Curriculum Vitae

Curriculum Vitae
Saa Haloui
Née le 14/12/1984 à Marseille.
Nationalité : française.
E-mail : [email protected]
Adresse professionnelle : Danmarks Tekniske Universitet,
Matematiktorvet, Building 303 B, room 146,
2800 Kgs. Lyngby, Denmark.
Situation actuelle
Post-doctorante au Centre Danois-Chinois pour les Applications de la Géométrie Algébrique
en Théorie des Codes et Cryptographie , Danmarks Tekniske Universitet, Lyngby, Danemark,
sous la direction de Tom Høholdt et Peter Beelen (depuis septembre 2011).
Formation et diplômes
20072011 Thèse sous la direction de Yves Aubry, soutenue le 14 juin 2011 à l'Institut de
Mathématiques de Luminy, Marseille.
Titre : Sur le nombre de points rationnels des variétés abéliennes sur les corps nis.
Mention : Très honorable.
Jury : Yves Aubry, Jean-Marc Couveignes (président), Sylvain Duquesne, Gilles Lachaud, Kristin Lauter (rapporteur), Marc Perret (rapporteur), Christophe Ritzenthaler.
20062007 Deuxième année de master recherche de Mathématiques Discrètes et Fondements de
l'Informatique (Université Aix-Marseille II) mention très bien.
Mémoire : Utilisation du couplage de Weil en cryptographie et construction de courbes
elliptiques avec un petit degré de plongement, encadré par Yves Aubry.
20052006 Maîtrise de Mathématiques (Université Aix-Marseille I) mention bien.
Mémoire : Extensions centrales et deuxième groupe de cohomologie, encadré par
Christophe Pittet.
20042005 Licence de Mathématiques (Université Aix-Marseille I) mention bien.
20022004 DEUG MIAS (Université Aix-Marseille I) mention bien.
2002
Bac. S spécialité Mathématiques (Lycée Marseilleveyre, Marseille).
Fonctions occupées
20102011 Attaché Temporaire d'Enseignement et de Recherche (ATER) à mi-temps, à l'Université de la Méditerranée, Marseille.
20072010 Allocataire de recherche à l'Université de la Méditerranée et monitrice au CIES
Provence-Côte d'Azur-Corse.
Thèmes de recherche
Variétés sur les corps nis, variétés abéliennes, courbes algébriques, jacobiennes, théorie des
nombres.
Publications
Articles publiés
[1] The characteristic polynomials of abelian varieties of dimension 3 over nite elds, J. Number Theory 130 (2010), no. 12, 2745-2752.
[2] The characteristic polynomials of abelian varieties of dimension 4 over nite elds, avec V.
Singh, Arithmetic, geometry, cryptography and coding theory, 59-68, Contemp. Math., 574,
Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2012.
[3] On the number of points on abelian and Jacobian varieties over nite elds, avec Y. Aubry
et G. Lachaud, 2012. A paraître dans Acta Arithmetica.
[4] Sur le nombre de points rationnels des variétés abéliennes et des Jacobiennes sur les corps
nis, avec Y. Aubry et G. Lachaud, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 350 (2012), no. 19-20,
907-910.
Article en préparation
[5] Sur le nombre de points rationnels des variétés de Prym sur les corps nis. Avec Yves Aubry.
Activités d'enseignement
J'ai été monitrice au CIES Provence-Côte d'Azur-Corse (2007-2010) puis ATER à l'Université
de la Méditerranée (2010-2011). Les enseignements dont j'ai été chargée sont les suivants :
20102011 Travaux dirigés en L1 : Probabilités.
Encadrement d'un stage de 3 jours avec des lycéens : Relations d'ordre.
Encadrement d'un stage de 3 jours avec des lycéens : Nombres premiers.
20092010 Travaux dirigés en L1 : Fonctions.
Encadrement d'un stage de 3 jours avec des lycéens : Topologie intuitive.
20082009 Travaux dirigés en L1 : Ensembles, relations, fonctions.
Soutien en L1 : Ensembles, relations, fonctions.
Encadrement d'un stage de 3 jours avec des lycéens : Géométries non euclidiennes.
20072008 Travaux dirigés en L2 : Maths pour la bio.
Encadrement d'un stage de 3 jours avec des lycéens : Relations d'ordre et ordres
partiels.
(Tous les enseignements ont étés dispensés à l'Université Aix-Marseille II.)
Activités de recherche
Exposés
06/2012 Codes from algebraic varieties, GT de l'équipe Discrete Maths, DTU, Lyngby.
05/2012 On the number of rational points on Jacobian varieties over nite elds, Workshop,
ECNU, Shanghai.
12/2011 The characteristic polynomials of abelian varieties of dimensions 3 and 4 over nite
elds, Workshop, Aalborg.
03/2011 The characteristic polynomials of abelian varieties of dimensions 3 and 4 over nite
elds, AGCT, Marseille.
11/2010 On the number of rational points on some abelian varieties over nite elds, Séminaire
Algebra/Shannon, Dublin.
05/2010 On the number of rational points on some abelian varieties over nite elds, GTEM
Workshop, Louvain.
03/2010 Diviseurs et morphismes projectifs, GT de l'équipe ATI, Marseille.
07/2009 On the number of points on Jacobian and Prym varieties, Finite Fields 9, Dublin.
06/2009 Sur le nombre de points des jacobiennes et des variétés de Prym, Séminaire de l'équipe
ATI, Marseille.
10/2008 Théorie générale des variétés abéliennes sur C, GT de l'équipe ATI, Marseille.
05/2008 Introduction aux courbes de genre 2, GT de l'équipe ATI, Marseille.
01/2008 Courbes elliptiques à multiplication complexe, GT de l'équipe ATI, Marseille.
Groupes de travail
Je participe au groupe de travail de mon équipe, qui porte principalement sur la théorie des
codes correcteurs d'erreurs.
Au cours de ma thèse, j'ai assisté et donné des exposés au groupe de travail de l'équipe
ATI (IML). J'ai aussi participé à son organisation en 2009-2010. Ses thématiques étaient les
suivantes : multiplication complexe (2007-08), variétés abéliennes (2008-09), Schémas et cohomologie (2009-10).
Séjours à l'étranger
Mon équipe de recherche (au Danemark) collabore avec l'Université Normale de Chine de l'Est
(ECNU) située à Shanghai. J'ai donc travaillé là-bas entre novembre 2012 et janvier 2013 sous
la direction de Hao Chen.
J'ai été invitée par Vijaykumar Singh et Gary McGuire à l'institut Claude Shannon (Dublin)
en novembre 2010 pendent une période de deux semaines.
Description des travaux de recherche
Résultats obtenus
Etant donnée une variété abélienne A de dimension g sur un corps ni Fq , q = pn , nous
pouvons considérer son polynôme caractéristique ; c'est par dénition le polynôme caractéristique
de l'endomorphisme de Frobenius de A agissant sur son module de Tate T` (A) où ` 6= p est un
nombre premier, nous le noterons pA (t). Le polynôme pA (t) ne dépend que de la classe d'isogénie
de A et de plus, par le Théorème de Honda-Tate, il caractérise cette dernière. C'est en outre
un objet très intéressant lorsque l'on cherche à obtenir des informations sur le nombre de points
rationnels des variétés abéliennes sur les corps nis puisque sa valeur en 1 est égale au nombre
de points rationnels de A.
Le polynôme pA (t) est unitaire, à coecients entiers, de degré 2g et l'ensemble de ses racines comptées avec multiplicité est constitué de couples de nombres complexes conjugués de
√
module q ; un polynôme possédant ces propriétés sera appelé polynôme de Weil. On vérie
immédiatement que tout polynôme de Weil est de la forme
t2g + a1 t2g−1 + . . . + ag tg + qag−1 tg−1 + . . . + q g−1 a1 t + q g
pour certains entiers relatifs a1 , . . . , ag .
Ainsi, la description de l'ensemble des polynômes caractéristiques possibles pour une variété
abélienne de dimension g dénie sur Fq peut se faire en deux étapes : on commence par donner une caractérisation des (a1 , . . . , ag ) correspondant à des polynômes de Weil, puis on utilise
des résultats de la théorie de Honda-Tate pour déterminer quels polynômes de Weil sont des
polynômes caractéristiques de variétés abéliennes.
Le problème évoqué ci-dessus a été résolu par M. Deuring et W.C. Waterhouse lorsque A est
une courbe elliptique. En 1990, H.-G. Rück a donné une description des polynômes caractéristiques irréductibles de surfaces abéliennes ; ses travaux ont été complétés par D. Maisner, E. Nart
et C.P. Xing qui ont traité le cas réductible et listé les polynômes caractéristiques supersinguliers.
Une première partie de ma thèse est consacrée à l'étude des cas g = 3 et 4. Ces travaux
ont donné lieu aux articles [1] et [2] qui contiennent respectivement une description explicite de
l'ensemble des polynômes caractéristiques de variétés abéliennes de dimension 3 et 4.
Je me suis par la suite intéressée au nombre de points rationnels des variétés abéliennes sur
les corps nis ; plus précisément, j'ai cherché à donner des majorations et minorations celui-ci.
Il résulte des propriétés de pA (t) énoncées dans le premier paragraphe que le nombre de points
√
√
rationnels de A est compris entre (q + 1 − 2 q)g et (q + 1 + 2 q)g . Il est en fait possible, comme
√
dans le cas des courbes, de remplacer dans ces dernières quantités le 2 q par sa partie entière
(ceci est prouvé dans [3]) ; les bornes ainsi obtenues sont généralement optimales.
En 1990, G. Lachaud et M. Martin-Deschamps ont donné des bornes sur le nombre de points
de A dans le cas où celle-ci est la jacobienne d'une courbe lisse, projective, absolument irréductible
(toutes les courbes considérées par la suite sont supposées avoir ces propriétés). Leurs résultats
peuvent être vus comme l'analogue pour les corps de fonctions à une variable sur un corps ni
de formules d'estimation du nombre de classes des corps de nombres.
L'article [3], qui est un travail en collaboration avec Yves Aubry et Gilles Lachaud, contient
diérentes nouvelles bornes sur le nombre de points des variétés abéliennes sur les corps nis, en
fonction de leur trace. Dans une première partie, celles-ci sont valables pour une variété abélienne
quelconque et sont obtenues par l'étude des propriétés des polynômes de Weil. La suite est
consacrée aux jacobiennes ; les bornes qui y sont établies sont déduites d'identités combinatoires
reliant les nombres de points d'une courbe sur les extensions nies du corps de base et les nombres
de ses points et diviseurs eectifs de degré donné. L'article contient aussi des formules exactes
pour les nombres maximum et minimum de points rationnels sur les surfaces jacobiennes sur les
corps nis.
Travaux en cours et pro jets de recherche
Sur le nombre de points rationnels des variétés de Prym sur les corps nis. Avec
Yves Aubry. Lorsque nous travaillons en caractéristique impaire, la variété de Prym associée
à un revêtement de courbes (lisses, projectives, absolument irréductibles) π : Ce −→ C double
et non ramié peut être dénie comme étant l'image de (σ − id), où σ est l'involution induite
par π sur la jacobienne de Ce. Des bornes sur le nombre de points de ces variétés de Prym sur
les corps nis ont été établies par M. Perret en 2006. Dans son article, il remarque aussi que
celles-ci peuvent être adaptées aux jacobiennes. Les bornes en question dépendent en fait du
e q ) − #C(Fq ), qui est la trace du polynôme caractéristique de notre variété de
paramètre #C(F
Prym. Ainsi, on vérie que les bornes de Perret se généralisent à une variété abélienne quelconque.
En recourant à des méthodes similaires à celles utilisées dans la seconde partie de [3] (consacrée
aux jacobiennes), nous avons établit des bornes sur le nombre de points des variétés de Prym,
spéciques à ces dernières. Celles-ci peuvent être dans certains cas meilleures que les bornes
connues sur le nombre de points d'une variété abélienne quelconque.
Codes sur les variétés abéliennes A une courbe C/Fq , un ensemble de points {P1 , . . . , Pn } ⊆
C(Fq ) et un diviseur rationnel G sur C dont le support ne contient pas l'un des Pi , on peut
associer le code correcteur d'erreur dont les mots sont de la forme (f (P1 ), . . . , f (Pn )) où f est
dans l'espace de Riemann-Roch L(G) = {f ∈ Fq (C)∗ , div(f ) ≥ −G} ∪ {0}. Cette construction
remonte au début des années 80 et devint populaire suite aux travaux de M. Tsfasman, S.
Vl duµ et T. Zink montrant que de tels codes pouvaient avoir asymptotiquement des paramètres
particulièrement bons. Une généralisation naturelle de cette construction est de remplacer C
par une variété algébrique X de dimension supérieure. Les paramètres des codes ainsi obtenus
s'avèrent alors bien plus diciles à estimer que dans le cas des courbes et seulement peu de
résultats généraux sont connus à ce sujet. J'étudie le cas où X est une variété abélienne, le jeu
étant de trouver des espaces vectoriels de fonctions donnant des codes avec de bons paramètres.
Schémas de partage de secret issus des variétés algébriques. Il s'agit d'un projet sur
lequel j'ai commencé à travailler durant mon séjour à l'ECNU, sous la suggestion de Hao Chen.
Le problème est de partager un secret s entre n personnes P1 , . . . , Pn de manière à ce que certains
ensembles des personnes (et seulement ceux-ci) puissent reconstruire s en réunissant leurs parts.
De tels ensembles sont dits qualiés. Dans le cas où les ensembles qualiés sont ceux ayant un
cardinal strictement supérieur à un entier d < n, A. Shamir a proposé la solution suivante : étant
donné un sous ensemble {P1 , . . . , Pn } de F∗q , on choisit un polynôme f ∈ Fq [t] de degré d. On pose
alors s = f (0) et la part de secret attribuée à Pi sera f (Pi ). Il est clair que la donnée de d+1 parts
permet de calculer f et que celle de seulement d parts ne donne aucune information sur f (0) (qui
pourrait être n'importe quel élément de Fq ). Une généralisation de l'idée de Shamir a plus tard
été proposée par H. Chen et R. Cramer : on prend {P1 , . . . , Pn } ⊆ C(Fq ) et on choisit f dans
L(G) (avec les mêmes conventions que dans le paragraphe précédent). Le problème est d'étudier
cette construction et éventuellement sa généralisation aux variétés de dimension supérieure.