Fonction exponentielle

Résumé
T erminale S
Fonction exponentielle
ÉTUDE
Lorsqu’on étudie certains phénomènes comme la désintégration radioactive, l’effectif d’une population, l’évolution d’un capital
ou encore la croissance d’un organisme vivant, on constate que certaines grandeurs étudiées sont proportionnelles.
Par exemple, pour les phénomènes de diffusion (comme la description de l’effet d’un médicament), la vitesse de diffusion est
proportionnelle à la concentration. Or cette vitesse est la dérivée de la concentration par rapport au temps.
On a donc été amené, historiquement, à chercher une fonction ”qui a pour dérivée elle-même”.
C’est ainsi qu’est apparue la fonction exponentielle.
La méthode d’Euler permet de construire ”point par point” la courbe d’une telle fonction (dont on a une relation entre f et la
dérivée f ′ ).
Actuellement, on peut facilement avoir une courbe de cette fonction avec un tableur.
On cherche donc une fonction f , définie et dérivable sur R, telle que :
f ′ (x) = f (x)
et on impose la condition
f (0) = 1
Cela signifie que, graphiquement, on cherche une courbe bien ”régulière”, qui passe par le point de coordonnées (0 ; 1) et telle
que l’ordonnée de chaque point soit égale au coefficient directeur de la tangente en ce point.
On obtient la courbe suivante :
8
7
6
5
4
3
2
A
1
b
f
−2
1
−1
1
2
3
Théorème 1 :
Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telle que :
f′ = f
et
f (0) = 1
Définition 1 :
que :
On appelle fonction exponentielle l’unique fonction f définie et dérivable sur R telle
f′ = f
et
f (0) = 1
Cette fonction est notée exp.
On remarquera, qu’en particulier, exp(0) = 1 .
Théorème 2 :
La fonction exp est dérivable sur R. et, pour tout réel x, on a :
(exp(x))′ = exp(x)
Théorème 3 :
(∀x ∈] − ∞; +∞[), (∀y ∈] − ∞; +∞[),
exp(x + y) = exp(x) × exp(y)
De plus, pour tout réel x :
exp(x) > 0
Théorème 4 :
Théorème 5
La fonction exp est strictement croissante sur ] − ∞; +∞[ .
1. Pour tout réels x et y, on a :
(a)
(b)
exp(x)
exp(y)
1
exp(−y) =
exp(y)
exp(x − y) =
2. Si n est un entier naturel > 1 et si x1 , x2 , ..., xn et x sont des réels alors :
exp(x1 + x2 + ... + xn ) = exp(x1 ) × exp(x2 ) × ... × exp(xn )
3. Si n est un entier relatif alors :
(exp(x))n = exp(nx)
2
Définition 2 :
On a donc :
L’image du nombre 1 par la fonction exponentielle est notée e.
exp(1) = e
On peut trouver une valeur approchée de ce nombre avec la calculatrice.
3
b
e ≈ 2,7
B
2
A
1
−2
b
1
−1
2
D’après le théorème et la définition qui précédent, on peut écrire :
exp(n)
=
exp(1 × n)
=
(exp(1))
=
en
n
On généralise cette nouvelle notation ”puissance” pour tout réel x :
exp(x) = ex
Les théorèmes précédents s’écrivent alors :
Théorème 6 On a :
•
e0 = 1
• e1 = e
• Pour tout réel x :
ex > 0
• Pour tout réel x : (ex )′ = ex
• Pour tout réels x et y, on a : ex+y = ex ey
• Pour tout réels x et y, on a :
ex
(a)
ex−y = y
e
1
−y
(b)
e = y
e
• Si n est un entier naturel > 1 et si x1 , x2 , ..., xn et x sont des réels alors :
(c)
ex1 +x2 +...+xn = ex1 × ex2 × ... × exn
• Si n est un entier relatif alors :
(d)
(ex )n = exn
On retrouve les formules classiques sur les puissances avec des nombres entiers !
3
(1)
(2)
(3)
Théorème 7 On a :
lim
•
x→ +∞
ex = +∞
lim
•
x→ −∞
ex = 0
Théorème 8 On a :
lim
•
x→ 0
ex − 1
=1
x
ex
= +∞
+∞ x
lim
•
x→
lim
•
x→ −∞
xex = 0
Théorème 9 Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I . Alors :
(eu )′ = u′ eu
EXPONENTIELLE COMPLEXE
•
′
reiθ × r ′ eiθ = rr ′ ei(θ+θ
′
)
(on multiplie les modules et on additionne les arguments.)
• Cette formule est plus facile à retenir, d’autant plus qu’elle ” étend ” la propriété fondamentale aux nombres complexes.
• Toutes les formules vues dans ce chapitre restent vraies avec l’exponentielle complexe.
En particulier :
1
e−iθ = iθ
e
e−iθ = cos (−θ) + i sin (−θ) = cos θ − i sin θ
Théorème 10 (a) Formule de Moivre : Pour tout réel θ et pour tout entier n, on a :
(cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ)
(b) Formules d’Euler : Pour tout réel θ, on a :
cos θ =
eiθ + e−iθ
2
sin θ =
eiθ − e−iθ
2i
4