Couples discrets

Filière E
Denis Pasquignon
Couples discrets
Résumé du cours :
1. Loi conjointe
• Définition : On appelle couple aléatoire un couple (X, Y ) de variables aléatoires
définies sur le même espace de probabilité (Ω, A, P ). Le couple (X, Y ) est aussi
appelé vecteur aléatoire de dimension 2.
• loi d’un couple : Soit (X, Y ) un couple aléatoire discret, on pose
X(Ω) × Y (Ω) = {(xi , yj )}i∈I,j∈J .
La loi conjointe du couple (X, Y ) est définie par
pij = P (X = xi , Y = yj ).
P
P P
P
P
• On a ∀i ∈ I ∀j ∈ J pij ≥ 0 et i∈I,j∈J pij = i∈I j∈J pij = j∈J i∈I pij = 1.
• Fonction de répartition
On appelle fonction de répartition du couple aléatoire (X, Y ) la fonction F(X,Y )
définies sur R2 par pour tous réels x et y
F(X,Y ) (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y).
• Lois marginales
Soit (X, Y ) un couple aléatoire discret, on pose
X
X
∀i ∈ I pi. =
pij et ∀j ∈ J p.j =
pij .
j∈J
i∈I
La famille (xi , pi. )i∈I définit la loi de X dite loi marginale de X.
La famille (yj , p.j )j∈J définit la loi de Y dite loi marginale de Y.
• Indépendance
Soit (X, Y ) un couple aléatoire discret, les variables sont indépendantes si
∀i ∈ I, ∀j ∈ J P (X = xi , Y = yj ) = P (X = xi )P (Y = yj ).
Dans ce cas la loi conjointe est le produit des marginales.
lien avec l’indépendance entre événements Soit A et B deux événements, A
et B sont indépendants si et seulement si les variables aléatoires 1A et 1B sont
indépendantes.
• Loi de la somme X + Y on suppose que les variables X et Y sont indépendantes
et prennent leurs valeurs dans N
P (X + Y = n) =
n
X
P (X = k)P (Y = n − k).
k=0
2. Espérance
• Théorème
P P de transfert La variable U = g(X, Y ) a une espérance si et seulement
si i∈I j∈J |g(xi , yj )|pij existe et dans ce cas
XX
E(g(X, Y )) =
g(xi , yj )pij .
i∈I j∈J
1
• Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires discrètes indépendantes alors pour
toutes fonctions f et g telles que les espérances existent on a
E(f (X)g(Y )) = E(f (X))E(g(Y )).
en particuler E(XY ) = E(X)E(Y ).
3. Covariance
• On appelle covariance de X et de Y le réel défini par
Cov(X, Y ) = E((X − E(X))(Y − E(Y ))) = E(XY ) − E(X)E(Y ).
On appelle coefficient de corrélation de X et de Y si σX σY 6= 0 :
ρ(X, Y ) =
Cov(X, Y )
.
σX σY
On dit que X et Y sont non corrélés si Cov(X, Y ) = 0.
• Cov(X, X) = V ar(X), la covariance est symétrique et bilinéaire. De plus |ρ(X, Y )| ≤
1 et |ρ(X, Y )| = 1 ⇐⇒ Y est presque surement une fonction affine de X.
• Variance d’une somme Soit (X, Y ) un couple aléatoire discret tel que X et Y
ont une variance,
V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2Cov(X, Y ).
4. Vecteurs
• Matrice de variance-covariance Soit (X1 , · · · , Xn ) un vecteur de n variables
aléatoires discrètes, on appelle matrice de variance-covariance la matrice carrée
d’ordre n dont le terme courant est Cov(Xi , Xj ). C’est une matrice symétrique.
• indépendance mutuelle Soit (X1 , · · · , Xn ) un vecteur de n variables aléatoires
discrètes, on dit que les variables aléatoires sont mutuellement indépendantes si
pour tout n-uplet (x1 , · · · , xn ) de X1 (Ω) × · · · Xn (Ω) on a
P(
n
\
[Xi = xi ]) = Πni=1 P ([Xi = xi ]).
i=1
lien avec l’indépendance entre événements
Si (X1 , · · · , Xn ) un vecteur de n variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes,
alors pour toute fonction φ et ψ, les variables aléatoires φ(X1 , · · · , Xp ) et ψ(Xp , · · · , Xn )
sont indépendantes.
• Variance d’une somme Soit (X1 , · · · , Xn ) un vecteur de n variables aléatoires
discrètes, on a
V ar(
n
X
i=1
Xi ) =
n
X
V ar(Xi ) + 2
i=1
X
Cov(Xi , Xj ).
1≤i<j≤n
• Stabilité
(a) la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernouilli
de paramètre p est une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n, p).
(b) la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant unePloi binomiale
n
B(ni , p) est une variable aléatoire suivant une loi binomiale B( i=1 ni , p).
(c) la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Poisson
de
Pnparamètre λi est une variable aléatoire suivant une loi Poisson de paramètre
i=1 λi .
2
Exercice 1 Soient X et Y deux v.a. définies sur le même espace (Ω, A, P ). On sait que :
X(Ω) = {0, 1} ; Y (Ω) = {0, 2} ; P (X = 0) = 1/2 ; P (Y = 0) = 1/3 ; P (X = 0, Y = 0) = p.
Reconstituer la loi du couple (X, Y ).
Exercice 2 Un sac contient n jetons numérotés de 1 à n. On en tire deux successivement avec
remise, et on note X (respectivement Y ) la variable aléatoire égale au plus petit (respectivement
plus grand) des numéros tirés. Trouver la loi du couple (X, Y ). Calculer les lois marginales de
X et Y .
Exercice 3 On place au hasard trois boules numérotées 1, 2, 3 dans trois tiroirs numérotés 1,
2, 3, chaque tiroir pouvant contenir jusqu’à trois boules. Toutes les répartitions possibles sont
équiprobables. Pour k = 1, 2, 3, Xk est la v.a. égale au nombre de boules placées dans le tiroir
k, et Y est le nombre de tiroirs occupés.
1. Déterminer la loi de Xk et celle de Y .
2. Donner sous forme de tableau la loi conjointe du couple (X1 , X2 ), et calculer les lois
marginales.
3. Donner sous forme de tableau la loi conjointe du couple (X1 , Y ).
marginales et retrouver ainsi les résultats de la première question.
Calculer les lois
Exercice 4 Une urne contient des boules rouges, blanches et noires en proportions respectives
p, q, r (p > 0, q > 0, r > 0, p + q + r = 1). on effectue dans cette urne n tirages successifs
avec remise. On désigne par X (respectivement Y ) le nombre de boules rouges (respectivement
blanches) obtenues.
1. Montrer que la loi jointe du couple (X, Y ) est donnée par :
∀0 ≤ i, j ≤ n P (X = i, Y = j) =
n!
pi q j rn−i−j .
i!j!(n − i − j)!
2. Déterminer la loi marginale de X :
i) à partir de la loi jointe ;
ii) par un raisonnement direct.
Exercice 5 Soit un couple (X, Y ) de variables aléatoires dont la loi conjointe est définie par :
• X(Ω) = Y (Ω) = {1, · · · , n}
•
∀1 ≤ i, j ≤ n P (X = i, Y = j) = ai + bj,
où n est un entier ≥ 2, a et b sont des réels positifs.
1. Quelle condition doivent remplir a et b ?
2. Donner les lois marginales de X et Y .
3. Calculer E(XY ).
Exercice 6 Soit (X, Y ) un couple discret dont la loi conjointe est donnée par :
• X(Ω) = Y (Ω) = N
•
∀1 ≤ i, j ≤ n P (X = i, Y = j) =
1. Calculerλ.
2. Trouver les lois marginales de X et Y .
3
(i + j)λi+j
,
ei!j!
3. Trouver la loi de X + Y , puis calculer E[2X+Y ].
Exercice 7 Soit (X, Y ) un couple aléatoire à valeurs dans {0, 1} × IN ∗ , dont la loi est définie
par:
2k − 1
1
∀k ∈ IN ∗ P (X = 0, Y = k) =
et P (X = 1, Y = k) = k .
4k
4
1. Déterminer les lois de X et de Y , donner leurs espérances et leurs variances.
2. On pose S = X + Y et T = XY + 1. Déterminer les lois de S et de T .
3. Trouver la loi du couple (S, T ).
4. Calculer P (S = T ).
Exercice 8 Soient deux variables aléatoires réelles X et Y telles que X, Y et XY suivent la
même loi uniforme sur {−1, 0, 1}.
1. Quelle est la loi du couple (X, Y ) ?
2. Donner la loi de S = X + Y .
3. Calculer cov(X, Y ), var(X), var(Y ), var(X + Y ).
Exercice 9 Une urne contient N boules, a rouges, b blanches et c noires (a + b + c = N ). On
tire simultanément n boules dans cette urne (n ≤ N ). On désigne par X (respectivement Y ,
Z) le nombre de boules rouges (respectivement blanches, noires) obtenues.
1. Quelle est la loi de X ? celle de Y ? celle de Z ?
2. Exprimer X + Y en fonction de n et Z. En déduire V ar(X + Y ).
3. Sans calculer E(XY ), donner la valeur de cov(X, Y ).
Exercice 10 Soit a et b deux réels et n un entier naturel ≥ 2. Soit X1 , · · · , Xn n variables
aléatoires non quasi certaines telles que
cov(Xi , Xi ) = a et cov(Xi , Xj ) = b si i 6= j.
Montrer que a > 0 et
b
a
1
≥ − n−1
.
Exercice 11 Pierre et Jean lancent chacun n fois une pièce honnête, les lancers successifs étant
supposés indépendants. On note X (respectivement Y ) le nombre de ”pile” obtenus par Pierre
(respectivement Jean) sur les n lancers.
1. Donner la loi de X et celle de Y .
2. En utilisant l’égalité de Van der Monde, calculer
n 2
X
n
k=0
k
. En déduire P (X = Y ).
3. Calculer P (X > Y ).
Exercice 12
1. Soit X une v.a. à valeurs dans N , et soit p un réel de ]0, 1[. Montrer qu’une
condition nécessaire et suffisante pour que X suive une loi géométrique de paramètre p
est que :
∀n ∈ N, P (X > n) = q n où q = 1 − p.
2. Soient X et Y deux v.a. indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres
respectifs p et p0 . on pose M = max(X, Y ) et N = min(X, Y ). Trouver la loi de N , puis
celle de M .
4
Exercice 13 Soient X et Y deux v.a. indépendantes de même loi géométrique G(p) (0 < p <
1).
1. Calculer P (X > Y ) .
2. Trouver la loi de X + Y .
3. Plus généralement, si X1 , X2 , · · · , Xn sont n v.a. indépendantes de même loi géométrique
G(p), alors reconnaitre la loi de X1 + X2 + · · · + Xn .
Exercice 14 Soit X une variable aléatoire dont la loi est définie par : P (X = 0) = 1/6,
P (X = 1) = 1/3 , P (X = 2) = 1/2 . Soit Y une v.a. indépendante de X, et de même loi.
1. on pose S = X + Y et T = XY . Déterminer la loi du couple (S, T ), et les lois marginales
de S et T . Les variables aléatoires S et T sont-elles indépendantes ?
2. Calculer l’espérance et la variance de S et T .
Exercice 15 Une urne contient N boules numérotées de 1 à N .
1. on tire n boules successivement et sans remise. on note Xi la variable aléatoire égale au
numéro porté par la ième boule tirée.
(a) Déterminer la loi de Xi , son espérance et sa variance.
(b) Si i 6= j, les variables Xi et Xj sont-elles indépendantes ? Calculer cov(Xi , Xj ).
(c) on pose S = X1 + X2 + · · · + Xn . Calculer E(S) et V ar(S).
2. Reprendre les questions précédentes si le tirage se fait avec remise.
Exercice 16
1. Soit (X, Y ) un couple aléatoire dont la loi est uniforme sur les quatre
points : (−1, 0), (0, 1), (0, −1), (1, 0). Calculer cov(X, Y ). Les v.a. X et Y sont-elles
indépendantes ?
2. Montrer que deux v.a. de Bernoulli non corrélées sont indépendantes.
Exercice 17 fonction génératrice
1. Rappel : La fonction génératrice d’une v.a. X à valeurs entières est définie par :
gX (t) = E(tX ) =
+∞
X
pi ti .
i=0
Elle suffit à caractériser la loi de X. Elle est définie au moins pour |t| < 1. Montrer
que si X et Y sont des v.a. indépendantes, on a pour tout réel t tel que |t| < 1 :
gX+Y (t) = gX (t)gY (t).
2. En utilisant la fonction génératrice, retrouver la propriété de stabilité pour la somme des
lois binômiales et de Poisson sous l’hypothèse d’indépendance.
3. On étudie ici la réciproque du 1) : Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires dont la
loi est définie par le tableau suivant :
X/Y
0
1
3
0
1/9
2/9
0
1
0
1/9
2/9
3
2/9
0
1/9
Calculer cov(X, Y ). Les variables X et Y sont-elles indépendantes ? Comparer gX+Y (t)
et gX (t)gY (t), et conclure.
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Exercice 18 Soit (Xn )n≥1 une suite de variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre
p. On pose pour tout n : Yn = Xn Xn+1 .
Donner la loi de Yn , son espérance et sa variance.
Calculer cov(Yn , Ym ), en discutant suivant les valeurs de n et m.
Exercice 19 Un point se déplace sur un axe d’origine 0. A chaque instant, il se déplace d’une
unité vers la droite avec la probabilité p (0 < p < 1) ou d’une unité vers la gauche avec la
probabilité q = 1 − p . Les déplacements successifs sont supposés indépendants. A l’instant 0,
le point est en 0. Pour n > 0, on note Xn l’abscisse du point à l’instant n et Zn le nombre de
déplacements vers la droite effectués entre les instants 0 et n.
a) Soit Yi la variable de Bernoulli qui vaut 1 si le point se déplace vers la droite à l’instant i,
et 0 sinon. Exprimer Zn en fonction des Yi . Quelle est la loi de Zn ?
b) Exprimer Xn en fonction de Zn . En déduire la loi de Xn (discuter suivant la parité de n),
son espérance et sa variance.
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