THÉORÈME DE PYTHAGORE ET SA RÉCIPROQUE
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THÉORÈME DE PYTHAGORE ET SA RÉCIPROQUE
THÉORÈME DE PYTHAGORE ET SA RÉCIPROQUE I – Théorème de Pythagore Propriété : Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Remarque : Le théorème de Pythagore s’utilise pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle. Exemples : 1) Soit SOT un triangle rectangle en T tel que TO = 6 cm et TS = 10 cm. Calculer la valeur exacte de OS puis donner la valeur arrondie au millimètre. Le triangle SOT est un triangle rectangle en T et son hypoténuse est le côté [OS]. D’après le théorème de Pythagore, on a : OS² = TS² + TO². OS² = 10² + 6² = 100 + 36 = 136. La longueur OS est positive, donc on a : OS = cm (c’est la valeur exacte). A la calculatrice en calculant on trouve 11,6619037897. Donc OS = 11,7 cm (c’est la valeur arrondie au millimètre). 2) Soit NIL un triangle rectangle en N tel que IL = 9,7 cm et NI = 7,2 cm. Calculer NL. Le triangle NIL est rectangle en N et son hypoténuse est le côté [IL]. D’après le théorème de Pythagore, on a : IL² = NI² + NL². 9,7² = 7,2² + NL² 94,09 = 51,84 + NL² NL² = 94,09 – 51,84 NL² = 42,25. Donc NL = cm = 6,5 cm (c’est la valeur exacte). II – Réciproque du théorème de Pythagore Propriété : Si, dans un triangle le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et admet ce plus grand côté pour hypoténuse. Remarque : La réciproque du théorème du théorème de Pythagore s’utilise pour montrer qu’un triangle est rectangle. Exemple : FER est un triangle tel que FE = 75 cm ; ER = 45 cm et RF = 60 cm. Démontrer que ce triangle est rectangle. Dans le triangle FER, le plus long côté est [FE], donc on calcule séparément FE² et ER² + RF². FE² = 75² = 5 625 ER² + RF² = 45² + 60² = 2 025 + 3 600 = 5 625 On constate que FE² = ER² + RF². Donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle FER est rectangle en R.