Fonctions de plusieurs variables

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Fonctions de plusieurs variables
V. Latocha
PACES UHP
septembre 2010
V. Latocha (PACES UHP)
Fct. plusieurs variables
septembre 2010
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Plan du chapitre
1
Définitions, notations
2
Dérivées partielles
3
Application au calcul d’incertitudes
4
Application à la recherche d’extrémums
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Au lieu d’avoir une fonction d’une variable réelle :
f :R → R
x
7→ f (x) = sin(x) par exemple
on se propose d’examiner des fonctions de plusieurs variables, par exemple :
f :R×R → R
(x, y ) 7→ f (x, y ) = x 2 + y 2
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On utilise souvent la notation suivante :
R2 = R × R = {(x, y ), x ∈ R, y ∈ R}
R3 = R × R × R = {(x, y , z), x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R}
Rn = R × R · · · × R = {(x1 , x2 , . . . , xn ), x1 ∈ R, x2 ∈ R, . . . xn ∈ R}
Par exemple :
(1.2, 2.3) ∈ R2
(e, π) ∈ R2
(2, e, π) ∈ R3
On peut représenter graphiquement les éléments de R2 et R3 .
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Domaine de définition
Considérons par exemple :
f :R×R → R
(x, y ) 7→ f (x, y )
Comme pour les fonctions d’une seule variable, on se demande :
quel est le domaine de définition de cette fonction ?
comment l’écrire ?
Ici, on va devoir décrire un sous-ensemble de R2 .
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Examinons un exemple :
f :R×R → R
(x, y ) 7→ f (x, y ) = ln(x + y )
Pour que cette fonction soit définie, il faut et il suffit que x + y > 0. Par
conséquent, le domaine de définition de f s’écrit :
D = (x, y ) ∈ R2 , x + y > 0
(1)
On peut représenter ce domaine dans le plan (x, y ).
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Continuité
Il faudrait introduire des notions nouvelles pour définir la continuité d’une
fonction de plusieurs variables.
Mais on peut :
donner une définition et l’utiliser pour prouver la continuité de
fonctions usuelles ;
combiner les résultats (somme, produit, quotient, composée, . . . ).
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De nouveau, on examine
f :R×R → R
(x, y ) 7→ f (x, y )
Comme pour les fonctions d’une seule variable, on veut connaı̂tre la
sensibilité de f à une variation de x ou y .
On introduit alors les quantités (qui ont un sens sous certaines hypothèses
sur f ) :
∂f
(x, y ) =
∂x
∂f
(x, y ) =
∂y
f (x + h, y ) − f (x, y )
h
f (x, y + h) − f (x, y )
lim
h→0
h
lim
h→0
On les appelle les dérivées partielles par rapport à x (resp. y) de f , prises
au point (x, y ).
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Ceci revient à considérer les fonctions :
fy : x
7→ f (x, y )
fx : y
7→ f (x, y )
et ainsi :
∂f
(x, y ) = fy0 (x)
∂x
∂f
(x, y ) = fx0 (y )
∂y
c’est-à-dire que l’on calcule les dérivées partielles comme d’habitude
en considérant une variable seulement, les autres variables étant
considérées comme de simples constantes.
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,
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Différentiabilité
De même que pour la continuité, on devrait mettre en place de nouvelles
notions pour parler de cette notion. On peut retenir :
qu’il s’agit de l’extension de la notion de dérivabilité, au cas où l’on
examine une fonction de plusieurs variables ;
que nous ne manipulerons que des fonctions différentiables ;
qu’une fonction différentiable admet des dérivées partielles par
rapport à chacune de ses variables (rq : la réciproque n’est pas vraie).
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Exemples
f1 (x, y ) = x 2 y 3
f2 (x, y ) = 5x 2 y 3
f3 (x, y ) = x 2 + y 2
f4 (x, y ) = sin(x 2 + y 2 )
f5 (x, y ) = exp(x) sin(y )
f6 (x, y , z) = x 2 + y 2 + z 2
f7 (x, y , z) = xyz
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Combinaisons
De par sa définition, on a ainsi :
∂
∂f
(kf ) = k
(où k est une constante)
∂x
∂x
∂
∂f
∂g
(f + g ) =
+
∂x
∂x
∂x
∂
∂f
∂g
(fg ) =
g +f
∂x
∂x
∂x
∂g
∂f
g ∂x − f ∂x
∂ f
=
∂x g
g2
∂
∂
et de même pour n’importe quelle variable ( ∂y
, ∂z
, . . .).
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Composée de fonctions
On rappelle que, pour g : R → R et f : R → R alors :
(f ◦ g )0 (x) = f 0 (g (x)) · g 0 (x)
On peut énoncer un résultat semblable lorsque g : Rn → R. Par exemple, si
g :R×R → R
(x, y ) 7→ g (x, y )
alors (on donne le résultat pour
∂
∂x
mais il est identique pour
∂
∂y )
:
∂
∂g
(f ◦ g )(x, y ) = f 0 (g (x, y )) ·
(x, y ).
∂x
∂x
(Par contre, la situation où g : Rn → Rp et f : Rp → R est très différente.)
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Différentielle d’une fonction
Définition
Soit f : R2 → R. On suppose que f est différentiable au point
(x0 , y0 ) ∈ R2 . On appelle différentielle de f au point (x0 , y0 ) l’application :
D(x0 ,y0 ) f : R2 → R
(hx , hy ) 7→ D(x0 ,y0 ) f (hx , hy )
avec D(x0 ,y0 ) f (hx , hy ) =
∂f
∂x (x0 , y0 )
· hx +
∂f
∂y (x0 , y0 )
· hy .
Exemple : f (x, y ) = x 3 y .
Remarque : cette définition s’étend de manière évidente aux fonctions
f2 : R3 → R, f3 : R4 → R, etc.
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Pourquoi cette définition ?
Lorsque f : R → R, on avait f (x + h) − f (x) ≈ f 0 (x) · h ;
La différentielle reprend cette idée. Si on se donne f : R2 → R, alors
on a :
f (x0 + hx ; y0 + hy ) − f (x0 , y0 ) ≈ D(x0 ,y0 ) f (hx , hy )
∂f
∂f
≈
(x0 , y0 ) · hx +
(x0 , y0 ) · hy .
∂x
∂y
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Gradient d’une fonction
Dans certains cas, il est plus facile d’utiliser les dérivées partielles comme
si c’était les coordonnées d’un vecteur.
Gradient d’une fonction
Soit f : R2 → R une fonction à 2 variables, que l’on suppose différentiable.
Alors le gradient de f en un point (x0 , y0 ) ∈ R2 est le vecteur à 2
composantes :

 ∂f
∂x (x0 , y0 )

grad f (x0 , y0 ) = ∇f (x0 , y0 ) = 
∂f
∂y (x0 , y0 )
Cette définition s’étend de manière évidente aux fonctions f2 : R3 → R,
f3 : R4 → R, etc.
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Mesures physiques
Beaucoup de grandeurs mesurées se déduisent d’autres mesures. Ex :
U = RI donne R = U/I et l’on peut mesurer U et I .
Dans cet exemple :
f :
R2
→ R
(U, I ) 7→ R
Que se passe-t-il si U et I sont connues à une incertitude près (ex :
U ± ∆U) ?
,→ souhait d’évaluer la sensibilité de f (U, I ) par rapport à U, ∆U, I , ∆I .
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Mesures physiques
Beaucoup de grandeurs mesurées se déduisent d’autres mesures. Ex :
U = RI donne R = U/I et l’on peut mesurer U et I .
Dans cet exemple :
f :
R2
→ R
(U, I ) 7→ R
Que se passe-t-il si U et I sont connues à une incertitude près (ex :
U ± ∆U) ?
,→ souhait d’évaluer la sensibilité de f (U, I ) par rapport à U, ∆U, I , ∆I .
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Cas général
Considérons
f :
R2
→
R
(x, y ) 7→ f (x, y )
et on rappelle :
f (x0 + hx ; y0 + hy ) = f (x0 , y0 )
∂f
∂f
(x0 , y0 ) · hx +
(x0 , y0 ) · hy
+
∂x
∂y
+ R(hx , hy )
avec
lim
R(hx , hy ) = 0.
(hx ,hy )→0
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Cas général (suite)
On propose alors :
∂f
∂f
|f (x0 + hx ; y0 + hy ) − f (x0 , y0 )| ≤ (x0 , y0 ) · |hx | + (x0 , y0 ) · |hy |
∂x
∂y
Exemple de f (U, I ) = R
∂f
∂f
|f (U + ∆U; I + ∆I ) − f (U, I )| ≤ (U, I ) · |∆U| + (U, I ) · |∆I |
∂U
∂I
1
−U ≤ · |∆U| + 2 · |∆I |
I
I
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Discussion
Le signe de ∆U et ∆I a-t-il un sens ?
Erreur et incertitude...
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Discussion
Le signe de ∆U et ∆I a-t-il un sens ?
Erreur et incertitude...
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Cas d’un produit
Un cas particulier (mais relativement courant) est celui où la fonction qui
nous intéresse est un produit de la forme (par exemple) :
f (x, y , z) = x α y β z γ
Alors on a :
ln f (x, y , z) = α ln x + β ln y + γ ln z
et ainsi, en calculant la dérivée partielle par rapport à x :
1
1 ∂f
=α
f ∂x
x
et de même pour y et z.
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Notons alors :
∆f =
∂f
∂f
∂f
· ∆x +
· ∆y +
· ∆z
∂x
∂y
∂z
D’après les calculs précédents, on obtient :
Cas d’un produit
Pour f (x, y , z) = x α y β z γ on a
∆f
∆x
∆y
∆z
=α
+β
+γ
f
x
y
z
et on propose finalement, en notant
E = f (x + ∆x, y + ∆y , z + ∆z) − f (x, y , z) :
∆f |E | ≤ f ∆y ∆x + |γ|
+ |β| ≤ |α| x y V. Latocha (PACES UHP)
∆z z septembre 2010
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Exemples
f (U, I ) = U/I
f (n, T , V ) = (nRT )/V
f (R, I ) = RI 2
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Dérivées d’ordre plus élevé
Considérons par exemple :
f :
R2
→
R
(x, y ) 7→ f (x, y )
∂f
(x, y ).
On a vu que l’on pouvait, sous certaines conditions sur f , calculer ∂x
On peut considérer cette fonction elle-même comme une fonction :
g:
R2
→
(x, y ) 7→
R
∂f
∂x (x, y )
Les dérivées partielles de g sont alors les dérivées d’ordre 2 de f .
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Notations :
∂g
∂x
∂g
∂y
=
=
et on peut ensuite considérer les dérivées partielles d’ordre 2 de g , qui
seront les dérivées partielles d’ordre 3 de f , etc. (sous certaines hypothèses
sur f ).
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Notations :
∂g
∂x
∂g
∂y
=
=
et on peut ensuite considérer les dérivées partielles d’ordre 2 de g , qui
seront les dérivées partielles d’ordre 3 de f , etc. (sous certaines hypothèses
sur f ).
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Muni de ces notions, on peut écrire une nouvelle formule d’approximation.
Formule de Taylor à l’ordre 2
Soit f une fonction dite de classe C 2 (différentiable et dont la différentielle
est elle-même différentiable) :
f :
R2
→
R
(x, y ) 7→ f (x, y )
alors
f (x0 + hx , y0 + hy ) = f (x0 , y0 )
∂f
∂f
(x0 , y0 ) · hx +
(x0 , y0 ) · hy
+
∂x
∂y
hy2
hx hy
∂2f
hx2
∂2f
∂2f
(x
,
y
)
·
+
2
(x
,
y
)
·
+
(x
,
y
)
·
0
0
0
0
0
0
∂x 2
2
∂x∂y
2
∂y 2
2
2
2
+ o(hx + hy )
+
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Points critiques
En utilisant cette formule, on identifie la notion suivante :
Points critiques
Soit une fonction différentiable
f :
R2
→
R
(x, y ) 7→ f (x, y )
On dit que (x0 , y0 ) est un point critique de f lorsque
∂f
(x0 , y0 ) = 0
∂x
∂f
(x0 , y0 ) = 0
∂y
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Notons :
H=
hy2
hx hy
∂2f
∂2f
∂2f
hx2
+
2
(x
,
y
)
·
+
(x
,
y
)
·
(x
,
y
)
·
0 0
0 0
0 0
∂x 2
2
∂x∂y
2
∂y 2
2
Extrémum d’une fonction de R2 → R
Une fonction f de classe C 2 admet un extrémum en un point (x0 , y0 ) ∈ R2
lorsque
(x0 , y0 ) fait partie du domaine de définition de f ;
(x0 , y0 ) est un point critique de f ;
la quantité H(x0 , y0 ) est de signe constant quels que soient hx et hy .
remarque : mais pas seulement dans ce cas...
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Notons (selon Monge (1746-1818)) :
r
=
s =
t =
∂2f
(x0 , y0 )
∂x 2
∂2f
(x0 , y0 )
∂x∂y
∂2f
(x0 , y0 )
∂y 2
et on a donc
H =
=
1
r hx2 + 2 s hx hy + t hy2
2
!
1
s 2 hy2
2
r
hx + hy + 2 tr − s
2
r
r
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On a donc les critères suivants :
Si tr − s 2 > 0 alors f admet un extrémum strict en (x0 , y0 ). Il s’agit
d’un maximum si r < 0, et d’un minimum si r > 0.
Si tr − s 2 < 0 alors le point (x0 , y0 ) n’est pas un extrémum de f (on
dit que c’est un point selle, ou un point col).
Et si tr − s 2 = 0 ?
Et si r = 0 ou t = 0 ?
Et si r = s = t = 0 ?
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On a donc les critères suivants :
Si tr − s 2 > 0 alors f admet un extrémum strict en (x0 , y0 ). Il s’agit
d’un maximum si r < 0, et d’un minimum si r > 0.
Si tr − s 2 < 0 alors le point (x0 , y0 ) n’est pas un extrémum de f (on
dit que c’est un point selle, ou un point col).
Et si tr − s 2 = 0 ?
Et si r = 0 ou t = 0 ?
Et si r = s = t = 0 ?
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Conclusion
Si l’on cherche les extrémums d’une fonction f : R2 → R, alors :
On cherche les points critiques (les endroits où les dérivées partielles
s’annulent) ;
On calcule la valeur de s, r et t en ces points ;
On calcule tr − s 2 et on conclut... si on peut !
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Le mot de la fin
Bon courage !
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