Physique 1

 Les calculatrices sont autorisées
Le sujet comporte quatre parties indépendantes.
Les parties 1 et 2 portent sur la mécanique (de la page 2 à la page 7).
Les parties 3 et 4 portent sur la thermodynamique (de la page 8 à la page 13).
1/13
MECANIQUE
La première partie peut être vue comme l’étude du mouvement d’un système matériel composé de 3
parties, relativement à un repère fixe. La seconde partie concerne le mouvement d’un point matériel
dans un fluide, le mouvement pouvant être étudié depuis un repère fixe ou depuis un repère mobile.
Noter que les deux parties sont indépendantes.
PARTIE 1 – Une moto et son conducteur
On va étudier quelques mouvements d’une motocyclette (moto) et de son conducteur. On suppose
l’existence d’un référentiel galiléen auquel est associé un repère orthonormé direct Oxyz et on note
r r r
ex , e y , ez les vecteurs unitaires des axes ; la direction Ox est supposée horizontale. L’accélération
r
r
due à la pesanteur est notée g = − ge y (pour simplifier les calculs, on pourra prendre g = 10 m.s −2 ).
L’ensemble moto + conducteur est de masse M = 300 kg, la position du barycentre de cet ensemble
est caractérisée par les distances d1 = 0, 7 m , d 2 = 0, 4 m et h = 1m (voir figure 1). La roue avant,
pneu inclus, de centre O1 , possède un rayon r1 = 0,5 m et un moment d’inertie, relativement à un
r
axe ( O1 , ez ) , J1 = 6 kg.m 2 .
La roue arrière, pneu inclus, de centre O2 , possède un rayon r2 = 0,52 m et un moment d’inertie,
r
relativement à un axe (O2 , e z ) , J 2 = 10 kg.m 2 . Lorsque la moto se déplace, les deux roues en
contact avec la chaussée supposée horizontale, les points de contact des roues avant et arrière sont
r
r
r
notés I 1 et I 2 . Les réactions du sol sur les roues sont respectivement ℜ1 = T1e x + N 1e y et
r
r
r
ℜ 2 = T2 e x + N 2 e y . Le coefficient de frottement des roues sur le sol est f = 0,8 ; il ne sera pas fait
de distinction entre le coefficient de frottement statique et le coefficient de frottement dynamique. A
r
r
un instant donné quelconque, la vitesse instantanée de l’ensemble est v = v.e x (on se limitera au cas
r
r
ν > 0 ). De même, on note ω1e z et ω 2 e z , les vitesses de rotation instantanées des roues avant et
arrière.
On supposera toujours que les roues roulent sans glisser sur le sol. De plus, pour les questions allant
de 1.1 à 1.14, on négligera l’action de l’air ambiant sur la moto et son conducteur (il peut s’agir, par
exemple, d’une phase de démarrage pour laquelle la vitesse n’est pas élevée).
y
r
g
Roue avant
Roue arrière
G
O2
r
ey O
O1
h
x
r
ex
I2
d2
d1
I1
Figure 1 : vue dans le plan vertical xOy
2/13
1.1
Ecrire les relations de non glissement des roues sur le sol ; en déduire les expressions de ω1 et
ω 2 en fonction de v, r1 , r2 .
1.2
r
r
On note σ 1 (O1 ) et σ 2 (O2 ) , les moments cinétiques en O1 et O2 des roues avant et arrière (il
r
s’agit de moments pour un observateur du repère Oxyz ). Donner les expressions de σ 1 (O1 ) et
r
σ 2 (O2 ) en fonction de J1 , ω1 , J 2 , ω2 .
1.3
r
Montrer que le moment cinétique σ (G ) de l’ensemble moto + conducteur relativement au
point G, moment pour un observateur du repère Oxyz, se limite à la somme des moments
précédents (on pourra utiliser le théorème de Koenig faisant référence au repère
barycentrique).
1.4
En utilisant le théorème de la résultante dynamique, donner deux expressions c et d liant
N1 , N 2 , T1 , T2 , M , g , v& (accélération instantanée).
1.5
En utilisant le théorème du moment cinétique, donner une expression e liant N1 , N 2 , T1 , T2
et h, d1 , d 2 , J1 , r1 , J 2 , r2 , v&.
1.6
En appliquant le théorème du moment cinétique à la roue avant, établir une relation f entre
T1 , J1 , r1 , v& (il est à noter que l’articulation de cette roue sur le reste de la moto est supposée
parfaite et que cette roue n’est soumise à aucun couple).
1.7
A partir des relations obtenues, écrire N1 , N 2 , T1 , T2 en fonction de v&.
1.8
Pour une accélération telle que
1.9
De même, montrer qu’il n’y a pas glissement sur le sol, pour cette accélération.
v&
= 0,1 , montrer que les roues ne décollent pas du sol.
g
r
1.10 Le moteur exerce un couple sur la roue arrière noté Γ.ez ( Γ < 0 puisqu’il s’agit du couple
moteur ; il n’y a pas de couple exercé sur la roue arrière). Par application du moment
cinétique à la roue arrière, expliciter la relation liant le couple et l’accélération.
1.11 On suppose le couple constant, ce qui correspond à une accélération constante. Exprimer la
puissance instantanée P transmise par le moteur à la roue arrière motrice.
Pour les questions 1.12 à 1.14, on suppose que le pilote parvient à soulever du sol la roue avant de
son véhicule et on notera θ l’angle d’inclinaison de O1O2 par rapport à l’horizontale (voir figures 2
et 3, page 4).
3/13
Roue avant
G
Roue arrière
h
O1
H
O2
I1
Sol
d1
I2
d2
Figure 2 : moto inclinée de θ
par rapport à l’horizontale
O2
I2
C2
θ
x
Figure 3 : détail du point de contact
1.12 En supposant négligeable la vitesse de rotation de la roue avant, exprimer le moment cinétique
en G de l’ensemble (il s’agit du moment cinétique pour un observateur du repère Oxyz ).
1.13 Déterminer le moment en G des forces s’appliquant à l’ensemble moto + conducteur.
1.14 D’après les deux questions précédentes, donner une équation permettant le calcul de l’angle θ .
v&
Donner la valeur numérique de cet angle, pour = 0, 2 en utilisant le graphe de la figure 4.
g
150
100
Moment /G pour
v&
= 0, 2
g
exprimé en N.m
50
0
10
12
14
16
18
20
22
θ en degrés
-50
-100
Figure 4 : moment / G des forces appliquées à l’ensemble
moto + conducteur en fonction de θ
4/13
24
1.15 A partir de cette question, on suppose que la moto roule de nouveau sur ses deux roues, le
r
moteur exerçant un couple constant sur la seule roue arrière, couple noté Γ.ez ( Γ < 0 ).
1.15 A partir de cette question, on suppose que la moto roule de nouveau sur ses deux roues, le
r celles des
Comme
ondes’intéresse
à une
où la levitesse v peut être plus grande que
suppose que moteur
la moto
roule
nouveau
ses phase
deuxsurroues,
exerçant
un
couplesurconstant
la seule roue arrière, couple noté Γ.ez ( Γ < 0 ).
r
questions précédentes, il est maintenant
nécessaire d’introduire une force supplémentaire de
.ez (laΓ <vitesse
0 ). v peut être plus grande rque celles
constant sur la
seule roue
arrière, couple
Comme
on s’intéresse
à une noté
phaseΓoù
des
2r
F
=
−
kv
e
et
freinage,
due
à
l’environnement
de
l’ensemble.
Cette
force
s’écrira
x
e phase où la questions
vitesse v précédentes,
peut être plus
grande
que celles
des d’introduire une force supplémentaire del’on
il est
maintenant
nécessaire
r point G.
r
supposera,
simplifier,
sa ligne
d’action
horizontale
passe
par le
maintenant nécessaire
d’introduire
une force que
supplémentaire
de Cette
F
= − kv 2 e x et l’on
freinage,
due pour
à l’environnement
de
l’ensemble.
force
s’écrira
r
r
Etablir
l’équation
différentielle
pour
v (reprendre les équations c à f et tenir compte de la
2
F sa
= ligne
−le
kv
ed’action
ment
de l’ensemble.
Cette
force
s’écrira
rpour
e la moto
roule
de nouveau
sur
ses
deuxque
roues,
x et l’on
supposera,
simplifier,
horizontale passe par le point G.
r
F
),
équation
g
.
force
e la
sa seule
ligne d’action
horizontale
passe
parΓ.le
G.
l’équation
différentielle
pour
ez point
(Γ <
0 ). v (reprendre les équations c à f et tenir compte de la
roueEtablir
arrière,
noté
r couple
1.15 A partir
de cette question,
ontenir
suppose
quedelalamoto roule de nouveau sur ses deux roues, le
le
pour
v
(reprendre
les
équations
c
à
f
et
r
F ),plus
équation
g.quepour
force
a vitesse v 1.16
peut
être
grande
celles
descompte
Montrer
qu’il
existe,
la
vitesse
v,
limitearrière,
vl dontcouple
on donnera
Γ.ez ( Γ < 0 ).en
moteur exerçant un couple constant surune
la valeur
seule roue
noté l’expression
écessaire d’introduire une force supplémentaire de
r
fonction
couple
et des
autres
paramètres.
Comme
onduexiste,
s’intéresse
àr une
phase
où la
vitesse
v peut
êtreonplus
grandel’expression
que celles en
des
qu’il
vitesse
v, une
valeur
limite
vl dont
donnera
F = −pour
kv 2 ela
semble. 1.16
CetteMontrer
force s’écrira
x et l’on
questions
précédentes,
il
est
maintenant
nécessaire
d’introduire
une
force
supplémentaire
de
vitesse v, une fonction
valeur limite
vl dont
on autres
donnera
l’expression en
du
couple
et G.
des
paramètres.
r
2 r
2
action horizontale
passe
par
le
point
2
1.17freinage,
Montrer due
queà l’équation
g peut
sousCette
la forme
v& + a.v =
Fa.=vl −.kvOn
e x précisera
et l’on
l’environnement
de s’écrire
l’ensemble.
force s’écrira
es
paramètres.
prendre
les équations c à f et tenir compte de la
2
2
l’expression
desimplifier,
la constante
a sa
enligne
fonction
de
k ,horizontale
M
, vr&2+. a.par
supposera,
d’action
lea.point
G. précisera
1 , J 2 , r1passe
1.17 Montrer
quepour
l’équation
g que
peut
s’écrire
sous
la, Jforme
v =
vl . On
2
2 pour v (reprendre les équations c à f et tenir compte de la
Etablir
l’équation
différentielle
peut s’écrirel’expression
sous lar forme
v& + a.v =
.vl fonction
. On précisera
de la constante
aaen
de k , M , J1 , J 2 , r1 , r2 .
1.18
En
supposant
que
la
vitesse
est
nulle
à l’instant t = 0, établir la solution de l’équation
F
),
équation
g
.
force
fonction
de kv,l Mdont
, J1 , on
J 2 , donnera
r1 , r2 .
eenvaleur
limite
l’expression en
vl
s.
1.18 En précédente.
supposant que
lacela,
vitesse
est nulle
à l’instant
t = 0, établir
la solution
de: ul’équation
Pour
on
pourra
introduire
le
changement
de
fonction
suivant
.en
=
1.16 Montrer qu’il existe, pour la vitesse v, une valeur limite vl dont on donnera l’expression
v
v
−
est nulle à l’instant t = 0, établir la solution de l’équation
l
v
fonction du
des
autresintroduire
paramètres.
précédente.
Pour
cela,
pourra
le changement de fonction suivant : u = l .
2 couple
2 eton
v
&
re sous la forme v + a.v =
a.vl . On précisera
vl − v
rra introduire le changement de fonction
suivant : u = l .
vl − v
de k , M , J11.17
, J 2 , r1Montrer
, r2 .
que l’équation g peut s’écrire
sous la forme v& + a.v 2 =
a.vl 2 . On précisera
PARTIE
2 – Point
matériel
dans
unfonction
fluide de k , M , J , J , r , r .
l’expression
de la
constante
a en
1 2 1 2
l’instant t = 0, établir la solution de l’équation
PARTIE
2 –dePoint
matériel
dans vun d’un
fluide
Il s’agit
l’étude
du mouvement
point matériel se déplaçant dans un fluide.
l
1.18 de
Enfonction
supposant
que : lau =vitesse
le fluide
changement
suivant
.est nulle à l’instant t = 0, établir la solution de l’équation
un
Soit ℜ un premier référentiel
auquel est associé un repère orthonormé direct d’axes OX,
v galiléen
−v
r unr fluide.
Il s’agit de l’étude du mouvement ld’un point matériel se déplaçantrdans
v
précédente.
Pour
cela,
on
pourra
introduire
le
changement
de
fonction
suivant
: ulié
. est
=à la lTerre
OY,
OZ.
Les
vecteurs
unitaires
associés
à
ces
axes
sont
notés
E
,
E
repère
x orthonormé
y , E z . Ce
’un pointSoit
matériel
déplaçant
dans un fluide.
ℜ unsepremier
référentiel
galiléen auquel est associé un repère
direct
d’axes
vl − OX,
v
r
r
r
considéré
fixe.orthonormé
L’axe
OZ est
due
à la pesanteur
seraest
notée
éen auquel
associécomme
un repère
direct
OX,notésl’accélération
OY,est
OZ.
associés
àvertical
cesd’axes
axesascendant,
sont
E x , E y , E z . Ce
repère
lié à la Terre
r runitaires
r
r Lesr vecteurs
g =sont
− gE
ciés à cesconsidéré
axes
notés
Efixe.
, E z . Ce
lié à laascendant,
Terre est l’accélération due à la pesanteur sera notée
z.
x , E yL’axe
comme
OZrepère
est vertical
r
r
Soit ℜ ’ un second référentiel auquel est associé un repère orthonormé direct d’axes Ox, Oy, Oz.
t verticalgascendant,
= − gE z . l’accélération due à la pesanteur sera notée r r r
Les
vecteurs
unitaires
associés
à ces
axes sont notés e x , e y , e z . Ce second repère mobile effectue un
PARTIE
2 –un
Point
matériel
dans
un fluide
tériel se déplaçant
dans
fluide.
Soit ℜ ’ un
second
référentiel auquel est associé un repère
orthonormé direct d’axes Ox, Oy, Oz.
rℜ .r Les
r axes Oz et OZ coïncident et l’on posera
mouvement
de
rotation
uniforme
relativement
à
st
associé
un
repère
orthonormé
direct
d’axes
OX,
uel est associé
orthonormé
Ox,notés
Oy, Oz.
Les vecteurs
unitaires
associésdirect
à cesd’axes
axes sont
repère mobile effectue un
e x ,se
e y déplaçant
, e z . Ce second
rr un rrrrepère
r
Il s’agit
derrl’étude
du mouvement d’un point matériel
dans un fluide.
sontsont
notés
E
,
E
,
E
.
Ce
repère
lié
à
la
Terre
est
,
=
ω
.
t
ω
,
la
vitesse
de
rotation,
est
supposée
constante
(voir
figures 5aetetl’on
b, page
6). Un
où
sesaxes
notés
.
Ce
second
repère
mobile
effectue
un
e
,
e
,
e
y de
z rotation
ypremier
z
mouvement
uniformegaliléen
relativement
ℜ .associé
Les axes
et OZ
coïncident
posera
Soit Xxℜ xun
référentiel
auquelà est
un Oz
repère
orthonormé
direct d’axes
OX,
r
r r r
rℜ . Leslié
endant, l’accélération
due
à
la
pesanteur
sera
notée
elativement
à
axes
Oz
et
OZ
coïncident
et
l’on
posera
récipient
à
ℜ
’,
figuré
en
pointillés,
renferme
un
volume
fluide
supposé
au
repos
relativement
EOY,
ω. t vecteurs
vitesse deassociés
rotation,
est supposée
5a et b, page 6). Un à
où ω , launitaires
à ces
axes sont constante
notés E x ,(voir
E y , Efigures
X , eOZ.
x = Les
z . Ce repère lié à la Terre est
ℜ ’, la masse
volumique
du fluide
ρ. Un
otation, estconsidéré
supposée
constante
(voir
figures
5aétant
et
b, notée
pageascendant,
6).
comme
fixe.
L’axe
OZ est
vertical
l’accélération
dueau
à la
pesanteur
sera notée
récipient lié
à ℜ ’, figuré
en pointillés,
renferme
un volume
fluide supposé
repos
relativement
à
r
Une
particuledirect
pesante,
de Ox,
masse
mOz.
et de masse volumique ρs se déplace au sein du fluide sous
r
ié
un
repère
orthonormé
d’axes
Oy,
lés, renferme
fluide supposé
au étant
repos
relativement
à
r notée
du fluide
ρ.
r rℜ g’,r =laun
−masse
gvolume
E z . volumique
otés
e x , e y ,ρe.l’action
de sonrepère
poids,mobile
d’une effectue
force F un
(et par la suite d’une force supplémentaire). On suppose que la
z . Ce second
tant notée
Une
pesante,référentiel
de masse auquel
mr et de
volumique
au sein
du fluide
sous
Soitparticule
ℜ ’ run second
est→masse
associé
un repèreρorthonormé
d’axes
Ox, Oy,
Oz.
s se déplacedirect
r posera
ρ sousrr r r
ρ
ℜ .deLes
axes
Oz
et
OZ
coïncident
et
l’on
2
mà et
masse
volumique
ρ
se
déplace
au
sein
du
fluide
s
s’écrit
sous
la forme
=
kpar
.Opsont
.md’une
.g .ezx , eforce
avec
kCe
= second
.m.ω repère
, uneOn
constante
positive
force
Les
vecteurs
unitaires
associés
notés
mobile
effectue
l’action
deFson
poids,
d’une
forceàFces
(et−axes
la+suite
suppose
que launet
y , e z .supplémentaire).
ρ
ρ
→Un
r
s
s
r
upposée
constante
(voir
figures
5a
et
b,
page
6).
(et par la
suite
d’une
force
supplémentaire).
On
suppose
que
la
r . Les axes ρOz et 2OZ coïncident et l’on posera
ρ
mouvement
rotation
uniforme
sous
la
forme
F point
=
− relativement
k .P
+ le plan
.m.gà.horizontal
eℜ
=
.m
.ω , est
unelaconstante
et de
force
Fr s’écritdela
Opsur
→
z , avec k (cette
pr désignant
projection
du
force
résultantepositive
des forces
ρ
ρ
2relativement à ρ
ρ
e
un
volume
fluide
supposé
au
repos
sest supposée
s (voir figures 5a et b, page 6). Un
=
− k .Op + .m
= ω , .m
, unedeconstante
et constante
E.Xg,.ezx , avec
= ω. t koù
la.ω
vitesse
rotation,positive
ρ
ρpsdésignant
ρ s sur
> 1 lasera
considéré.
On repère
pressionlas’exerçant
particule).
suite, seul(cette
le casforce est
projection
du la
point
P sur lePar
planlahorizontal
résultante
des forces
de la
récipient
lié (cette
à ℜ ’,force
figuréestenlapointillés,
renferme
undevolume fluide
supposé au repos relativement à
ρ
s
sur
le
plan
horizontal
résultante
des
forces
e volumique ρs se déplace au sein du fluide sous
ρ
considéré. On
repère
pression
s’exerçant
sur
lacoordonnées
particule).
Par
la
suite,
ℜposition
’, la masse
volumique
du fluide étant
notée
ρ. seul le cas
P
par
ses
X
,
Y
,
Z
(relativement
à
ℜ
)
ou> x1, ysera
, z (relativement
àℜ
’). la
de
ρ
uite
d’une
force
supplémentaire).
On
suppose
que
la
ρ
> 1 de
sera
considéré.
Onmasse
repèrevolumique
la
). Par la suite,
le caspesante,
Une seul
particule
masse
m et de
ρs se déplace au sein du fluide sous
ρ scoordonnées X, rY, Z (relativement à ℜ ) ou xs, y, z (relativement à ℜ ’).
r
ρ P par
2 ses
position
de
m.g .ez , avecl’action
k = de
.mson
.ω ,poids,
une constante
positive
d’une force
F (etetpar la suite d’une force supplémentaire). On suppose que la
, Y, Z (relativement
à→ℜ ’).
ρrs à ℜ ) ou x, y, z (relativement
r
r
ρ
ρ
la forme
=
− k .Op
.m.ω 2 , une constante positive et
force force
F s’écrit
horizontal (cette
est lasous
résultante
desFforces
de + .m.g .ez , avec k =
(
(
(
)
)
)
ρs
ρs
ρ
5/13
> 1 la
sera
considéré.
repère
e, seul le pcas
désignant
projection
du On
point
P surlale plan horizontal (cette force est la résultante des forces de
ρs
5/13 seul le cas ρ > 1 sera considéré. On repère la
pression
sur laàparticule).
Par la suite,
vement à ℜ )5/13
ou x, ys’exerçant
, z (relativement
ℜ ’).
ρs
Z
y
P
h
r
g
y
O
Y
O
• p
Y
hp
X
ω.t
X
x
Figure 5a : vue dans l'espace
x
Figure 5b : vue dans le plan horizontal
2.1
Etablir les trois équations différentielles du mouvement de P pour un observateur de ℜ , c’està-dire pour les variables X, Y et Z, fonctions du temps (équations I, II et III). Donner la
solution générale des équations différentielles I et II et préciser la nature de la trajectoire du
point p, trajectoire vue de ℜ.
2.2
Etude de quelques cas particuliers
2.2.1 Dans le cas des conditions initiales suivantes :
k
=
X (0) X 0 ,=
X& (0) 0,=
Y (0) 0,=
Y& (0) X 0
, préciser la nature de la trajectoire du point p
m
(trajectoire dans ℜ ) ainsi que la vitesse angulaire de parcours sur cette courbe. Indiquer la
nature de cette même trajectoire vue de ℜ ’ ainsi que la vitesse angulaire de parcours.
2.2.2 Pour les conditions initiales suivantes :
=
X (0) X 0 ,=
X& (0) U 0=
, Y (0) 0,=
Y& (0) 0 , établir les solutions de I et II ; préciser la nature
de la trajectoire vue de ℜ.
2.3
r
A partir de maintenant, on va tenir compte d’une force supplémentaire Fv , trouvant son
r
r
origine dans la viscosité du fluide. Cette force s’écrit Fv = − μ .vr où μ désigne une constante
r
positive, vr étant la vitesse de P par rapport à ℜ ’. On va maintenant déterminer les équations
différentielles du mouvement pour un observateur de ℜ ’, c’est-à-dire pour les variables x, y
r r r
r r r
et z, fonctions du temps. Exprimer, suivant ex , e y , ez , les vecteurs ar , ac , ae , respectivement
accélération relative, de Coriolis et d’entraînement du point P.
6/13
2.4
En utilisant les résultats de la question 2.3, établir les équations différentielles du mouvement
pour x et y (équations IV et V).
2.5
Des solutions approchées de ces équations IV et V peuvent être obtenues en supposant
l’accélération de Coriolis négligeable devant l’accélération d’entraînement. Etablir les
expressions de x et y en fonction du temps. Pour simplifier l’écriture, on pourra poser
μ
k
Ω=
− ω 2 et
= λ , cette dernière quantité étant supposée inférieure à Ω.
2m
m
2.6
Pour t → +∞ , quelle est la position de p ?
7/13
THERMODYNAMIQUE
Bilan thermique d’une maison climatisée
Ce problème se compose de deux parties. La première partie, indépendante de la seconde, porte sur
une étude du double vitrage. Dans cette première partie, beaucoup de questions ne dépendent pas
des précédentes. Nous analysons l’intérêt d’utiliser 2 vitres ainsi que les solutions technologiques
actuellement employées pour réduire les pertes thermiques. La seconde partie aborde le
fonctionnement du climatiseur d’un point de vue très général puis le bilan thermique d’une maison
climatisée en présence d’air sec.
Données du problème :
Constante de Stefan =
: σ 5, 67 × 10−8 W.m −2 .K −4 .
Constante des gaz parfaits : R = 8,315 J.mol−1.K −1.
PARTIE 3 – Comparaison des fenêtres à double vitrage
On suppose qu’un corps noir au fond d’une cavité est éclairé par le soleil. L’ensemble du problème
sera unidimensionnel. Le corps noir ne rayonne que d’un côté. Une fenêtre est interposée entre le
soleil et le corps noir comme représenté sur la figure 6.
Fenêtre
Corps
noir
Isolant
thermique
sans rôle
Figure 6 : corps noir recouvert d’une vitre éclairé par un rayonnement solaire
Dans cette partie, le corps noir sera supposé parfait, absorbant l’intégralité du rayonnement incident
et réémettant tout le rayonnement absorbé. Toutes les vitres sont en verre que l’on suppose
parfaitement transparent au rayonnement solaire et se comportant comme un corps noir dans
l’infrarouge lointain. Dans cette partie du problème, on supposera que le flux surfacique solaire
incident ϕ s , normal au corps noir, est égal à 1000 W.m −2 .
3.1
Questions préliminaires
3.1.1 Donner la loi du déplacement de Wien reliant la température du corps noir TCN et la
longueur d’onde λm du maximum d’émission du corps noir en μm.
8/13
3.1.2 Indiquer dans quel domaine spectral émet un corps noir chauffé à 300 K et à 5800 K
(température
soleil).
3.1.2
Indiquer du
dans
quel domaine spectral émet un corps noir chauffé à 300 K et à 5800 K
(température du soleil).
3.1.3 Le verre est globalement transparent pour le rayonnement solaire (le soleil émet dans le
visible)
et se comporte
commetransparent
un corps noir
l’infrarouge solaire
lointain(le
(issu
desémet
corpsdans
à le
3.1.3
Le verre
est globalement
pourdans
le rayonnement
soleil
température
ambiante).
Sachant
que
95
%
du
rayonnement
d’un
corps
noir
est
concentré
visible) et se comporte comme un corps noir dans l’infrarouge lointain (issu des corps à
entretempérature
0,5 λm et 8 λambiante).
la longueur
à laquelle
verreestchange
m, déterminer
Sachant
que 95d’onde
% du approximative
rayonnement d’un
corpslenoir
concentré
de comportement.
Les
constructeurs
en
fonction
du
type
de
verre
donnent
3
4
µm.
entre 0,5 λ et 8 λ , déterminer la longueur d’onde approximative à laquelle le verre change
m
m
de comportement. Les constructeurs en fonction du type de verre donnent 3 - 4 µm.
3.2
Comparaison du simple et du double vitrage
3.2 Comparaison du simple et du double vitrage
3.2.1 La fenêtre est composée d’une simple vitre (température Tv1 ). A partir d’un bilan radiatif et
sans La
tenir
compte
de la présence
la température
corps
noir
TCNa
en et
3.2.1
fenêtre
est composée
d’uned’air,
simpledéterminer
vitre (température
Tv1 ). Adu
partir
d’un
bilan
radiatif
(
)
−2 noir T
sans
tenir compte
de la présence
d’air,
déterminer
du corps
.
régime
stationnaire.
Effectuer
l’application
numérique
pourla Ttempérature
CNa en
CNa ϕ s = 1000 W.m
(
)
régime stationnaire. Effectuer l’application numérique pour TCNa ϕ s = 1000 W.m −2 .
3.2.2 La fenêtre est maintenant composée d’un double vitrage. La vitre extérieure est à la
température
Tv1 est
et lamaintenant
vitre face composée
au corps noir
la température
A partir
d’un bilan
v 2 . vitre
3.2.2
La fenêtre
d’unà double
vitrage. T
La
extérieure
est à la
radiatif
et
sans
tenir
compte
de
la
présence
d’air,
déterminer
la
température
du
corps
noir
température Tv1 et la vitre face au corps noir à la température Tv 2 . A partir d’un bilan
TCNb radiatif
en régime
stationnaire.
et sans
tenir compte de la présence d’air, déterminer la température du corps noir
(
)
TCNb l’application
en régime stationnaire.
Effectuer
numérique pour TCNb ϕ s = 1000 W.m −2 .
(
)
Effectuer l’application numérique pour TCNb ϕ s = 1000 W.m −2 .
On cherche maintenant une durée caractéristique de la décroissance de la température pour les
différentes
fenêtres.
On ne tient
pas compte de de
l’air.
suppose que
noir est pour
à la les
On cherche
maintenant
unetoujours
durée caractéristique
la On
décroissance
de lelacorps
température
température
de T
0s ,toujours
qu’il rayonne
et se refroidit.
Il nesuppose
reçoit plus
de corps
rayonnement
2 = 333K
différentes
fenêtres.
Onànet =tient
pas compte
de l’air. On
que le
noir est à la
température
de Tle2 corps
= 333K
= 0scapacité
, qu’il rayonne
et seCrefroidit.
reçoit
plus Adederayonnement
= 104 J.KIl−1ne
, une
surface
1m 2 et
solaire.
Sachant que
noirà at une
thermique
que la
capacité
thermique
vitres
estanégligeable
: thermique C = 104 J.K −1 , une surface A de 1m 2 et
solaire.
Sachant
que ledes
corps
noir
une capacité
que la capacité thermique des vitres est négligeable :
3.2.3 Déterminer la durée τ a pour que le corps noir soit à une température de T1 = 300 K pour le
simple
vitrage. la
Effectuer
numérique
et àdonner
cette durée
et le
3.2.3
Déterminer
durée τ al’application
pour que le corps
noir soit
une température
de en
T1 =minutes
300 K pour
secondes.
simple vitrage. Effectuer l’application numérique et donner cette durée en minutes et
secondes.
3.2.4 Déterminer la durée τ b pour que le corps noir soit à une température de T1 = 300 K pour le
double
vitrage. Exprimer
fonction
τ a . L’application
n’est
3.2.4
Déterminer
la durée τ bb en
pour
que lede
corps
noir soit à unenumérique
température
de pas
T1 =demandée.
300 K pour le
double vitrage. Exprimer τb en fonction de τ a . L’application numérique n’est pas demandée.
3.3
Amélioration par métallisation externe
3.3 Amélioration par métallisation externe
3.3.1 Sur la face la plus externe du double vitrage à la température Tv1 , est déposée une fine
couche
revêtement
à faible
émission
thermique. On
que cette
3.3.1
Sur métallique
la face la ou
plusunexterne
du double
vitrage
à la température
Tv1 suppose
, est déposée
une fine
couche
transmet
intégralement
le
flux
solaire
et
réduit
de
moitié
l’émission
de
cette
face.
Encette
couche métallique ou un revêtement à faible émission thermique. On suppose que
1
couche transmet
intégralement
fluxsurfacique
solaire et réduit
de moitié
face. En
conséquence,
on devra
écrire que leleflux
émis par
la vitrel’émission
vaut ϕ = deσcette
T 4 pour
2 1
conséquence, on devra écrire que le flux surfacique émis par la vitre vaut ϕ = σ T 4 pour
la face métallisée et ϕ = σ T 4 pour la face non métallisée. A partir d’un bilan radiatif2et sans
4
tenirlacompte
de la présence
température
TCNc d’un
du bilan
corps radiatif
noir. La
face métallisée
et ϕ = σ Td’air,
pourdéterminer
la face nonlamétallisée.
A partir
et sans
tenir compte de la présence d’air, déterminer la température TCNc du corps noir. La
9/13
9/13
température de la vitre face au corps noir est notée Tv 2 . Effectuer l’application numérique
(
)
pour TCNc ϕ s = 1000 W.m −2 .
3.3.2 Déterminer la durée caractéristique τ c de la décroissance de la température pour passer de
T2 = 333K à T1 = 300 K pour cette fenêtre. Comme précédemment, on suppose que le
corps noir ne reçoit plus de rayonnement solaire, qu’il a une capacité thermique
C = 104 J.K −1 , une surface A de 1m 2 et que la capacité thermique des vitres est négligeable.
Exprimer τ c en fonction de τ a . L’application numérique n’est pas demandée.
3.4
Prise en compte des échanges diffusifs dans le double vitrage
On prend en compte, dans un premier temps, les échanges de type diffusif dus à un gaz uniquement
entre les deux vitres. Dans le cadre d’un modèle microscopique, on considère que les molécules se
déplacent à la vitesse quadratique moyenne identique v∗ suivant trois directions et pour chaque
direction suivant deux sens (isotropie de la distribution des vitesses).
3.4.1 Trouver, dans le cadre de ce modèle simplifié du gaz parfait en équilibre thermodynamique
interne, la relation entre la pression p et la vitesse v∗ .
3.4.2 A partir de l’équation d’état du gaz parfait, retrouver l’expression suivante de la vitesse v∗
en fonction de la température T :
3RT
v∗ =
M
où R est la constante des gaz parfaits et M la masse molaire du gaz considéré.
On suppose maintenant, qu’à une échelle d’espace plus grande, les molécules subissent des chocs
caractérisés par une section efficace, a, que l’on suppose constante en fonction de la pression et de
la température. La conductivité thermique peut s’écrire :
1 c ∗
λ=
v
3 2a
où c est la capacité thermique constante d’une molécule et v∗ la vitesse quadratique moyenne
obtenue à la question précédente.
3.4.3 Est-ce que la conductivité thermique λ varie avec la pression ? Et avec la température ?
Tv1
Tv2
Température
extérieure
303 K
Température
intérieure
293 K
L
Figure 7 : vitres composant le double vitrage
10/13
Dans les doubles vitrages, le constructeur vante le remplacement de la lame d’air emprisonnée entre
les deux vitres par de l’argon. A pression atmosphérique et à 273K, la conductivité thermique de
l’argon vaut 0, 0177 W.m −1.K −1 alors que pour l’air, elle s’élève à 0, 0240 W.m −1.K −1. La résistance
thermique est définie par :
ΔT
Rth =
Φ
où ΔT = Tv1 − Tv 2 est la différence de températures entre les deux thermostats entre lesquelles
s’échange un flux énergétique Φ (en W). La température intérieure est de 293K et la température
extérieure de 303K comme indiqué sur la figure 7.
3.4.4 Exprimer Rth en fonction de la surface A de chaque vitre, de la distance entre les deux
thermostats L et de la conductivité thermique λ .
3.4.5 Donner l’analogie entre les grandeurs thermiques ( Rth , ΔT , Φ ) et les grandeurs électriques
dans un tableau en spécifiant, pour chaque grandeur, l’unité.
3.4.6 Les vitres séparées par l’air sont distantes de d = 1cm. Quelle distance L permet d’avoir la
même résistance thermique avec de l’argon ? La différence vous parait-elle importante ?
On suppose une faible différence de température (linéarisation du problème) et l’on prend en
considération (1) la conductivité thermique et (2) le rayonnement entre les deux vitres.
3.4.7 Ecrire le flux énergétique entre la vitre 1 et la vitre 2 en fonction des données du problème
(surface A, distance L entre les vitres, températures des vitres Tv1 et Tv 2 , conductivité λ et
constante de Stephan σ ). Linéariser cette expression sachant que
4
Tv41 − Tv42 = ⎡⎣Tv 2 + (Tv1 − Tv 2 ) ⎤⎦ − Tv42 ≈ (Tv1 − Tv 2 ) × 4 Tv32 .
3.4.8 Que vaut la résistance thermique pour la lame d’air (L vaut alors d = 1cm ) sans le
rayonnement ( Rths ) et avec le rayonnement ( Rtha ) ? Effectuer l’application numérique. On
prendra une surface A = 1m 2 . Est-ce que la contribution du rayonnement est importante ?
Remarque : il est courant que la métallisation ou une couche à faible émission thermique soit
située sur une des faces internes.
3.4.9 Entre une lame d’air et une lame d’argon, la différence est un peu plus grande que celle que
l’on a calculée. De plus, si l’espacement entre les vitres est supérieur à 1,2 cm, la résistance
thermique ne varie plus. Quel phénomène de transport thermique permet d’expliquer ces
observations ?
11/13
3.4.10 Le coefficient de transfert thermique U d’une fenêtre, exprimé en W.m −2 .K −1 , est défini
comme l’inverse du produit de la résistance thermique de l’objet et de sa surface A. Il vaut
pour les différents types de fenêtres :
(
Système
Fenêtre
U W.m −2 .K −1
I
II
III
IV
V
Simple vitrage
Double vitrage ordinaire
Double vitrage avec métallisation
Double vitrage avec métallisation et argon
Triple vitrage avec métallisation et argon
5,8
2,8
1,9
1,1
0,8
)
Pour référence, les murs ont typiquement un coefficient de transfert thermique de
0,5 W.m−2 .K −1.
Analyser l’importance du nombre de vitres à partir du tableau ci-dessus et des questions
précédentes. Justifier que l’on installe majoritairement des fenêtres en double vitrage.
PARTIE 4 – Bilan thermique d’une maison climatisée en été
On considère une maison et sa climatisation. La température extérieure est de TC = 303K . La
température intérieure est de TF = 293K . L’ensemble mur-fenêtre reçoit un flux net (radiatifconvectif-diffusif) de +1000 W. La maison est équipée d’une climatisation idéale. Sur chaque
cycle, le fluide circulant dans l’installation reçoit un transfert thermique QC à la source chaude, un
transfert thermique QF à la source froide et un travail W. Dans toute cette partie, on admettra que la
conversion électromécanique du compresseur (moteur servant lors de la compression) a un
rendement unité.
4.1
Maison sans circulation d’air
4.1.1 A partir du premier principe, exprimer le travail W en fonction du transfert thermique avec
la source chaude QC et froide QF .
4.1.2 A partir du second principe en supposant une machine de Carnot, donner l’expression de
QF en fonction de QC , TC et TF .
4.1.3 Déterminer le coefficient de performance (COP) du climatiseur idéal modélisé comme une
machine de Carnot fonctionnant en récepteur. Effectuer l’application numérique.
4.1.4 Quelle puissance électrique est nécessaire pour maintenir la température interne de la
maison à 293K avec cette machine de Carnot ?
Rappel : le moteur est idéal, sans perte, convertissant l’intégralité de la puissance électrique
reçue en puissance mécanique.
12/13
4.1.5 La machine réelle utilisée pour la climatisation de la maison a un COP de 3. En déduire la
puissance électrique nécessaire pour maintenir la température interne de la maison à 293K.
4.2
Prise en compte de la circulation d’air sec
Dans une maison de 100 m 2 , le débit volumique d’air entrant mesuré à l’extérieur vaut 100 m3 .h −1.
L’air chaud entrant est directement en contact avec la climatisation. La température à l’intérieur de
la maison est homogène. L’air entrant est à la même pression que l’air sortant. On prendra :
p=
1, 00 × 105 Pa, M air =
0, 0289 kg.mol−1 et c p ,air = 1005 J.kg −1.K −1.
dx
= x&.
dt
le débit massique d’air entrant et
L’air sera traité comme un gaz parfait. Dans la suite, on adoptera la notation :
4.2.1 Ecrire le bilan des débits massiques (on notera m& V ,air ,e
m& V ,air ,s le débit massique d’air sortant). Déterminer la valeur numérique du débit massique
entrant en g.s −1 . La température de référence sera la température extérieure Tair = 303K.
4.2.2 Ecrire le premier principe et en déduire l’expression du transfert thermique reçu par l’air
entrant δ Qair ,e en fonction des paramètres du problème dont font partie le débit massique
m& V ,air ,e et la différence de température TC − TF . Dans le cas d’un système ouvert, on
rappelle que la variation d’enthalpie dH = C p dT est reliée au transfert thermique δ Q et au
travail utile δ Wu = Vdp par :
dH = δ Wu + δ Q .
4.2.3 En déduire la puissance thermique Q& F reçue par le fluide de la climatisation nécessaire pour
refroidir cet air. Effectuer l’application numérique.
4.2.4 Quelle puissance électrique est maintenant nécessaire pour maintenir la température interne
de la maison ensoleillée à 293K avec la climatisation réelle ( COP = 3) ?
4.2.5 En présence d’air humide saturé (air + vapeur d’eau dont la pression partielle est égale à la
pression de vapeur saturante), la puissance thermique Q& F trouvée à la question 4.2.3 passe à
1290 W. A quel phénomène physique est associée cette augmentation sachant que la
pression de vapeur saturante de l’eau vaut 4 246 Pa à 303K et 2339 Pa à 293K ?
Fin de l'énoncé.
13/13
I M P R I M E R I E N A T I O N A L E – 13 1158 – D’après documents fournis