenu des différentes configurations que peut avoir un quadrilatère. Pour cela, nous avons
besoin de fixer quelques notations. Soit Q = ABCD un quadrilatère et soit SA le secteur délimité
−
−
→ −−→
par les deux demi-droites d’origine A et de vecteurs directeurs AB et AD. On définit de la même
façon les secteurs SB , SC et SD . On définit les ensembles QA , QB , QC , QD comme suit
QA =

 SA ∩ SB ∩ SD si SA ∩ SB ∩ SD 6⊂ Q
(SA ∩ SB ) ∪ (SA ∩ SD ) sinon

QB =

 SB ∩ SA ∩ SC si SB ∩ SA ∩ SC 6⊂ Q

QC =

 SC ∩ SB ∩ SD si SC ∩ SB ∩ SD 6⊂ Q

QD =
(SB ∩ SA ) ∪ (SB ∩ SC ) sinon
(SC ∩ SB ) ∪ (SC ∩ SD ) sinon

 SD ∩ SA ∩ SC si SD ∩ SA ∩ SC 6⊂ Q

(SD ∩ SA ) ∪ (SD ∩ SC ) sinon
L’intérieur du quadrilatère Q est l’ensemble noté I(Q), défini par
I(Q) = QA ∪ QB ∪ QC ∪ QD .
CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE PLANE
12
B
b
B
b
C
b
b
B
C
b
b
D
A
b
b
D
A
b
b
C
A
b
b
D
Figure 10 : Intérieur d’un quadrilatère ABCD dans différentes configurations
Dans la pratique on inclut l’intérieur d’un quadrilatère avec le quadrilatère. On dit qu’un
quadrilatère est convexe s’il est (en incluant son intérieur) un ensemble convexe selon la définition
donnée dans le paragraphe précédent. Nous avons la caractérisation suivante des quadrilatères
convexes :
Proposition 1.3.1. Un quadrilatère est convexe si et seulement si pour chaque droite contenant un côté du quadrilatère, ce dernier se trouve entièrement dans l’un des deux demi-plans
déterminés par cette droite.
Démonstration. Exercice à faire en TD.
B
b
C
b
B
b
b
D
C
b
A
b
Figure 11 : Quadrilatère convexe
A
b
b
D
Figure 12 : Quadrilatère non convexe et non croisé
Il découle directement de la définition qu’un quadrilatère convexe n’est jamais croisé. Un
quadrilatère peut être non croisé et non convexe (Figure 12 ci-dessus).
Définition 1.3.4. Un parallélogramme est un quadrilatère dans lequel les droites contenant les
côtés non consécutifs sont parallèles. Plus précisément, un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si (AB) k (CD) et (BC) k (AD).
1.3. QUELQUES FIGURES DU PLAN AFFINE
A
b
b
D
b
13
B
b
C
Figure 13 : Prallélogramme ABCD
Nous avons les caractérisations suivantes des parallélogrammes :
Proposition 1.3.2. Soit ABCD un quadrilatère non plat. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
1) ABCD est un prallélogramme.
−−
→ −−→
2) AB = DC.
−−→ −−→
3) BC = AD.
4) Les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu.
Démonstration. Montrons que (1) =⇒ (2). Supposons que ABCD est un paraléllogramme. On
−−→
−−
→
−−→
−−→
a alors (AB) k (CD) et (AD) k (BC). On en déduit que DC = λAB et BC = µAD pour
−−
→ −−→ −−→ −−→
λ, µ ∈ R. D’autre part, on a par la relation de Chasles, AB = AD + DC + CB, ce qui implique
−−
→ −−→
−−
→
−−→
AB = AD + λAB − µAD, c’est à dire :
−−
→
−−→ −
→
(1 − λ)AB + (µ − 1)AD = O .
−
−
→ −−→
Mais les deux vecteurs AB et AD sont linéairement indépendants car le quadrilatère ABCD est
−−→
−−
→
−−→ −
−
→
supposé non plat. On en déduit que λ = 1 et µ = 1. Comme DC = λAB, on a donc DC = AB.
−−→
−
−
→
Monronquons (2) =⇒ (3). Supposons que DC = AB. On a par la relation de Chasles,
−
→ −−→
−
→ −−→ −
→ −−→ −−→ −
−−→ −−
BC = BA + AD + DC = BA + AD + AB = AD.
−−→ −−→
Montrons que (3) =⇒ (4). Supposons que BC = AD. Soient I et J les milieux respectifs de
[AC] et [BD]. On a alors
−
→ 1 −→ 1 −−→ −−→
AI = AC =
AD + DC
(3.1)
2
2
et
1
−→ 1 −−→ 1 −−→ −−→
−−→ −−→
BJ = BD =
BC + CD =
AD + CD .
(3.2)
2
2
2
−→ −
−
→ −→
D’autre part, on a par la relation de Chasles, AJ = AB + BJ, ce qui donne en utilisant la relation
(3.2),
−→ −−
→ 1 −−→ −−→
AD + CD .
(3.3)
AJ = AB +
2
En faisant la différence entre (3.1) et (3.3) on obtient
−
→ −
→ −→ −−→ −−
→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −
→
JI = AI − AJ = DC + BA = DB + BC + BD + DA = BC + DA = 0 ,
CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE PLANE
14
ce qui donne I = J.
Montrons que (3) =⇒ (4). Soient I et J les milieux respectifs de [AC] et [BD] et supposons
que I = J. On a par définition
−
→ 1 −→ 1 −−→ −−→
AD + DC
AI = AC =
2
2
et
−
→ −−→
−→ −→ 1 −−→ 1 −
BA + AD .
BI = BJ = BD =
2
2
En faisant la différence entre les deux dernières équations, on a
−
−
→ −
−
→ 1 −−→
→ −→ 1 −
AB = AI − BI = AB + DC,
2
2
−
−
→
−−→
−−→
−
−
→
ce qui donne AB = DC et donc (AB) k (CD). On a par la relation de Chasles, BC = BA +
→ −−→
−
→ −−→ −−
−−→ −−→ −
AD + DC = BA + AD + AB = AD, d’où (BC) k (AD).
La preuve de la proposition est terminée.
Exercice 1.3.1. Etant donnés quatre points A, B, C, D d’un plan affine E, combien de quadrilatères distincts de sommets A, B, C, D peut-on construire ?
1.4
Grands théorèmes de la géométrie affine plane
Dans ce paragraphe nous allons énnoncer et démontrer trois grands théorèmes classiques de
la géométrie affine plane. Comme dans les pragraphes précédents, E désignera un plan affine.
Théorème 1.4.1. (Théorème de Thalès 1 ) Soit ABC un triangle non plat de E. Soient B ′ un
point de la droite (AB) et C ′ un point de la droite (AC). Alors les droites (BC) et (B ′ C ′ ) sont
parallèles si et seulement si
AB ′
AC ′
=
.
(4.1)
AB
AC
Dans ce cas chacun des deux rapports précédents est aussi égal à
B′C ′
.
BC
Démonstration. Supposons que (B ′ C ′ ) k (BC). Alors on a
−−′−→′
−−→
B C = λBC
(4.2)
avec λ ∈ R. Comme B ′ ∈ (AB) et C ′ ∈ (AC) on a aussi
−−→′
−−→
−
−
→
−→
AB = µAB et AC ′ = ν AC
(4.3)
avec µ, ν ∈ R. D’autre part, on a par la relation de Chasles,
−−′−→′ −−→′ −−→′
B C = AC − AB .
1. Thalès, mathématicien grec, 625-547 av. J.-C.
(4.4)
1.4. GRANDS THÉORÈMES DE LA GÉOMÉTRIE AFFINE PLANE
15
En remplaçant (4.2) et (4.3) dans (4.4), on obtient
−−→
−→
−−
→
λBC = ν AC − µAB
−−→ −→ −−
→
et comme par la relation de Chales on a BC = AC − AB, on en déduit que
−→
−
−
→
−→
−−
→
λAC − λAB = ν AC − µAB
c’est à dire
−−
→ −
−→
→
(λ − µ)AC + (λ − ν)AB = 0
−−
→ −→
ce qui implique λ − µ = 0 et λ − ν = 0 car les deux vecteurs AB etAC sont linéairement
indépendants puisque le triangle ABC est supposé non plat. Ainsi nous avons démontré que
µ = ν = λ. Mais par définition on a
µ=
AB ′
AC ′
B′C ′
, ν=
, λ=
.
AB
AC
BC
La première partie du théorème est donc démontré. Supposons maitenant que la relation (4.1)
du théorème est vérifiée et montrons que (B ′ C ′ ) k (BC). Posons
λ=
On donc
AB ′
AC ′
=
.
AB
AC
−−→′
−−→
−
−
→
−→
AB = λAB et AC ′ = λAC
D’autre part, par la relation de Chasles on a
−−′−→′ −−→′ −−→′
−→
−−
→
−−→
B C = AC − AB = λAC − λAB = λBC
−−−→ −−→
c’est à dire que B ′ C ′ k BC. La démonstration du théorème est complète.
C′
b
b
A
B′
B
b
B′
A
b
C′
C
B
Figure 14 : Illustration du théorème de Thalès
C
CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE PLANE
16
Remarque 1.4.1. Dans le théorème de Thalès les points B ′ et C ′ sont quelconques sur les
droites (AB) et (AC) respectivement. En particulier, ces points peuvent être en dehors des côtés
du triangle ABC (voir figure 14 ci-dessus).
Théorème 1.4.2. (Théorème de desargues 2 ) Soient ABC et A′ B ′ C ′ deux triangles non plats
d’un plan affine E tels que A 6= A′ , B 6= B ′ , C 6= C ′ . Si (AB) k (A′ B ′ ), (BC) k (B ′ C ′ ) et
(CA) k (C ′ A′ ), alors les droites (AA′ ), (BB ′ ) et (CC ′ ) sont parallèles ou concourantes (i.e elles
se coupent en un point).
Démonstration. Si (AA′ ), (BB ′ ), (CC ′ ) ne sont pas parallèles, deux d’entre elles, par exemple
(AA′ ) et (BB ′ ) se coupent en un point I. Comme (AB) k (A′ B ′ ), on a par le théorème de
Thalès :
IA′
IB ′
=
= k.
IA
IB
Soit C ′′ le point de la droite (IC) tel que
IC ′′
= k.
IC
Par le théorème de Thalès, il découle de la relation
IA′
IC ′′
=k=
IA
IC
que (AC) k (A′ C ′′ ). De même, par le théorème de Thalès, il découle de la relation
IB ′
IC ′′
=k=
IB
IC
que (BC) k (B ′ C ′′ ). On en déduit donc que A′ C ′′ = (A′ C ′ ) et (B ′ C ′′ ) = (B ′ C ′ ). Ce qui implique
que C ′ = C ′′ car (A′ C ′ ) ∩ (B ′ C ′ ) = {C ′ } et (A′ C ′′ ) ∩ (B ′ C ′′ ) = {C ′′ }. Ainsi la droite (CC ′ )
passe par I et le théorème est démontré.
2. Girard Desargues, géomètre et architecte français, 1591-1661.
1.4. GRANDS THÉORÈMES DE LA GÉOMÉTRIE AFFINE PLANE
A
B
A
b
b
b
′
A
B′
C
B
A
b
C′
B′
I
C
b
′
b
b
b
b
b
17
b
b
C′
b
Figure 15 : illustration du théorème de Desargues
Théorème 1.4.3. (Théorème de Pappus 3 , première version )Soient D et D′ deux droites distinctes de E. Soient A, B, C trois points distincts sur D \ D′ , et A′ , B ′ , C ′ trois points distincts
sur D′ \ D. Si (AB ′ ) k (BA′ ) et (BC ′ ) k (CB ′ ), alors on a (CA′ ) k (AC ′ ).
Démonstration. Supposons que D∩D′ = {I}. Par le théorème de Thalès, puisque (AB ′ ) k (A′ B),
on a
IA′
IB
=
.
IB ′
IA
De la même façon on a aussi
IB ′
IC
=
.
′
IC
IB
Par multiplication de ces deux égalités membres à membres on obtient :
IA′
IC
=
,
IC ′
IA
et le théorème de Thalès implique donc que (AC ′ ) k (A′ C). Supposons maintenant que D k D′ .
Il en découle que les quadrilatères ABA′ B ′ et BCB ′ C ′ sont des parallélogrammes. Ce qui donne
→
−−
→ −−−
−−→ −−−→
−→ −−→
AB = B ′ A′ et BC = C ′ B ′ , et par addition, on obtient AC = C ′ A′ . On en déduit que ACA′ C ′
est un parallélogramme et le résultat suit.
3. Pappus, mathématicien grec, IV e siècle.
CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE PLANE
18
B
A
b
b
C
b
b
b
′
B
D
C
b
D′
′
′
A
Figure 16 : Illustraton du théorème de Pappus, première version
C
D
b
B
b
A
I
b
b
b
C
b
′
B
b
′
′
A
D′
Figure 17 : Illustraton du théorème de Pappus, première version
Théorème 1.4.4. ( Théorème de Pappus, deuxième version ) Soient D et D′ deux droites
distinctes d’un plan affine. Soient A, B, C trois points sur D, et soient A′ , B ′ , C ′ trois points sur
D′ . On suppose que les droites (AB ′ ) et (A′ B) se coupent en un point K, les droites (AC ′ ) et
(A′ C) se coupent en un point L, et les droites (BC ′ ) et (B ′ C) se coupent en un point M . Alors
les points K, L, M sont alignés.
Démonstration. On suppose que les droites (A′ B) et (B ′ C) se coupent en un point (A1 ), les
droites (B ′ C) et (AC ′ ) se coupent en un point A2 , et les droites (A′ B) et (AC ′ ) se coupent en
un point A3 (sinon, une application du thèorème de Thalès permettrait de conclure, voir exercice
en TD). En appliquant le thèorème de Ménélaüs (voir Théorème 1.4.5 ci-dessous) au triangle
1.4. GRANDS THÉORÈMES DE LA GÉOMÉTRIE AFFINE PLANE
19
A1 A2 A3 et les droites (AC), (A′ C ′ ), (BC ′ ), (A′ C) et (AB ′ ), on obtient respectivement,
AA3 BA1 CA2
A′ A1 B ′ A2 C ′ A3
BA3 M A1 C ′ A2
=1, ′
=
1
,
= 1,
AA2 BA3 CA1
A A3 B ′ A1 C ′ A2
BA1 M A2 C ′ A3
A′ A3 LA2 CA1
AA2 KA3 B ′ A1
=
1
,
= 1.
A′ A1 LA3 CA2
AA3 KA1 B ′ A2
En multipliant ces cinq équations membres à membres, on obtient la relation
M A1 LA2 KA3
= 1,
M A2 LA3 KA1
ce qui implique grâce au théorème de Ménélaüs (appliqué au triangle A1 A2 A3 ) que les points
K, L, M sont alignés.
C
B
A
b
b
b
K
b
b
b
M
L
b
b
′
A
b
B
′
C′
Figure 18 : Théorème de Pappus, seconde version
Théorème 1.4.5. ( Théorème de Ménélaüs 4 ) Soit ABC un triangle non plat d’un plan affine
et soient trois points K ∈ (AB), L ∈ (BC) et M ∈ (AC), qu’on suppose distincts des sommets
du triangle. Alors K, L, M sont alignés si et seulement si
KA LB M C
= 1.
KB LC M A
Démonstration. Exercice à faire en TD.
4. Ménélaüs, dit Ménélaüs d’Alexandrie, mathématicien grec, II e siècle.
CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE PLANE
20
b
C
M
b
L
b
K
b
b
b
B
A
Figure 19 : Théorème de Ménélaüs
Exercice 1.4.1. Dans un triangle, on appelle médiane un segment reliant un sommet du triangle
au milieu du segment opposé (ne contenant pas ce sommet). Montrer que les trois médianes d’un
triangle sont concourantes.
Exercice 1.4.2. (version générale du théorème de Thalès) Soitent D et D′ deux droites distinctes
d’un plan affine E. Soient ∆1 , ∆2 , ∆3 trois droites parallèlles et distinctes de E, qui coupent les
droites D et D′ respectivement en {A1 , A2 , A3 } et {A′1 , A′2 , A′3 }. Montrer que l’on a
A1 A2
A′ A′
= 1′ 2′ .
A1 A3
A1 A3
Inversement, étant données deux droites distinctes D et D′ de E, et trois droites ∆1 , ∆2 , ∆3
coupant les droites D et D′ respectivement en {A1 , A2 , A3 } et {A′1 , A′2 , A′3 } telles que
A1 A2
A′ A′
= 1′ 2′ ,
A1 A3
A1 A3
montrer que les droites ∆1 , ∆2 , ∆3 sont parallèles.
(On distinguera deux cas : D ∩ D′ 6= ∅ et D ∩ D′ = ∅. )
1.4. GRANDS THÉORÈMES DE LA GÉOMÉTRIE AFFINE PLANE
A1
b
b
A′1
A2
∆3
b
b
A2 ′
A3
∆2
b
D
b
A′3
∆1
D′
Figure 20 : Version générale du théorème de Thalès
21