Théorème du papillon (Butterfly theorem)

Théorème du papillon
(Butterfly theorem)
Baptiste GORIN
Théorème . — Soient C un cercle et [P Q] une corde de milieu O. On considère deux cordes [AB] et [CD]
passant par O. Si X et Y sont les points d’intersection de [P Q] avec [AD] et [BC] respectivement, alors O est
le milieu du segment [XY ].
A
C
P
X
Y
Q
O
D
B
Démonstration
Méthode 1. — Soient H et I les pieds des hauteurs issues de X dans les triangles OAX et OXD respectivement,
J et K les pieds des hauteurs issues de Y dans les triangles OBY et OY C respectivement.
\ et JOY
[ ont même mesure (car opposés par le sommet), les triangles rectangles OHX
Comme les angles HOX
et OJY sont semblables. D’où :
HX
OX
=
OY
JY
[ et Y\
Comme les angles XOI
OK ont même mesure (car opposés par le sommet), les triangles rectangles XIO
et Y KO sont semblables. D’où :
IX
OX
=
OY
KY
\ et KCY
\ ont même mesure (car interceptant le même arc), les triangles rectangles
Comme les angles XAH
XHA et CKY sont semblables. D’où :
HX
AX
=
KY
CY
[ et Y[
Comme les angles IDX
BJ ont même mesure (car interceptant le même arc), les triangles rectangles DIX
et Y JB sont semblables. D’où :
DX
IX
=
JY
BY
Il vient :
OX 2
HX
IX
HX
IX
AX
DX
AX × DX
P X × QX
=
×
=
×
=
×
=
=
OY 2
JY
KY
KY
JY
CY
BY
CY × BY
P Y × QY
Comme OP = OQ, il vient :
OX 2
(OP − OX)(OP + OX)
OP 2 − OX 2
=
=
OY 2
(OP − OY )(OP + OY )
OP 2 − OY 2
d’où OX 2 = OY 2 puis OX = OY .
Ainsi, O est le milieu du segment [XY ].
Méthode 2. — La démonstration repose sur le lemme suivant :
′ A′ C ′ . Alors :
\ = B\
Lemme . — Soient ABC et A′ B ′ C ′ deux triangles tels que BAC
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Théorème du papillon
A(A′ B ′ C ′ )
A′ B ′ × A′ C ′
=
A(ABC)
AB × AC
\ et OCY
\ ayant la même mesure (car ils interceptent le même arc), le lemme appliqué aux
Les angles XAO
triangles OAX et OY C donne :
A(OAX)
AX × AO
=
A(OY C)
CY × CO
\ et Y
\
Les angles XOD
OC ayant la même mesure (car ils sont opposés par le sommet), le lemme appliqué aux
triangles OXD et OY C donne :
OC × OY
A(OY C)
=
A(OXD)
OX × OD
\ et Y
\
Les angles ODX
BO ayant la même mesure (car ils interceptent le même arc), le lemme appliqué aux
triangles OXD et OBY donne :
A(OXD)
OX × OD
=
A(OBY )
BY × BO
\ et AOX
\ ayant la même mesure (car ils sont opposés par le sommet), le lemme appliqué aux
Les angles BOY
triangles OAX et OBY donne :
OB × OY
A(OBY )
=
A(OAX)
OX × OA
En multipliant chaque membre de ces égalités, on obtient, après simplification :
OY 2 × AX × DX
=1
OX 2 × BY × CY
De plus, comme AX × DX = P X × QX et BY × CY = P Y × QY , il vient :
P X × QX
(OP − OX)(OP + OX)
OP 2 − OX 2
OX 2
=
=
=
OY 2
P Y × QY
(OP − OY )(OP + OY )
OP 2 − OY 2
en tenant compte de OP = OQ.
On aboutit à OX 2 = OY 2 puis OX = OY .
Ainsi, O est le milieu du segment [XY ].
Méthode 3. — Soit S le point d’intersection des droites (AD) et (BC).
Les points A, O et B étant alignés, le théorème de Ménélaüs appliqué aux droites (SX), (XY ) et (Y S) donne :
AX
OY
BS
×
×
=1
AS
OX
BY
Les points C, O et D étant alignés, le théorème de Ménélaüs appliqué aux droites (SX), (XY ) et (Y S) donne :
DX
OY
CS
×
×
=1
DS
OX
CY
En multipliant ces deux égalités, on obtient :
OY 2 × AX × DX × BS × CS
=1
OX 2 × BY × CY × AS × DS
Or BS × CS = AS × DS, donc :
OY 2 × AX × DX
=1
OX 2 × BY × CY
De plus, comme AX × DX = P X × QX et BY × CY = P Y × QY , il vient :
P X × QX
(OP − OX)(OP + OX)
OP 2 − OX 2
OX 2
=
=
=
OY 2
P Y × QY
(OP − OY )(OP + OY )
OP 2 − OY 2
en tenant compte de OP = OQ.
On aboutit à OX 2 = OY 2 puis OX = OY .
Ainsi, O est le milieu du segment [XY ].
\ β = AOX
\ et γ = XAO.
\
Méthode 4. — Posons α = XOD,
La loi des sinus appliquée au triangle DOM donne :
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Théorème du papillon
XD =
OX sin(α)
OX sin(α)
=
sin(π − α − β − γ)
sin(α + β + γ)
La loi des sinus appliquée au triangle XOA donne :
XA =
OX sin(β)
sin(γ)
Or, comme OP = OQ, on a :
XA × XD = XP × XQ = (OP − OX)(OP + OX) = OP 2 − OX 2
Ainsi :
OX 2 sin(α) sin(β)
= OP 2 − OX 2
sin(γ) sin(α + β + γ)
soit :
OX 2 =
OP 2 sin(γ) sin(α + β + γ)
sin(α) sin(β) + sin(α + β + γ)
\ car ces angles sont opposés par le sommet
Cette expression est symétrique en α et β. Or α = \
Y OA et β = BOY
\ car ces angles interceptent le même arc. On en déduit donc que OY 2 est égal à la même expression ;
et γ = DCB
par suite, OX = OY .
Ainsi O est le milieu du segment [XY ].
\ et OCB
\ d’une part, les angles ODA
\ et CBO
\ d’autre part, ont la même mesure
Méthode 5. — Les angles DAO
(puisqu’ils interceptent le même arc). Ainsi les triangles OADet OBC sont semblables et on a l’égalité :
CB
AD
=
AO
CO
Soient I le centre du cercle C, J et K les projetés orthogonaux de I sur (AD) et (BC) respectivement. J et K
sont les milieux respectifs des segments [AD] et [BC]. On déduit de ce qui précède l’égalité :
AJ
CK
=
AO
CO
[ et OCK
\ ont
Il en résulte que les triangles OAJ et OKC sont semblables puisque, par ailleurs, les angles JAO
même mesure.
[ = CKO.
\
Donc OJA
D’autre part, les quadrilatères OXJI et OIKY ont chacun une paire d’angles droits opposés de sorte qu’ils
sont, chacun, inscriptible dans un cercle ; autrement dit, les points O, X, J et I d’une part, les points O, I, K et
Y d’autre part, sont cocycliques. Ainsi :
[ = OJX
\
OIX
et
Y[
IO = Y\
KO.
[ = Y[
On déduit alors de ce qui précède que OIX
IO se qui traduit que O est le milieu du segment [XY ].
C.Q.F.D.