dénombrement - CPGE Brizeux

Lycée Auguste Brizeux
PCSI B
DÉNOMBREMENT
exercices Exercice 1 :
Soient A, B , C trois ensembles nis. Montrer que :
Card(A ∪ B ∪ C) = Card(A) + Card(B) + Card(C) − Card(A ∩ B) − Card(A ∩ C) − Card(B ∩ C) + Card(A ∩ B ∩ C).
Exercice 2 :
Etant donnés un ensemble E , et A et B deux parties de E , on appelle diérence symétrique de A et B , et on note
A4B l'ensemble : A4B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
Montrer que, si A et B sont nis, A4B l'est aussi, et calculer son cardinal en fonction de ceux de A, B et A ∩ B .
Exercice 3 :
Un enfant, qui ne connaît pas encore les chires, compose au hasard dix numéros sur un cadran de téléphone.
Calculer :
1. le nombre T de numéros diérents possibles ;
2. le nombre P de numéros diérents possibles avec dix chires pairs ;
3. le nombre S de numéros diérents possibles avec exactement trois zéros ;
4. le nombre F de numéros diérents possibles avec au moins trois fois le chire 7.
Exercice 4 :
Au loto sportif, le parieur remplit une grille dans laquelle il indique ses prévisions pour treize matches de football
à venir. Pour chaque match, il peut cocher au choix trois cases : "1" pour une victoire de l'équipe 1, "2" pour une
victoire de l'équipe 2, et "N" pour un match nul.
1. De combien de façon un parieur peut-il remplir la grille ?
2. Dénombrer les grilles pour lesquelles à l'issue des matches :
(a) toutes les réponses sont exactes ;
(b) toutes les réponses sont fausses ;
(c) exactement trois réponses sont exactes.
3. Pour gagner, il faut avoir coché au moins dix réponses exactes. Quel est le nombre de grilles gagnantes ?
Exercice 5 :
Combien y a-t-il d'anagrammes de THÉORÈME en...
1. distinguant É, È et E ?
2. omettant les accents ?
3. omettant les accents, et en imposant que la dernière lettre soit un E ?
Exercice 6 :
On dispose d'un jeu de 32 cartes et on appelle main 5 cartes extraites du paquet.
1. Combien y a-t-il de mains donnant exactement trois rois ?
2. Combien y a-t-il de mains où toutes les cartes sont des coeurs ?
3. Combien y a-t-il de mains donnant un carré ?
4. Combien y a-t-il de mains donnant exactement deux paires ? exactement une paire ?
Exercice 7 :
Soient n ∈ N∗ et p ∈ [|1, n|].
Une urne contient n boules distinctes numérotées de 1 à n. On extrait p boules simultanément de l'urne.
1. Combien y a-t-il de tirages possibles ?
2. Soit k un entier vériant p ≤ k ≤ n.
(a) Combien y a-t-il de tirages pour lesquels toutes les boules obtenues ont un numéro inférieur ou égal à k ?
(b) Combien y a-t-il de tirages pour lesquels que le plus grand numéro obtenu est égal à k ?
3. En déduire que
n X
k−1
k=p
p−1
n
=
.
p
1
Exercice 8 :
Soit n ∈ N \ {0, 1, 2, 3, 4}.
Dans une classe de n élèves :
1. combien y a-t-il de façons de désigner un délégué et un suppléant ?
2. combien y a-t-il de façons de désigner deux délégués ?
3. combien y a-t-il de façons de désigner deux délégués et deux suppléants ?
Exercice 9 :
On considère les ensembles E = {a, b, c} et F = {1, 2, 3, 4, 5}.
1. Combien existe-t-il d'applications de E dans F ?
2. Combien existe-t-il d'applications f de E dans F telles que f (a) = 1 ?
3. Combien existe-t-il d'applications f de E dans F telles que f (a) 6= f (b) ?
4. Combien existe-t-il d'applications injectives de E dans F ?
5. Combien existe-t-il d'applications surjectives de E dans F ?
6. Combien existe-t-il d'applications de E × F dans F 3 ?
Exercice 10 :
n k
n n−p
1. Montrer que, pour tout (n, k, p) ∈ N vériant p ≤ k ≤ n, on a
=
:
k
p
p
n−k
3
(a) de façon calculatoire ;
(b) par un raisonnement de dénombrements.
2. Soient deux entiers naturels n et p non nuls tels que p ≤ n.
Calculer
n
X
(−1)k
k=0
n k
.
k
p
n X
n
3. Soit (xn )n∈N une suite de réels. Pour tout n ∈ N, on pose yn =
xk .
k
k=0
n
X
n
k n
Montrer que (−1) xn = (−1)
yk .
k
k=0
Exercice 11 : formule de Van der Monde
1. Soient A et B deux ensembles nis disjoints de cardinal respectivement a et b.
(a) Soit n ∈ [|0, a + b|].
Etant donné k ∈ [|0, n|], combien existe-t-il de parties de A ∪ B ayant n éléments et dont k éléments sont
dans A ?
(b) En déduire que, pour tout n ∈ [|0, a + b|], on a :
a+b
n
=
n X ab X
a
b
=
.
p q
k
n−k
p+q=n
k=0
(c) Montrer que la formule précédente, appelée formule de Van der Monde, est vraie pour tout n ∈ N.
2. En développant l'expression (1 + x)a (1 + x)b , retrouver la formule de Van der Monde.
Exercice 12 :
Soit n ∈ N∗ .
n
n
n
Calculer les sommes
X
k=0
k
n X 2 n
,
k
k
k
k=0
et
X
k=0
1
n
.
k+1 k
Exercice 13 :
Démontrer que tout ensemble ni non vide possède autant de parties de cardinal pair que de parties de cardinal
impair.
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