TD Ondes - anciennement DEUG SMR

Université Paris-Sud Orsay
L2 S3 & S4 PMCP
Phys 202r & Phys 206r
Travaux dirigés (Optique)
Optique géométrique
1
1 Etude d’un doubleur de focale
1
2 Fibre à gradient d’indice
2
Interférences
3
3 Interférences d’ondes acoustiques
3
4 Expérience des trous d’Young
3
5 Interféromètre de Michelson en source large
4
6 Interféromètre de Fabry-Pérot
5
Diffraction
7
7 Diffraction par une ouverture circulaire
7
8 Pouvoir séparateur d’un instrument
7
9 Diffraction par un anneau carré
8
10 Diffraction par une fente à éclairage non uniforme
8
Interférences à N ondes Réseau
9
11 Interférences données par 2, 3 ou N fentes
9
12 Application à un réseau
9
Année 2006-07
Optique géométrique
1
Etude d’un doubleur de focale
[Concours National DEUG 2004, Partie I, Problème C]
Un objectif d’appareil photographique peut
être modélisé par une lentille convergente
de focale
f1′ = 50 mm.
Le négatif se trouve sur un écran plan fixe,
perpendiculaire à l’axe optique de l’objectif.
d
F′1
Objectif
Négatif
Pour la mise au point, on déplace l’objectif par rapport au négatif. La distance
d sur la figure est donc variable mais ne peut excéder dmax = 100 mm.
Soit un objet haut de h = 2 m et distant de D = 50 m du négatif.
1) Montrer que la formule de conjugaison permet d’établir une relation entre d,
D et f1′ , relation qui se présente sous la forme d’une équation du second degré
en d.
2) Calculer alors d en tenant compte des contraintes pour l’objectif. Application
numérique.
3) Déterminer la taille h′ de l’image sur le négatif. Application numérique.
d′
On place maintenant entre l’objectif
et le négatif un doubleur de focale
assimilable à une lentille divergente
d2
f2′ = −40 mm
à une distance
Objectif
d2 = 40 mm
Doubleur Négatif
de focale
du négatif. La distance d′ entre l’objectif et le négatif peut maintenant atteindre
d′max = 120 mm.
4) Soient AB l’objet à photographier, A′ B′ l’image de AB formée par l’objectif
seul et A′′ B′′ l’image finale (celle de A′ B′ formée par le doubleur de focale). A′′B′′
étant sur le négatif, déterminer d1 , distance entre A′ B′ et le négatif. Vérifier à
l’aide d’un schéma. Application numérique.
5) Calculer le grandissement γ2 apporté par le doubleur de focale. Application
numérique.
6) AB étant toujours à D du négatif, déterminer la distance d′ correspondante
pour une mise au point nette. Application numérique.
7) Calculer la nouvelle hauteur h′′ de l’image. Application numérique.
8) Déduire de tous ces résultats la signification du terme doubleur de focale.
1
2 Fibre à gradient d’indice
Pour diminuer les pertes d’énergie à chaque réflexion sur les parois d’une fibre
optique, on réalise des fibres dites à gradient d’indice.
L’indice n varie avec la distance r à
l’axe central de la fibre Oz :
n(r) = n0 (1 − α2 r2 )1/2 .
1) Au point O de l’axe de la fibre le rayon incident fait l’angle θ0 avec l’axe de
la fibre. Montrer que la trajectoire suivie par la lumière dans la fibre est plane.
On appellera Oyz ce plan. Ecrire l’indice n en fonction de y.
2) En utilisant les lois de Snell-Descartes relatives à la réfraction, montrer que
n cos θ est une constante tout au long de la fibre, où θ est l’angle entre la tangente
au rayon lumineux et l’axe Oz, au point (y, z) considéré. Préciser la valeur de
la constante en fonction de θ0 et n0 . En écrivant que la pente de la tangente au
dy
rayon lumineux est égale à
, montrer
dz
cos2 θ0
d2 y
+ α2 y = 0.
dz2
En déduire la solution y(z) et donc la forme du rayon lumineux dans la fibre.
2
Interférences
3
Interférences d’ondes acoustiques
Deux hauts parleurs S1 et S2 distants de d = 0,75 m vibrent en phase et émettent
des ondes sonores (sphériques) de même amplitude a et de même fréquence
ν = 680 Hz. La vitesse du son est c = 340 m s−1 . On s’intéresse à l’amplitude et
à l’intensité de l’onde résultante en un point M tel que S1 M = d1 et S2 M = d2 .
1) Donner l’expression complexe au point M des ondes A1 (M, t) et A2 (M, t)
émises respectivement par S1 et S2 en fonction de a, ν, d1 et d2 . En déduire
l’amplitude de l’onde résultante en M, puis son intensité.
2) Trouver les positions des points tels que les deux ondes sont en opposition
de phase lorsque M se déplace
a) sur la droite S1 S2 , à l’extérieur du segment [S1 S2 ] ;
b) sur la droite S1 S2 , entre les deux sources ;
c) dans un plan contenant les deux sources (donner dans ce cas une description
qualitative).
4
Expérience des trous d’Young
Le dispositif interférentiel des trous d’Young est schématisé sur la figure 1 : il
comporte une source lumineuse ponctuelle et monochromatique, placée dans
le plan focal objet d’une lentille convergente L1 , de distance focale f1 . La lumière
diffractée par les trous O1 et O2 est reçue par une lentille L2 de distance focale
f2 . On désigne par λ0 la longueur d’onde dans le vide de la lumière émise par
la source, par s = O1 O2 la distance des deux trous et par n l’indice de l’air dans
lequel l’ensemble du dispositif est plongé. Pour les applications numériques,
on prendra λ0 = 589 nm, s = 1 cm, n = 1,0002926, f1 = 1 m et f2 = 2 m.
1) La source S est placée au foyer objet de la lentille L1 . Calculer la différence de
marche des deux ondes qui interfèrent au point M du plan focal image de L2 .
3
Le point M est repéré par son abscisse x sur l’axe Ax parallèle à la ligne O1 O2 .
Décrire brièvement le phénomène observé. Calculer l’interfrange i. Quelle est
l’abscisse de la frange centrale (« frange d’ordre zéro »).
2) La source S est déplacée parallèlement à O1O2 . On désigne par X0 son abscisse
sur l’axe FX du plan focal objet de L1 parallèle à O1 O2 . Calculer la nouvelle
valeur de la différence de marche des rayons qui interfèrent en M, ainsi que le
déplacement du système de franges, c’est-à-dire la nouvelle abscisse x0 de la
frange centrale.
3) Entre la lentille L1 et le diaphragme portant les deux trous, on dispose deux
cuves identiques C1 et C2 de longueur l, fermées par des lames transparentes à
faces parallèles identiques. Le reste du dispositif est le même qu’à la question
1). Les cuves contiennent initialement de l’air. On remplace progressivement
l’air de la cuve C2 par du monoxyde de carbone d’indice n′ . Au cours de cette
opération, on voit défiler N franges « vers le haut », dans le sens O1 → O2 au
centre A du plan d’observation (figure 2).
a) Comparer n et n′ qualitativement puis calculer n′ . A.N. : l = 1,90 m et N = 134.
b) Calculer la plus petite fraction molaire de CO détectable dans un mélange
CO + air, sachant qu’il est possible d’observer un déplacement de la figure
d’interférences égal à 0,1 interfrange. (La variation d’indice du mélange est
proportionnelle à la fraction molaire de CO).
5 Interféromètre de Michelson en source large
Un interféromètre de Michelson est
réglé de manière telle que le miroir
M1 et l’image M′2 de M2 à travers la
séparatrice soient parallèles (figure 1).
Il est éclairé par une source de lumière
monochromatique étendue, si bien que
les rayons lumineux arrivent sur les miroirs avec un angle d’incidence i variable. Sur la voie de sortie de l’interféromètre, on dispose une lentille
convergente (L) de distance focale f ,
dont l’axe optique est normal au miroir
M1 .
1) Vérifier que l’interféromètre réel ainsi réglé est équivalent à un ensemble de
deux miroirs plans parallèles semi-réfléchissants M1 et M′2 .
2.a) Montrer que les rayons (1) et (2) provenant de la division par la séparatrice
d’un même rayon incident se coupent en un point P de l’écran d’observation.
b) On désigne par e la distance M1 M′2 , par i l’angle d’incidence d’un rayon sur
M1 et M′2 , et par r = F′ P la distance séparant le foyer image de la lentille et un
point P du plan d’observation. A quel angle i correspondent les rayons (1) et
4
(2) qui interfèrent en P? Calculer la différence de marche puis la différence de
phase des ondes qui interfèrent en P.
3.a) Quelle est la forme des franges d’interférence?
b) Exprimer l’éclairement au point P, en fonction de e, de i, et des éclairements
I1 et I2 des ondes interférentes.
c) Donner l’expression de l’ordre d’interférence en F′ . On le notera p0 .
d) Calculer le rayon r1 du premier anneau brillant observé, quand on se déplace
à partir de F′ vers l’extérieur
du plan d’observation. On l’exprimera en fonction
de e, l et de ǫ1 = p0 − partie entière de p0 . On supposera i petit.
e) Application numérique : la distance e vaut 2,000 ± 0,001 cm. La longueur
d’onde de la lumière utilisée est λ = 632,817 nm. Calculer l’ordre d’interférence
au centre p0 et son incertitude. Peut-on calculer ǫ1 et r1 avec les données proposées?
f) On fait varier très légèrement la distance e de manière à obtenir un maximum
d’éclairement en F′ . Quel est alors le rayon du premier anneau brillant obtenu
si f = 5 m?
6
Interféromètre de Fabry-Pérot
Un interféromètre de Fabry-Pérot est constitué par une lame à faces parallèles
d’air (indice 1), d’épaisseur d, emprisonnée entre deux lames de verre d’indice
n dont on négligera l’épaisseur.
On éclaire la lame par une source monochromatique (longueur d’onde λ).
Un rayon incident I0 , arrivant sur la
lame avec un angle d’incidence i, donne
naissance aux différents rayons indiqués sur la figure. On ne s’intéresse
qu’aux interférences par transmission.
On recueille les rayons transmis au
moyen d’une lentille de focale f = 1 m.
Soit F le centre de la figure d’interférences et M le point de l’écran où convergent
les rayons.
1) On appelle r le facteur de réflexion relatif aux amplitudes de l’interface
air-verre. On note R = r2 .
a) Calculer la différence de marche δ puis le déphasage φ entre les deux rayons
consécutifs transmis dans la direction i.
b) Soit A0 l’amplitude complexe au point M de l’onde transmise directement ;
calculer, en M, les amplitudes complexes A1 , A2 , Ap des ondes ayant subi
respectivement 2, 4 puis 2p réflexions (0 ≤ p ≤ m).
c) En déduire l’amplitude complexe totale au point M des m rayons transmis
puis l’éclairement I de l’onde lorsque m tend vers l’infini.
2.a) Étudier les extrema de I(φ). Représenter I(φ).
5
b) On appelle contraste l’expression
C=
Imax − Imin
.
Imax + Imin
Calculer le contraste C pour R = 0,9.
c) Estimer la largeur à mi-hauteur de chaque maximum. Que devient cette
expression pour R voisin de 1?
d) Comment doit-on choisir R pour avoir des franges lumineuses fines sur fond
obscur?
3) Description de la figure d’interférences
a) Calculer la longueur FM en fonction de i.
b) De quel(s) paramètre(s) dépend l’état d’interférences au point M?
c) En déduire ce que l’on observe sur l’écran pour une source étendue.
6
Diffraction
7
Diffraction par une ouverture circulaire
Un appareil photographique a pour objectif une lentille convergente L, de
distance focale
f = 50 mm,
pourvue d’un diaphragme circulaire de diamètre D variable.
On appelle nombre d’ouverture le rapport
N=
f
D
qui peut prendre les valeurs
N = 4,
N = 5,6,
N = 8,
N = 11,
N = 16
et
N = 22.
a) L’appareil reçoit une onde plane provenant du point à l’infini sur l’axe de L.
Comparer les puissances lumineuses entrant dans l’appareil pour les différentes
valeurs de N avec la puissance pour N = 22. Comparer les temps d’exposition
nécessaires pour avoir le même effet sur la pellicule.
b) Calculer le rayon ρ du premier anneau noir de la figure de diffraction pour
les différentes valeurs de N, en prenant pour longueur d’onde de la lumière
λ = 0,55 mm (jaune).
En déduire, pour chaque N, le pouvoir séparateur « théorique » de cet objectif,
c’est-à-dire la plus petite distance angulaire séparant deux points à l’infini dont
l’appareil peut donner des images séparées.
c) La pellicule photographique est une émulsion contenant des grains d’halogénure d’argent de 10 µm de diamètre. Quel est le pouvoir séparateur de
l’ensemble objectif + pellicule?
8
Pouvoir séparateur d’un instrument
Calculer le pouvoir séparateur théorique pour une longueur d’onde
λ = 0,55 µm (jaune).
d’une lunette astronomique dont l’objectif a un diamètre
D = 60 mm
et une longueur focale
f = 1,2 m.
Quel est le grossissement minimum de l’instrument pour que l’œil, dont le
pouvoir séparateur propre est de l’ordre d’une minute d’arc, puisse distinguer
deux étoiles séparées par l’objectif à la limite de la résolution ? (On appelle
ce grossissement Gr , grossissement résolvant). Quelle doit être la focale de
l’oculaire pour obtenir ce grossissement?
7
9 Diffraction par un anneau carré
Le dispositif expérimental classique pour l’étude de la diffraction comporte les
éléments suivants :
– une source S, ponctuelle et monochromatique, placée au foyer objet d’une
lentille convergente ;
– une deuxième lentille convergente, de focale f , de plan focal image Fxy ;
ce plan est le plan d’observation, matérialisé par un écran ; un point M y
est repéré par ses deux coordonnées x et y ;
– une ouverture diffractante plane, placée entre les deux lentilles.
1) L’ouverture est un trou carré de côtés 2a, parallèles aux axes Fx et Fy. Donner
l’expression de l’amplitude lumineuse A(M) diffractée en un point M de l’écran.
Tracer la courbe représentative de A(M) quand M décrit l’axe Fx. Dessiner
qualitativement l’aspect de l’écran.
2) L’ouverture est l’espace annulaire entre
deux carrés concentriques de côtés a et 2a
(voir figure). Utiliser le résultat précédent
pour trouver l’expression de la nouvelle amplitude A′ (M) diffractée au point M. Dessiner
la répartition de l’éclairement sur l’axe Fx.
10 Diffraction par une fente à éclairage non uniforme
Un écran parallèle au plan xOy est percé d’une fente de largeur 2a (dans la
direction Ox) et de longueur pratiquement infinie (dans la direction Oy). On
observe la lumière diffractée sur un autre écran situé à la distance D, avec
D ≫ a. La fente est éclairée par un faisceau monochromatique qui la frappe
normalement mais n’est pas uniforme. Son amplitude varie sur la largeur de la
fente : elle est proportionnelle à (a2 − x2 ).
1) Soit un point M du deuxième écran. Comme cet écran est loin du premier,
on peut admettre que les rayons qui le frappent sont parallèles quelle que soit
l’abscisse x à laquelle ils ont traversé la fente. Soit θ leur angle avec le plan
x = 0. Calculer la différence de marche entre un rayon qui a traversé à l’abscisse
x et celui qui a traversé à l’abscisse 0.
2) Étudier la variation de l’éclairement sur le deuxième écran en fonction de θ.
La comparer à celle que l’on aurait pour une fente uniformément éclairée. On
donne la primitive (formule valable pour p réel ou complexe) :
!
Z x
x2 − a2 2x
2 px
2
2 px
(x − a ) e dx =
− 2 + 3 e .
p
p
p
8
Interférences à N ondes Réseau
11
Interférences données par 2, 3 ou N fentes
Un dispositif interférentiel (voir figure) comprend un diaphragme percé de N
fentes F1 , F2 , F3 , . . . , FN très fines, équidistantes de d (F1 F2 = F2 F3 = · · · = d)
normales au plan de la figure. Le système est éclairé en lumière monochromatique par une fente très fine placée au foyer objet de la lentille (L), parallèle aux
fentes F1 , F2 , . . . , FN . On observe à l’aide d’un oculaire les phénomènes d’interférences obtenus dans le plan focal image π′ de la lentille (L′ ), de distance
focale f ′ = 1 m.
1) Soit M(x, y) un point de π′ . Quels sont les rayons lumineux émis par F1 , F2 ,
. . . , FN qui convergent en M? Quelle est la différence de phase en M entre deux
rayons issus de deux fentes successives? Quelle est la différence de phase entre
le rayon provenant de FN et celui arrivant de F! ?
2) Calculer l’amplitude totale en M puis l’éclairement I(0, y). L’amplitude ou
l’éclairement dépendent-ils de la position des fentes dans le plan du diaphragme?
3) Représenter l’allure de I(0, y) pour N = 1, 2, 3 et 20.
12
Application à un réseau
Un réseau, de largeur totale 2 cm comporte 25 fentes par millimètre. Le dispositif est décrit ci-dessus (exercice 11). L’oculaire permet d’observer une zone
circulaire du plan π′ centrée en O et de diamètre 10 mm.
1) La longueur d’onde de la source est égale à λ = 0,6 µm. Combien observe-ton dans l’oculaire d’images de la source? Préciser leurs positions et leur largeur.
Cette largeur correspond-elle à celle de la fente source?
2) Décrire qualitativement l’aspect du plan π′ vu à travers l’oculaire si la source
monochromatique est remplacée par une lampe à hydrogène émettant trois
longueurs d’onde différentes : 0,656 µm (raie rouge), 0,486 µm (raie turquoise)
et 0,434 µm (raie bleue).
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