⃗x ⃗y R1 R2

DS – SI – MPSI – PCSI – 4/6/2016
3h30
PARTIE I – Calcul d'un centre de gravité
1)Déterminer le volume puis la position du centre de gravité du secteur
circulaire homogène d'épaisseur constante e représenté ci-dessous.
⃗y
α
R2
α
⃗x
R1
PARTIE II – Vol d’un drone miniature
Les drônes, véhicules volants sans pilote humain à
bord.
Depuis, de nombreux drones ont été développés. Les
applications sont multiples : localisation de victimes
lors de catastrophes naturelles, supervision du trafic
routier, prises de vues de bâtiments ou d’ouvrages
d’art pour la maintenance, inspection de lignes
électriques ou de voies ferrées... Le drone est alors
principalement utilisé dans sa fonction d’œil
déporté, grâce à son vol stationnaire dans des
missions difficiles d’accès pour l’homme.
Figure 1 – Drone Munin de Safran
L’objet de cette étude est la modélisation, l’analyse et la commande du drone
miniature Munin développé par la Safran, à rotor caréné à pas fixe et quatre
gouvernes dans une application de surveillance de bâtiment (Figure 1). Le
drone considéré est équipé d’un rotor principal à pas fixe assurant la
sustentation. Des gouvernes sont disposées dans le flux d’air afin de réaliser la
commande d’orientation.
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Moteur
M=0,2 kg
Carène
M=0,8 kg
O4
O2
O3
A)Vérification de la stabilité du drôle
Dans un premier temps, on cherche la position du centre de gravité de drône
afin de vérifier l'équilibre en vol. Pour que le drône soit stable, il faut que le
centre de gravité de l'ensemble soit situé au dessous du centre de poussée de
l'hélice.
Le modèle volumique approché du drône est constitué :
-d'une carène de centre de gravité O₃ tel que O₁O₃ = 0,06 m et de masse 0,8
kg ;
-d'un moteur de centre de gravité O₄ tel que O₁O₄ = 0,12 m et de masse 0,2
kg ;
- d'une hélice de centre de gravité O₂ tel que O₁O₂ = 0,08 m et de masse 0,02
kg.
Le poids des nervures et gouvernes sont négligés.
Q1. Déterminer la position du centre de gravité de l'ensemble par rapport à
O₁.
Q2. Conclure quant à la stabilité du drône.
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B) Détermination de l'action mécanique de poussée de l'hélice
On modélise dans un premier temps l’action de l’air sur l’hélice.
L’hélice 2 est composée de 2 pales 2a et 2b et possède un axe de symétrie
(O2 , z⃗1) . On définit pour une section de pale (au niveau du point P ), deux
⃗ ⃗
⃗ ⃗
dP air →2a et dT=
dT air → 2 a qui représentent
vecteurs infinitésimaux dP=
respectivement la portance et la traînée, issues de la décomposition de la
résultante de l’action mécanique de l’air sur la section.
Les conditions aérodynamiques permettent d’écrire la vitesse d’un point P de
V P ∈ 2/ air=V ⃗x ₂ avec
l’hélice 2 dans son mouvement par rapport à l’air : ⃗
V =− λ (r +ω)>0 où (r +ω) est la vitesse angulaire de l’hélice par rapport à 0
(ω vitesse angulaire de 2/1 et r vitesse angulaire de 1/0).
Ces actions infinitésimales sont définies par :
−2
• ⃗
(coefficient de portance supposé
dP( λ)=− K z V 2 dλ ⃗
z 1 avec K z =0,024 kg . m
constant) ;
dT (λ)=− K x V 2 dλ ⃗x ₂ avec K x =0,006 kg .m−2 (coefficient de trainée supposé
• ⃗
constant).
O 2 P= λ y⃗2 où r 2 < λ<R 2 avec r 2=2cm et R 2 =12 cm respectivement
On pose ⃗
le rayon de l'axe de l'hélice et le rayon extérieur de l'hélice.
Q3. Calculer, par intégration le long de la pâle d'hélice, la résultante puis le
moment du torseur de l'action mécanique de l'air sur 2a.
Q4. Par considérations graphiques, déduire le torseur de l'action mécanique
de l'air sur 2b et montrer que le torseur d’action mécanique global de
l’air sur l’hélice (pales 2a et 2b) est de la forme :
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PARTIE III – Barre franche de voilier
La barre d'un voilier permet de contrôler le cap par action en rotation sur le
safran (gouvernail).
Objectif : On veut connaître l'effort que doit fournir le barreur pour maintenir
le cap du voilier.
L’étude porte sur l’ensemble safran, mèche, barre schématisé ci-dessous.
La force hydrodynamique sur le
safran, déterminée
expérimentalement, est notée Fh
= 5700 N appliquée en A et
dirigée selon l'axe ⃗y .
L'effort fourni par le barreur
(inconnu) est modélisé par une
force F (glisseur) au point E et
dirigée selon l'axe ⃗y .
Q1) Tracer le graphe de
structure en précisant les actions
mécaniques extérieures.
Q2) Déterminer le système à
isoler afin de répondre à l’objectif.
Q3) Déterminer l’intensité de
⃗ .
l’effort F
Q4) Déterminer les efforts en B et
en C.
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PARTIE IV – freinage de l'A318
Mise en situation
Le freinage est une des fonctions vitales d’un avion, au même titre que la propulsion ou la
sustentation. C’est grâce à lui que l’avion peut s’immobiliser après l’atterrissage, circuler
au sol en toute sécurité mais également s’arrêter en cas d’urgence lors d’une interruption
de
décollage. Outre les freins, le pilote peut aussi actionner les inverseurs de poussée des
moteurs et les aérofreins.
On retiendra le cas de l’Airbus A318, avion commercial de 120 places et de rayon d’action
de 3240 km. La masse maximale au décollage est de 60 . 10 3 kg et la vitesse de
décollage est estimée à 240 km/h.
Pour les atterrisseurs, on distingue :
• le train avant qui, en dehors de l’appui, est orientable ce qui lui permet d’agir sur les
trajectoires au sol mais qui n’est pas équipé de freins,
• les deux trains principaux au niveau des ailes, chacun portant deux roues freinées
indépendamment.
Problème posé
On se propose de calculer le couple minimal de freinage à l’arrêt que doivent exercer les
freins de parking au niveau de chaque roue puis de déterminer le couple de freinage en
fonction des caractéristiques des freins.
A)Freinage et décélération
On considère l’avion à l’arrêt sur la piste. On note G son centre de gravité,
y0 , ⃗
z 0 ) où ⃗
z0 est la verticale descendante du lieu, N₁ les
un repère galiléen (G , x⃗0 , ⃗
actions de contact supposées égales au niveau de chacune des quatre roues des trains
principaux, N₂ l’action de contact au niveau du train avant.
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Q1. Déterminer les expressions littérales et les valeurs numériques des efforts normaux
N₁ au niveau de chacune des quatre roues de l’atterrisseur principal et de l’effort normal
N₂ au niveau du train avant.
Q2. L'avion doit pouvoir s’arrêter à partir de la vitesse d'atterissage de 240 km/h sur une
longueur de piste de 740 m. Calculer la valeur de l'accélération pendant la phase de
frainage et la durée de la phase de freinage.
Q3. En déduire la composante tangentielle (due au freinage) de l'action de la piste sur le
train principal pour obtenir cette deccélération.
On considère que l'action normale N₁ est la même que à l'arrêt.
Q4. En déduire la valeur du « couple minimal de freinage » que doivent exercer les freins
au niveau de chaque roue.
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B) Freinage
Constitution des freins
Les disques de frein sont empilés les uns sur les autres, constituant ce qu’on appelle un
"puits de chaleur" en raison de la température qu’ils peuvent atteindre : jusqu’à 3 000°C
pour un avion freiné à pleine vitesse !
La moitié de ces disques est solidaire de la roue (ou jante) et tourne avec elle, ce sont les
rotors ; l’autre moitié est solidaire de l’avion par l’intermédiaire de l’essieu et ne tourne
pas, ce sont les stators. Ils sont montés en alternance. Ce sont ainsi les frottements des
disques les uns sur les autres qui assurent le freinage.
Les disques de friction sont en carbone pour des raisons de température de
fonctionnement
et de légèreté.
Le premier disque sur lequel agissent les pistons à l’origine des efforts presseurs est un
stator solidaire de l’essieu. La figure ci-dessous montre deux solutions de montage pour le
dernier disque :
 Solution 1 (à gauche) : le dernier disque est monté sur l’essieu, c’est donc un stator
 Solution 2 (à droite) : le dernier disque est monté sur la jante, c’est donc un rotor.
On souhaite d’autre part, lors de la mise en pression des pistons, une constance de l’effort
axial auquel les roulements coniques sont soumis.
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Par mesure de sécurité, le dispositif de freinage est dédoublé sur chaque roue. Ainsi, 2
Np pistons sont montés sur chaque essieu mais seulement N p agissent simultanément sur
les disques de frein, les Np autres n’étant utilisés qu’en cas de défaillance du système de
freinage principal.
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Questions.
Q5. On désigne par Va la vitesse de l’avion et on suppose aucun glissement des roues sur
la piste. En déduire l’expression de la vitesse de glissement V g des garnitures de
friction en regard pour un point situé à la distance r de l’axe de la roue.
Q6. Exprimer l’effort presseur F auquel est soumis chaque face des disques de friction en
fonction de Ph, Sp et Np.
Q7. En déduire l’expression de la pression p, supposée uniforme, entre deux disques en
contact.
Q8. On considère un élément de surface dS situé sur un rotor à une distance r
( Ri  r  Re ) de l’axe de la roue. Démontrer, en s’aidant des indications de la figure
que la contribution au couple de freinage de deux surfaces en regard est donnée par
l’expression :
Q9. En déduire le couple total CT exercé par les Nd disques du système de freinage d’une
roue en fonction de Ph et des données géométriques et de frottement.
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