Rapport final (2`eme année)

Rapport final (2ème année)
Projet C.N.R.S./J.S.P.S. - Repésentation des groupes fondamentaux étales et applications
Projet C.N.R.S./J.S.P.S.
Titre: Représentations des groupes fondamentaux étales et applications
Domaine: Mathématiques et leurs interactions
Chef de projet: Melle Anna CADORET
Avertissement: Dans ce rapport (et à l’exception des paragraphes 1, 2), on se limitera à la description
des résultats obtenus par les deux chefs de projet - Anna Cadoret (Univ. Bordeaux 1 puis Ecole
Polytechnique) et Akio Tamagawa (RIMS).
1
Bilan du projet - année 2010
Je renvoie au rapport intermédiaire (1ère année) envoyé l’an passé et que j’ai remis en annexe pour
information.
2
Bilan du projet - année 2011
Le montant accordé par le C.N.R.S. pour le projet C.N.R.S./J.S.P.S. Repésentation des groupes fondamentaux étales et applications et l’année 2011 était de 15000 euros. Cette somme a permis de
supporter quatre missions:
1
Missionnaire:
Lieu:
Période:
Melle Anna Cadoret (MCF-Univ. Bordeaux 1)
R.I.M.S. - Kyoto
17/07/2010 - 25/08/2011.
2
Missionnaire:
Lieu:
Période:
M. Cédric Pépin (Doctorant-Univ. Bordeaux 1 puis Post-doctorant-Univ. Leuven)
R.I.M.S. - Kyoto
21/11/2011 - 03/12/2011.
3
Missionnaire:
Lieu:
Période:
M. Emmanuel Lepage (MCF-Univ. Paris 6)
R.I.M.S. - Kyoto
4/12/2011 - 22/12/2011.
4
Missionnaire:
Lieu:
Période:
Melle Anna Cadoret (Professeur Associé-Ecole Polytechnique)
R.I.M.S. - Kyoto
03/01/2012 - 31/01/2012.
Lors de ses missions, A. Cadoret a poursuivi (et poursuivra: la deuxième mission n’ayant pas encore
eu lieu au moment de la rédaction de ce rapport) sa collaboration avec A. Tamagawa.
1
La première mission d’A. Cadoret a permis de finaliser et soumettre l’article [CT11d]. Elle lui a
également permis de préciser (de façon inattendue) avec A. Tamagawa les résultats des articles [CT10a]
et [CT10b]. Plus précisément, on établit dans ces articles le théorème d’image ouverte uniforme suivant. Soit S une courbe sur un corps k de type fini sur Q et ρ : π1 (S) → GLr (Q` ) une représentation
`-adique du groupe fondamental de S. Alors
1. Pour tout entier d, le lieu des points fermés s ∈ S de degré résiduel au plus d sur k et où l’image
galoisienne à la fibre spéciale est de codimension ≥ 3 dans l’image générique est fini;
2. Si de plus l’abélianisé de l’algèbre de Lie de ρ(π1 (Sk )) est trivial alors pour tout entier d, le lieu
des points fermés s ∈ S de degré résiduel au plus d sur k et où l’image galoisienne à la fibre
spéciale est de codimension ≥ 1 (i.e. non-ouverte) dans l’image générique est fini et en dehors de
ce nombre fini de points, l’indice de l’image galoisienne à la fibre spéciale dans l’image générique
est uniformémement borné indépendemment de s.
La partie 2. de cet énoncé s’applique aux représentations sur la cohomologie `-adique des familles
de schémas projectifs lisses paramétrées par des courbes. Elle a des applications remarquables aux
problème de la borne uniforme de la torsion `-primaire des variétés abéliennes de dimension supérieure
et de la spécialisation des groupes de Galois motiviques. Cependant, elle ne couvre pas le cas des
familles de schémas lisses (non nécessairement projectifs) ni celui des représentations `-adiques qui
apparaissent comme quotients de représentations extérieures sur la complétion pro-` des groupes fondamentaux géométriques. Cela amène naturellement à tenter de préciser l’information sur la codimension qu’apporte la partie 1. de l’énoncé.
En fait, les points fermés s ∈ S de degré résiduel au plus d sur k et où l’image galoisienne à la
fibre spéciale est de codimension 1, 2 proviennent de quotients abéliens de π1 (S) correspondant à
des systèmes projectifs de courbes de genre 0 ou 1 munis de systèmes projectifs de points sur des
extensions de degré ≤ d de k. On s’attend donc à ce que le défaut de codimension - à un nombre fini d’exceptions près - se mesure entièrement dans l’abélianisé de l’image ρ(π1 (Sk )) du groupe
fondamental géométrique. Autrement dit, si g désigne l’algèbre de Lie de ρ(π1 (Sk )) et gs celle de
ρ(π1 (s)) ∩ ρ(π1 (Sk )) on conjecture que pour tout entier d, le lieu des points fermés s ∈ S de degré
résiduel au plus d sur k où:
[g, g] 6⊂ gs
est fini.
A l’issue de la première mission d’A. Cadoret, A. Tamagawa et elle ont pu établir le résultat suivant,
presque optimal [CT11e].
Theorem 2.1 Pour tout entier d, le lieu des points fermés s ∈ S de degré résiduel au plus d sur k
où
[[g, g], [g, g]] 6⊂ gs
est fini. De plus, le lieu des points fermés s ∈ S de degré résiduel au plus d sur k où
[g, g] 6⊂ gs et codimg (gs ) ≤ 1}
est fini.
Pendant la période entre les deux missions, A. Cadoret a également mis en place une variante
arithmétique (un peu plus technique à énoncer) du résultat ci-dessus.
La deuxième mission d’A. Cadoret devrait donc être consacré en partie à la finalisation de ce travail
(vérification détaillée des preuves, rédaction, applications). Un autre aspect devrait être l’étude des
problématiques de spécialisation de l’image galoisienne en caractéristique positive. Lors de cette mission, A. Cadoret présentera un exposé de son travail avec A. Tamagawa [CT11e] au séminaire d’algèbre
de l’Université de Kyushu, le 13 janvier 2012.
2
A noter également que pendant l’année 2011 un certain nombre d’articles communs ont été définitivement
acceptés [CT11c], [CT11a], [CT11b] ainsi que les articles [C11a] et [C11b].
Lors de sa mission, C. Pépin a participé à deux manifestations mathmatiques:
- Le séminaire de théorie des nombres de l’Université de Kyoto du 25/11 pour un exposé de Kazuya
Kato ”On conjectures of Sharifi”;
- la conférence annuelle du RIMS Workshop ”Algebraic number theory and related topics” (28/11
- 02/12).
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ kyodo/workshop-en.html
où il a présenté un exposé intitulé ”Néron models of Picard varierties”.
Pendant son sjour au RIMS, C. Pépin a également travaillé sur un problème de dualité concernant
les modèles de Néron des variétés abéliennes, sujet sur lequel il a échangé avec A. Tamagawa. Il a
aussi eu plusieurs discussions sur les modèles semi-factoriels avec Noriyuki Suwa et Yuichiro Taguchi.
Enfin, au cours de la conférence, il a pu découvrir et discuter des thèmes de recherche de plusieurs
mathématiciens, post-docs et thésards japonais: Go Yamashita, Naotake Takao, Yoshiyasu Ozeki,
Yoshinori Mishiba, Yoshida Manabu.
Lors de sa mission E. Lepage a présenté un exposé intitulé ”Resolution of non-singularities for Mumford
curves” lors d’un séminaire du RIMS. Son séjour au RIMS lui a permis principalement de discuter
avec Shinichi Mochizuki de ses travaux en cours, notamment en collaboration avec Yuichiro Hoshi
également membre du RIMS, sur les comportements anabéliens du groupe fondamental tempéré. Il a
pu également discuter avec Akio Tamagawa de ses travaux sur la résolution des non-singularités, qui
étendent des résultats d’Akio Tamagawa pour les courbes de Mumford.
Bilan Financier 2011: (En euros)
- Mission A. Cadoret (17/07-25/08/2011) = 1312,01 (vol)+3800 (perdiem);
- Mission A. Cadoret (03/01-31/01/2012) = 1318,38 (vol)+2965,25 (perdiem);
- Mission E. Lepage (04/12-22/12/2011) = 970,31 (vol)+2013 (perdiem);
- Mission C. Pépin (21/11-03/12/2011) = 1032,05 (vol)+1589 (perdiem).
- Restant: 0.
3
3.1
Production scientifique
Résumé des principaux résultats
Le sujet principal du projet C.N.R.S./J.S.P.S. Repésentation des groupes fondamentaux étales et applications est l’étude des représentations linéaires des groupes fondamentaux étales des schémas.
Ce projet faisait suite à un PHC Sakura (2008-2009), qui avait permis à A. Cadoret et A. Tamagawa
de montrer leur théorème d’image ouverte uniforme pour les représentations `-adique du groupe fondamental des courbes [CT10a], [CT10b] dont l’une des applications est la preuve de la conjecture de
torsion `-primaire pour les familles de variétés abéliennes paramétrées par des courbes [CT11a].
Pendant la première année du projet CNRS/JSPS (2010-2011), A. Cadoret et A. Tamagawa se sont
intéressés avant tout aux représentations F` -linéaires (` variant). Cet aspect est techniquement plus
délicat que celui des représentations `-adiques même si, dans les deux cas, l’approche est la même.
3
Soit S un schéma sur un corps k de type fini et ρ = (ρn : π1 (S) → GLr (Fn )) un système projectif de
représentations Fn -linéaires (de dimension fixée r indépendante de n) du groupe fondamental de S.
Ici Fn = Z/`n (cas `-adique) ou Fn = F`(n) , `(n) désignant le n-ième nombre premier (cas F` -linéaire
- dans ce cas ’système projectif’ veut juste dire ’suite’). La théorie du groupe fondamental permet
d’attacher à ρ un système projectif de schémas ’modulaires’ Sn+1 → Sn (qui sont de même dimension
que S) et de reformuler les problèmes auxquels on s’intéressent en termes de points rationnels sur ces
schémas modulaires. Essentiellement, on cherche à montrer qu’il n’y a plus du tout de points rationnels
sur Sn (resp. qu’un nombre fini, resp. que l’ensemble des points rationnels n’est pas Zariski-dense)
pour n 0. Le cas où S est une courbe est plus favorable car on dispose alors de la conjecture de
Mordell qui nous dit que dès que (la compactification lisse de) Sn est de genre ≥ 2, il n’y a plus qu’un
nombre fini de points rationnels. La première difficulté consiste donc à montrer que le genre de Sn
devient plus grand que 2 pour n 0. Dans cette direction, une forme simplifiée du résultat qu’ont
obtenu A. Cadoret et A. Tamagawa est le suivant. Soit A un schéma abélien sur S et supposons que
ρn est la représentation naturelle de π1 (S) sur la `(n)-torsion Aη [`(n)] de la fibre générique Aη de A.
Supposons également que Sn soit le coproduit des schémas Sv correspondant (via la théorie du groupe
fondamental étale) au stabilisateur dans π1 (S) des points de `(n)-torsion 0 6= v ∈ Aη [`(n)]. Alors
Theorem 3.1 [CT11b, Thm. 1.3], [CT11d, Thm. 1.1] Le genre de Sn tend vers l’infini avec n.
Lorsque k est de caractéristique 0, en combinant ce résultat et celui de [CT11a], on obtient par exemple qu’il existe une suite d’entiers n(`) ≥ 1 (`: premier) tels que n(`) = 1 pour ` 0 et que pour
tout ` premier, il n’existe qu’un nombre fini de points k-rationnels s ∈ S tels que As (k)tors soit de
cardinal divisible par `n(`) . Il s’agit là d’une forme faible de la conjecture de torsion1 pour la famille
de variétés abéliennes As , s ∈ S(k).
Par rapport aux travaux dans le cas `-adique, l’idée nouvelle est l’exploitation de résultats asymptotiques de M. Nori, sur les sous-groupes de GLr (F` ) (`: premier).
Il reste cependant de nombreuses questions ouvertes notamment, la possibilité de remplacer la genre
par la gonalité en caractéristique positive (voir [C11c] pour des résultats partiels), les implications
arithmétiques en caractéristique positive (la méthode de [CT09] ne s’applique plus telle qu’elle), l’étude
de schémas modulaires plus généraux que ceux liés à la torsion (cf. les questions de ’grosse image
galoisienne’ ) etc.
Pendant la deuxième année du projet, A. Cadoret et A. Tamagawa ont finalisé la rédaction de [CT11d]
et sont revenus sur les résulats de [CT10a], [CT10b] dans le cas inconditionnel pour les affiner, comme
décrit au paragraphe 2. L’ingédient nouveaux, ici, est l’exploitation des théorèmes de structures pour
les algèbres de Lie de dimension finie en caractéristique 0 et le fait que le radical résoluble de l’algèbre
de Lie g est en fait toujours nilpotent.
3.2
3.2.1
Publications conjointes (liées au projet)
Articles acceptés
[CT11a] (Inventiones Math.), [CT11b] (Journal of Algebra), [CT11c] (Séminaires et Congrès).
3.2.2
Articles soumis
[CT10a], [CT10b], [CT11d].
3.3
Articles en préparation
[CT11e].
1
Rappelons que cette conjecture de torsion n’a été démontrée, à l’heure actuelle, que pour les courbes elliptiques,
suite à des travaux de Y. Manin (69), B. Mazur (77), S. Kamienny, L. Merel (96).
4
3.4
Communications du chef de projet français (pendant le et liées au projet)
A. Cadoret a présenté ses travaux avec A. Tamagawa dans les conférences internationales suivantes:
- ”Abelian varieties and Galois actions”, Adam Mickiewicz University - Poznan (Pologne) (Juin,
2011);
- Workshop ”Algebraic number theory and related topics”, R.I.M.S. - Kyoto (Japon) (Décembre
2010);
- Mini-workshop on Arithmetic Geometry and Related Topics, Kyoto Univ. - Kyoto (Japon)
(July, 2010);
- ”Groupes de Galois Arithmétiques et différentiels” - C.I.R.M. - Luminy (Avril 2010);
- Workshop PIA2010 - Heidelberg (Allemagne) (Février 2010);
- Sakura Workhop ”Torsion of abelian schemes and rational points on moduli spaces” - I.M.B. Bordeaux (Janvier 2010).
Outre ces exposés en conférences, elle a également été invitée dans divers séminaires: I.E.M. - Essen
(Juillet 2011), Paris 13 (Avril 2011), Caen (Avril 2011), Toulouse (Mars 2011), Padoue (Mai 2010)
et Montpellier (Mars 2010). Elle devrait également exposer début 2012 aux séminaires d’algèbre de
l’université de Kyushu, au séminaire variétés rationnelles de l’ENS Paris, au séminaire de théorie des
nombres de l’UCBL-ENS Lyon et au séminaire de théorie des nombres de l’IMJ.
4
Projets
Pour continuer de financer notre projet, nous avons candidaté pour une reconduction d’un an (PRC0634
’Représentations des groupes fondamentaux étales et applications’). A plus long terme, nous envisageons de candidater sur un projet ANR blanc France-Japon (portant sur une thématique de géométrie
arithmétique plus large que celle de l’actuel projet) et, dans l’entre-deux, d’utiliser les ressources propres des divers établissements partenaires du projet (notamment les mois de professeurs invités).
References
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paraitre dans R.I.M.S. Kokyuroku Bessatsu (Proceedings of the R.I.M.S.) B? ”Algebraic Number
Theory and Related Topics - 2010”, M. Kida, S. Kobayashi, N. Suwa eds., 2011.
[C11b] A. Cadoret, Motivated cycles under specialization. A paraitre dans ”Groupes de Galois
Géométriques et differentiels”, P. Boalch et J.-M. Couveignes eds., Séminaires et Congrès 25,
p. 25-55, S.M.F., 2011.
[C11c] A. Cadoret, Note on the gonality of abstract modular curves. A paraı̂tre dans MATCH-HGS
C.M.S.2, ”PIA 2010 - the arithmetic of fundamental groups”, J. Stix ed, Springer, 2011.
[CT09] A. Cadoret and A. Tamagawa, Torsion of abelian schemes and rational points on moduli
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Theory and Related Topics”, eds. M. Asada, H. Nakamura and H. Takahashi, 2009.
[CT10a] A. Cadoret et A. Tamagawa, A uniform open image theorem for `-adic representations of
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[CT10b] A. Cadoret et A. Tamagawa, A uniform open image theorem for `-adic representations
of the etale fundamental group of curves - II, preprint 2010 (soumis).
[CT11a] A. Cadoret et A. Tamagawa, Uniform boundedness of p-primary torsion of abelian
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5
[CT11b] A. Cadoret et A. Tamagawa, On a weak variant of the geometric torsion conjecture,
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[CT11c] A. Cadoret et A. Tamagawa, A note on torsion conjecture. Dans ”Groupes de Galois
Géométriques et differentiels”, P. Boalch et J.-M. Couveignes eds., Séminaires et Congrès 25, p.
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[CT11d] A. Cadoret et A. Tamagawa, On a weak variant of the geometric torsion conjecture II,
preprint, 2011 (soumis).
[CT11e] A. Cadoret et A. Tamagawa, Subgroup constraints for l-adic representations of the etale
fundamental groups of curves, preprint, 2011 (en préparation).
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