sujet - LITA

INF 444
PC 3 : Ford et Fulkerson.
Introduction
On considère ici qu’un réseau peut être modélisé par un graphe orienté G =
(X, U ) pour lequel on a défini une application capacité, notée c, de U dans
]0, ∞], et choisi deux sommets privilégiés, s, comme source, et p, comme puits.
On appelle flot dans le réseau une application f de U dans R telle que 0 ≤
f (u) ≤ c(u) et telle qu’il y ait conservation du flot en tout point autre que s et
p.
La recherche d’un flot de valeur maximum dans un réseau a des applications
directes, par exemple en termes de trafic, qu’il s’agisse d’un réseau de circulation
ou d’un réseau informatique, mais il y en a bien d’autres, comme le problème
des transports amoureux que nous étudierons dans le deuxième exercice.
1
Mise en application directe
1.1
On considère le réseau ci-dessous :
(2)
b
(3)
(4)
g
(3)
(4)
(666)
(3)
s
c
(2)
p
(8)
(3)
(6)
a
(8)
d
Les nombres entre parenthèses indiquent les capacités des arcs correspondants.
1
1.1.1
Donner la valeur maximale d’un flot sans utiliser l’algorithme de Ford et Fulkerson sur le réseau ci-dessus.
1.1.2
On considère un flot donné par :
f (s, a) = 3
f (b, g) = 2
f (a, d) = 1
f (s, b) = 3
f (g, d) = 2
f (c, s) = 3
f (d, b) = 3
Déterminer les valeurs du flot sur les autres arcs.
1.1.3
À partir du flot précédent, utiliser l’algorithme de Ford et Fulkerson pour réaliser
le transport.
2
Transports amoureux
Considérant qu’on ne peut avoir de rapports textuels avant le mariage, dix
personnages de romans ont décidé de convoler en justes noces avant d’étendre
leur culture littéraire.
Aide tes héros à trouver leurs promises en essayant de maximiser le nombre
de mariages tout en respectant leurs choix listés dans le tableau ci-dessous,
prouvant ainsi que là où il y a de la chaı̂ne il peut y avoir du plaisir, du moment
qu’elle est augmentante.
Achille
César
Rodrigue
Roméo
Marius
2.1
Cléopâtre
♥
♥
Iphigénie
♥
Juliette
Fanny
Chimène
♥
♥
♥
♥
♥
♥
♥
Les petits Suisses, c’est pas de la tarte
2
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 1
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2
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c
f
0
2
Le réseau fluvial entre les 7 plus grands ports de la Suisse est modélisé par
le graphe ci-dessus. Tout ce passait bien dans ce petit pays, les ingénieurs
du comité chargé de la navigation entre ports coulaient des jours heureux et
pouvaient la plupart du temps rester dans leurs lits. Mais un jour un amiral de
plus en plus excédé, sentant que la coupe était pleine, jeta un pavé dans la mare
en affirmant que le flot entre le port a et le port g n’était pas suffisant. Pour
éviter tout débordement et la fuite de l’amiral vers d’autres pays plus cool, les
autorités maritimes décidèrent de dissoudre le comité en place et de le remplacer
par un autre, plus apte à resorber les problèmes.
Élu à ce comité et pensant que ce n’était pas la mer à boire, vous avez décidé
de vous mouiller pour essayer de maximiser le flot de la flotte Suisse, et ainsi
faire taire les divagations d’un rédacteur de petite classe qui sombre de plus en
plus dans la folie.
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