Théorie de la représentation des groupes MAT 6609, hiver 2015

Théorie de la représentation des groupes
MAT 6609, hiver 2015
Professeur
Yvan SAINT-AUBIN
bureau 5237, tél : 343-6373
[email protected]
www.dms.umontreal.ca/∼saint/MAT6609
Objectifs
La théorie de la représentation est un chapitre de l’algèbre. Elle possède des applications
à des domaines très variés en mathématiques et à des domaines connexes.
Même si plusieurs structures algébriques peuvent être représentées , il est usuel d’enseigner d’abord la représentation des groupes finis qui donne un survol des enjeux, des
concepts et des techniques qui reviennent dans l’étude des représentations d’autres groupes
et structures algébriques. Ce choix est tout à fait justifié et permet de circonscrire le sujet de
façon élégante.
L’étudiant connaı̂tra les concepts de base, saura utiliser les résultats abstraits et calculer
explicitement les représentations ou les caractères de groupes finis. Il pourra par la suite
apprendre par lui-même la théorie pour les autres structures algébriques.
Programme
Plusieurs livres couvrent la théorie de la représentation des groupes finis. Les manuels
qui s’adressent aux mathématiciens suivent à peu près tous le même chemin : définition
de représentations et de CG-modules, algèbre de groupe, théorème de Maschke, lemme de
Schur, les représentations irréductibles, table de caractères, représentations obtenues par
restriction et par induction, théorème de Frobenius, produit de représentations.
Le cours suivra le manuel récent de Benjamin Steinberg qui peut être téléchargé librement du site des Bibliothèques de l’Université. (Je crois que le téléchargement ne fonctionne
qu’à partir d’une adresse internet du campus.) D’autres traitements classiques sont proposés ci-dessous.
Normalement le cours devrait couvrir le manuel de Steinberg et un peu plus. Les autres
sujets possibles sont le produit tensoriel de représentations, une introduction aux représentations d’algèbres menant aux théorèmes de Jordan-Hölder et Krull-Schmidt, quelques exemples de représentations d’algèbres de Lie.
Source principale :
B. Steinberg, Representation theory of finite groups — An introductory approach, Universitext,
Springer (2012).
Autres sources :
I. Assem, Algèbres et modules, Enseignement des Mathématiques, Presses de l’Université
d’Ottawa et Masson (1997).
D.S. Dummit, R.M. Foote, Abstract Algebra, 3e édition, Wiley (2004).
P. Etingof et coll., Introduction to representation theory, Student Mathematical Library, AMS
(2011).
G. James, M. Liebeck, Representations and Characters of Groups, 2nde édition, Cambridge University Press (2001).
1
S. Lang, Algebra, 3e édition, Springer (2002).
J.-P. Serre, Représentations linéaires des groupes finis, 3e édition, Hermann (1978).
W. Fulton, J. Harris, Representation Theory – A first course, Springer (2004).
B.E. Sagan, The Symmetric Group – Representations, Combinatorial Algorithms, and Symmetric
Functions, 2nde édition, Springer (1991).
C.W. Curtis, I. Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras, Wiley (1962,
1988).
Horaire et calendrier
LU et ME : 9h00 – 10h30 ; Pav. André-Aisenstadt (consulter Synchro pour la salle).
Autres dates importantes :
22 janvier 2015 : dernier jour pour modifier un choix de cours et pour abandonner un cours
sans frais.
2 au 5 mars 2015 : période d’activités libres
13 mars 2015 : dernier jour pour abandonner un cours avec frais.
Évaluation
Il y aura des exercices à résoudre entre les cours (10%), trois devoirs (30%) et un examen
final récapitulatif (60%).
Le plagiat : attention, c’est sérieux ! L’UdeM est chatouilleuse sur ce point. (Moi aussi... )
Balises, leçons de morale et histoires de peur à : www.integrite.umontreal.ca .
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