Chapitre : Système
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Chapitre : Système
Chapitre : Système I Système d’équations 3x – y =3 4 x + 5 y = 23 Définition : Résoudre un système consiste à trouver la valeurs de x et celle de y qui sont solutions des deux équations en même temps. Voici un système de deux équations à deux inconnues : Exemples : ╟ x = 1 et y = 0 n’est pas solution car : 3 × 1 – 0 = 3 mais 4 × 1 + 5 × 0 ≠ 23. 3×2–3=3 ╟ x = 2 et y = 3 est la solution car 4 × 2 + 5 × 3 = 23 4 x + 3 y = 63 L1 Notation : : L1 désigne la 1e ligne et L2 désigne la 2e du dernier système écrit. 2 x + 7 y = 92 L2 L’équation qu’on obtient en faisant L1 + L2 est : 6 x + 10 y = 155 L’équation qu’on obtient en faisant 2 × L1 est : 8 x + 6 y = 126. Règles pour résoudre un système : Pour résoudre un système on peut : – multiplier une équation par un nombre – additionner ou soustraire les deux équations. Résolution d’un système par la méthode des combinaisons linéaires 6 x – 5 y = 25 On va résoudre le système suivant : 4 x + 3 y = 61 étape 1 : on "aligne" les x ou les y en multipliant les équations par des nombres. 12 x – 10 y = 50 ici, on a fait 2 × L1 et 3 × L2 pour aligner les x à 12. donc 12 x + 9 y = 183 étape 2 : On se débarrasse des x ou y alignés en additionnant ou soustrayant les deux équations. On garde une autre équation (la plus simple tant qu’à faire) qui nous permettra de trouver l’autre inconnue. 19 y = 133 ici on a fait L2 – L1 pour ne plus avoir de x et trouver y. Attention : + 9 – ( – 10 ) = + 19 donc 4 x + 3 y = 61 cette équation permettra de trouver x étape 3 : on trouve l’inconnue puis on la remplace par sa valeur dans l’autre équation y=7 on a divisé par 19 des deux côtés pour trouver y donc on a remplacer 3 y par 3×7 = 21 4 x + 21 = 61 étape 4 : on résout la 2e équation y=7 x =10 donc 4 x = 40 on a fait – 21 des deux côtés donc y = 7 Résolution par substitution : Dans certains cas, il est simple d’isoler une inconnue. 4 x + y = 10 Résolvons ce système : 7 x – 3 y = 27 étape 1 : on isole x ou y dans l’une des équations. y = 10 – 4 x donc on a isolé y dans L1. 7 x – 3 y = 27 étape 2 : On substitue (remplace) y par 10 – 4 x dans l’autre équation ce qui nous donnera une équation à une seule inconnue. y = 10 – 4 x donc 7 x – 3 (10 – 4 x ) = 27 étape 3 : On résout l’équation à une inconnue. y = 10 – 4 x y = 10 – 4 x y = 10 – 4 x donc 19 x = 57 donc x = 3 7 x – 30 + 12 x = 27 étape 4 : On trouve y en remplaçant x par 3 dans l’autre équation. y = 10 – 12 donc x = 3 x =3 La solution est y = – 2 II Interprétation graphique Traçons les droites suivantes dans un repère : d : 3 x + 2 y = 13 Complétons des tableaux de solutions : Pour d x 1 5 Pour d’ y 5 –1 et x y d’ : 2 x – 3 y = 0 0 0 6 4 y 5 I(3;2) 1 O 1 5 x 3 x + 2 y = 13 juste en observant le graphique. 2x–3y =0 On peut trouver la solution du système x=3 La solution est y = 2 La solution correspond aux coordonnées du point d’intersection I des droites d et d’. Activité : Dans un magasin on vend des films en DVD et de la musique en CD : • 6 DVD et 5 CD coûtent 118 € • 4 DVD et 2 CD coûtent 68 € Dans la suite, on appelle x le prix d’un DVD et y le prix d’un CD. a ) Traduire les informations précédentes par 2 équations d’inconnues x et y. On notera la 1e équation L1 et la 2e équation L2. b ) Dans chaque cas et complétant le tableau : trouve le prix, traduis l’information par une équation et indique à quoi correspond cette nouvelle équation par rapport à L1 et L2. achats prix équation lien avec L1 et L2 8 DVD et 4 CD 10 DVD et 7 CD 2 DVD et 3 CD 12 DVD et 10 CD 12 DVD et 6 CD c ) à partir des 2 dernières lignes du tableau précédent, trouve le prix de 4 CD. Quel est alors le prix d’un CD ? et celui d’un DVD ? 3 x – 2 y = 13 Exercice 1 : On va résoudre "proprement" le système d’équation suivant : 7 x + 3 y = 15 L1 et L2 désignent toujours les 2 équations du dernier système écrit. E1 et E2 désignent les équations initiales. Ecrire les systèmes obtenus en faisant successivement : 3 L1 L1 + L2 x =… x =… x =… donc donc donc donc 2 L2 E1 remplacer x par sa valeur dans E1 résoudre et trouver y y=… Exercice 2 : En observant les représentations graphiques ci-dessous : 1° ) Trouve la solution des systèmes suivants : x – 3y = – 5 3 x + 5 y = 11 a) b) x –y=1 3x +y= –5 x – 3y = – 5 c) 3x+y= –5 2° ) Trouve un système qui a pour solution: x=–1 x= 2 a) b) y=1 y=–2 y 1 0 Exercice 3 : a ) En utilisant le quadrillage de ta feuille, trace les droites suivantes : d:2x –y=4 et d’ : x – 3 y = – 3 2x –y=4 b ) Trouve graphiquement la solution de x – 3y = – 3 c ) Vérifie par le calcul le résultat trouvé en b ). 1 x – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – Exercices pour préparer le contrôle Exercice 1 : Exercice pour se préparer au brevet (7 points) Exercice 2 : Résoudre les systèmes suivants : 2 x + 5 y = – 11 5 x – 4 y = 22 a) b) 2 x – 7 y = 25 10 x + y = 17 Refaire l’exercice 3 de la feuille. Exercice 59 P 179 7x +3y=5 4 x – 8 y = 32 c) 4,2 x – 7 y = 29,4 3,6 x + 2 y = 1,2 d) Exercice supplémentaire 7 x – 4 y = 14 Résous les systèmes suivant comme dans l’exemple suivant : 9x –6y=6 on "aligne" les x ou les y en multipliant les équations par des nombres adaptés en 21 x – 12 y = 42 donc –18 x + 12 y = – 12 s’arrangeant pour que les signes soient différents :e ici, on a "aligné" les y à 12 en multipliant la 1 équation par 3 et la 2e par – 2. donc 3 x = 30 7 x – 4 y = 14 on additionne les 2 équations afin de supprimer les x ou y "alignés" : l’équation obtenue permet de trouver x ou y (ici : 3 x = 30 permet de trouver x ) il faudra une autre équation (n’importe laquelle mais de préférence la plus simple) pour trouver l’autre inconnue. (ici on prend par exemple 7 x – 4 y = 14) donc x = 10 70 – 4 y = 14 on trouve x ou y grâce à l’équation obtenue précédemment (ici, on trouve x = 10 ) on remplace la valeur trouvée dans l’autre équation (ici, on remplace 7x par 7×10 = 70) donc x = 10 – 4 y = – 56 donc 6 x + 10 y = 10 8 x – 4 y = 100 a) Il n’y a plus qu’à résoudre cette dernière équation pour trouver la dernière x =10 inconnue. Ici, on résout 70 – 4 y = 14 en faisant – 70 des deux cotés puis en y = 14 divisant par – 4 les deux cotés. 7x+6y=3 5x+4y=1 b) 8 x + 3y = 1 4 x + 5y = 11 c) 6 x – 8y = 4 5 x + 6 y = 54 d) 4x+5y=8 3 x – 7y = 49 e) – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – résultats des exercices pour préparer le contrôle : Exercice 2 : Trouver x = 2 et y = – 3 pour tous les systèmes. Exercice 3 : solution x = – 1 et y = 7 Exercice 59 P 179 : corrigé P 284 ( x = 7,5 et y = 11 )