Planche 50 Exercice 1 (Dénombrement `a l`aide de

Planche 50
Exercice 1 (Dénombrement à l’aide de récurrence). Un escalier a n marches. Pour chaque marche,
on peut soit monter sur la suivante, soit sauter la suivante et aller sur celle d’après. De combien
de façons différentes peut-on monter cet escalier ?
Exercice 2 (En lien direct avec la formule du multinôme).
a) On dispose de 100 petites figurines playmobil toutes différentes. On veut en donner 50 à
Paul, 20 à Nicolas, 15 à Louis, 10 à Valentin et 5 à Alexis.
Combien de façons différentes y-a-t-il de faire la répartition ?
b) Si E est un ensemble de cardinal n et si on fixe d entiers (k1 , . . . , kd ) ∈ Nd tels que k1 + ⋅ ⋅ ⋅ +
kd = n, combien il y a-t-il de façons de partitionner E en d ensembles A1 , . . . , Ad disjoints avec
Card(Ai ) = di pour tout i ∈ ⟦1, d⟧ ?
Exercice 3. On considère une boı̂te contenant 5 boules blanches, 4 boules noires et 3 boules vertes.
a) On tire simultanément trois boules.
i) Quelle est la probabilité d’avoir trois boules de la même couleur ?
ii) Quelle est la probabilité d’avoir une boule de chaque couleur ?
b) On tire successivement trois boules dans l’urne en remettant à chaque fois la boule tirée dans
la boı̂te. Répondre aux mêmes questions qu’au a).
c) On tire trois boules l’une après l’autre, sans remettre les boules tirées.
i) et ii) Répondre aux deux questions du a).
iii) Quelle est la probabilité que la première boule blanche tirée le soit au troisième tirage ?
iv) Quelle est la probabilité que la deuxième boule blanche tirée le soit au troisième tirage ?
Exercice 4 (A comparer aux deux précédents). Une boı̂te contient N boules de k couleurs : N1
de couleur c1 , N2 de couleur c2 , . . ., Nk de couleurs ck . (On a donc N1 + ⋯ + Nk = N ).
On tire n boules et on cherche la probabilité d’obtenir exactement n1 boules de couleurs c1 ,
. . ., nk boules de couleur ck .
a) Dans le cas de tirages successifs sans remise.
b) Dans le cas de tirages successifs avec remise.
Exercice 5 (Chèvres et voiture : choix d’une bonne modélisation). Le moment est crucial pour
vous. Le présentateur du jeu vous présente trois portes closes : derrière l’une se trouve une voiture
à gagner 1 , alors que derrière chacune des deux autres se trouve une chèvre, sympathique mais
qui ira moins bien dans votre appartement. 2 Vous devez choisir une porte. Vous exprimez votre
choix et sur ce le présentateur ouvre une des deux portes restantes qui cachait une chèvre, puis
il se tourne vers vous pour savoir si vous voulez changer de porte entre les deux portes restantes.
Avez-vous intérêt à changer de porte ou à garder votre premier choix ?
Indication : Si on ne change pas de porte, on sait quelle est notre chance de gagner. Il s’agit
donc d’étudier la probabilité de gagner dans le cas où on adopte la stratégie : ≪ je change toujours
de porte ≫.
Probabilités conditionnelles
Exercice 6 (Dilemme du prisonnier ♯). Trois prisonniers A, B, C savent que deux d’entre eux
seront libérés le lendemain, mais ils ignorent qui. Le prisonnier A demande au geôlier de lui dire
l’identité d’un prisonnier, autre qui lui, qui sera libéré. Le gardien refuse en faisant le raisonnement
suivant : ≪ la probabilité que tu sois libéré est actuellement de 2/3. Si je te dis que B par exemple,
sera libéré, alors tu seras l’un des deux prisonniers dont le sort est indécis et, par conséquent, ta
probabilité de libération sera 1/2. Je ne veux pas diminuer tes chances de sortie ! ≫.
Le gardien raisonne-t-il correctement ?
Exercice 7 (Tests sanguins et formule de Bayes). Un test sanguin permet de détecter le VIH. Ce
test est assez bon en ce sens qu’un individu infecté a une probabilité élevée d’être détecté par ce
test. Comment estime-t-on une telle probabilité ? On fait passer le test à une population importante
dont on sait qu’elle est malade (à l’hôpital) et donc a fortiori VIH-positif. Si le test est positif dans
95% de cas, on pourra (en remplaçant cette fréquence relative par une probabilité) estimer que :
1. Moins polluante que celle de Y. Barbot.
2. On laissera le côté non écolo de l’exercice de côté.
MPSI 1
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A partir du 21 mai 2014
Planche 50
P (le test est positif sachant que la personne est malade) = 0.95.
Les erreurs d’un tel test sont de deux types (faux-négatifs et faux-positifs) et estimées par les
deux probabilités conditionnelles suivantes :
● P(le test est négatif sachant que la personne est malade) (faux négatifs)
● P(le test est positif sachant que la personne est saine) (faux positifs).
On note A l’événement ≪ la personne est malade ≫ et B l’événement ≪ le test est positif ≫.
a) Calculer P (B c ∣A) (la proba. des faux négatifs) avec les données précédentes.
b) (Pas de question) La probabilité des faux positifs ne se déduit pas des données précédentes.
Expérimentalement, elle est estimée par un autre protocole qui, pour simplifier à l’extrême, consiste
à faire passer le test à une fraction de la population qui s’estime saine (tel quel ceci est douteux ! !).
Disons qu’on a pu estimer ici que P (B∣Ac ) = 0.05.
c) On estime que 0, 3% de la population est atteinte par la maladie. Calculer la probabilité
qu’une personne soit malade sachant que son test est positif autrement dit P (A∣B).
Exercice 8 (Deux ou quatre réacteurs ?). Un avion quadriréacteurs a besoin d’au moins deux
moteurs pour pouvoir voler. Un avion bi-réacteur a besoin d’un moteur pour voler. La probabilité
de panne d’un réacteur lors d’un vol transatlantique est p. On suppose que les pannes des réacteurs
sont indépendantes les unes des autres. Quel avion est le plus sûr ?
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A partir du 21 mai 2014