Planche d`exercices 49 Exercice 1 (Question du Chevalier de Méré

Planche d’exercices 49
Exercice 1 (Question du Chevalier de Méré à Pascal). Qu’est ce qui est le plus probable : sortir
au moins un 6 en lançant 4 fois un dé, ou bien au moins un double 6 en lançant 24 fois deux dés ?
Exercice 2. Quelle est la probabilité qu’en jetant six dés équilibrés et discernables toutes les faces
exhibent un chiffre différent ?
Exercice 3 (Penser au complémentaire, penser aussi aux bijections). On lance trois dés équilibrés.
Quelle est la probabilité :
a) d’obtenir au moins un six ?
b) d’obtenir au moins deux dés ayant le même chiffre ?
c) que la somme des chiffres obtenus soit paire ?
d) Les événements considérés au b) et c) sont-ils indépendants ?
Exercice 4. Un amuseur de rue cache un billet sous un des trois chapeaux qui sont devant lui.
Il vous fait jouer à trouver le billet. Vous désignez un premier chapeau. Il vous montre alors un
des deux autres chapeaux qui ne contient pas le billet. Vous avez le choix entre maintenir votre
premier choix ou choisir le dernier chapeau. Quelle est la meilleure stratégie ?
Indication : Si on ne change pas de chapeau, on sait quelle est notre chance de gagner. Il s’agit
donc d’étudier la probabilité de gagner dans le cas où on adopte la stratégie : ≪ je change toujours
de chapeau ≫.
Exercice 5. On considère une boı̂te contenant 5 boules blanches, 4 boules noires et 3 boules vertes.
a) On tire simultanément trois boules.
(i) Quelle est la probabilité d’avoir trois boules de la même couleur ?
(ii) Quelle est la probabilité d’avoir une boule de chaque couleur ?
b) On tire successivement trois boules dans l’urne en remettant à chaque fois la boule tirée
dans la boı̂te. Répondre aux mêmes questions qu’au a).
c) On tire trois boules l’une après l’autre, sans remettre les boules tirées.
i) et ii) Répondre aux deux questions du a).
iii) Quelle est la probabilité que la première boule blanche tirée le soit au troisième tirage ?
iv) Quelle est la probabilité que la deuxième boule blanche tirée le soit au troisième tirage ?
Exercice 6 (Dilemme du prisonnier ♯). Trois prisonniers A, B, C savent que deux d’entre eux
seront libérés le lendemain, mais ils ignorent qui. Le prisonnier A demande au geôlier de lui dire
l’identité d’un prisonnier, autre qui lui, qui sera libéré. Le gardien refuse en faisant le raisonnement
suivant : ≪ la probabilité que tu sois libéré est actuellement de 2/3. Si je te dis que B par exemple,
sera libéré, alors tu seras l’un des deux prisonniers dont le sort est indécis et, par conséquent, ta
probabilité de libération sera 1/2. Je ne veux pas diminuer tes chances de sortie ! ≫.
Le gardien raisonne-t-il correctement ?
Exercice 7. Une boı̂te contient N pièces dont certaines peuvent être défectueuses. On appelle Ak
l’événements ≪ il y a k pièces défectueuses dans la boı̂te ≫. On admet (sans autre information) que
les événements A0 , . . . , AN sont équiprobables.
On tire une pièce au hasard et on constate qu’elle est bonne. Déterminer alors la probabilité
des Ak avec cette information supplémentaire.
Exercice 8 (Deux ou quatre réacteurs ?). Un avion quadriréacteurs a besoin d’au moins deux
moteurs pour pouvoir voler. Un avion bi-réacteur a besoin d’un moteur pour voler. La probabilité
de panne d’un réacteur lors d’un vol transatlantique est p. On suppose que les pannes des réacteurs
sont indépendantes les unes des autres. Quel avion est le plus sûr ?
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