Les mathématiques de la maternelle jusqu`à dix-huit ans.

Les mathématiques
de la maternelle jusqu’à dix-huit ans.
B.Honclaire, M.Krysinska, N.Rouche,
F.Van Dieren et M.-F. Van Troeye
Synthèse d’une recherche en éducation
réalisée par le Centre de Recherche sur
l’Enseignement des Mathématiques (CREM) 1
1
5, rue Emile Vandervelde, B-1400 Nivelles
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Les mathématiques de la maternelle jusqu’à dix-huit ans.
Dans le courant de 1993, Monsieur le Ministre Elio Di Rupo a chargé le
d’élaborer « un cadre global pour l’enseignement des mathématiques de la
maternelle jusqu’à la fin de la scolarité obligatoire.» Ce travail difficile a pris deux ans
et vient de s’achever. Nous en avons déjà donné une idée, alors qu’il se trouvait à un
stade intermédiaire, dans le numéro 16 du Bulletin d’Informations Pédagogiques
(février 1995), sous le titre «Un cadre global pour l’enseignement des
mathématiques». La présente note est destinée à présenter le travail complet.
Inévitablement, nous serons amenés ci-après à reprendre certains éléments de notre
présentation précédente.
1. LE PROJET DE RECHERCHE
Le projet de recherche, convenu avec le Ministère en 1993, comportait la
rédaction
« d’un programme cadre comprenant
a) la mise au point et la description en termes généraux d’un noyau commun
de formation mathématique couvrant la scolarité obligatoire ;
b) une description en termes généraux de la formation mathématique à
assurer, au delà du noyau commun, dans les différentes filières des
enseignements général, technique et professionnel. »
Les motivations de la recherche étaient présentées dans les termes suivants :
« L’enseignement des mathématiques est difficile et il aboutit trop souvent à
repousser les élèves et à les mettre en échec : ce sont là des faits graves, aux
conséquences sociales immenses et que tout le monde peut constater.
Deux déviations fréquentes responsables au moins partiellement des insuccès
de cet enseignement sont les suivantes :
a) le fait d’enseigner les mathématiques dans leur forme déductive, comme une
succession d’axiomes, de définitions, de lemmes, de théorèmes et de
corollaires, sans faire suffisamment la place à la genèse des théories, aux
contextes problématiques où elles exhibent leur fonctionnement et leur sens,
et à l’activité mathématique autonome des élèves ;
b) le fait, bien pire, de réduire l’enseignement des mathématiques, pendant des
moments trop longs, à l’entraînement au calcul de routine, l’attention se
trouvant ainsi concentrée sur l’application de règles strictes, dont on perd de
vue et l’origine et la fonction dans la culture mathématique globale.
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Les mathématiques de la maternelle jusqu’à dix-huit ans.
Une autre difficulté essentielle dont souffre l’enseignement des mathématiques
dans notre Communauté est qu’il n’est pas pensé comme un tout cohérent
allant de la prime enfance à l’âge adulte, mais bien par tranches horizontales
étanches. Il ne s’agit pas ici de la pratique de cet enseignement sur le terrain
des classes, mais bien de la manière dont il est conçu et mis en place par ceux
qui en ont ou en prennent la responsabilité principale.
On remarque en effet
a) que les commissions de programme fonctionnent séparément, sans
coordination substantielle, aux niveaux maternel, primaire et secondaire ;
b) que les maîtres sont formés dans des filières distinctes, avec ici un
compartimentage supplémentaire entre le secondaire inférieur et le
secondaire supérieur ;
c)
que les recherches sur l’apprentissage et l’enseignement des
mathématiques sont faites séparément, pour le maternel et le primaire dans
les facultés de psychopédagogie, et pour le secondaire dans les
départements de mathématiques.
Il n’est pas étonnant qu’une organisation de ce type entrave la maturation dune
conception globale et cohérente de l’éducation mathématique. L’absence d’une
telle conception se traduit sur le terrain des classes par des
dysfonctionnements observables, surtout aux passages entre le primaire et le
secondaire, et entre le secondaire inférieur et le secondaire supérieur 2 »
2. INTERPRÉTATION DU PROJET
Il allait de soi pour les auteurs de la recherche que le programme-cadre ne
pouvait en tout cas pas se réduire à énoncer des matières à étudier aux différents
âges. Il est bien question, en effet, dans le projet, de formation mathématique, et s’il
est vrai que la formation comporte nécessairement des connaissances, il est clair
aussi qu’elle ne se réduit pas à celles-ci (ce point est développé dans le Chap. 1 du
travail).
D’autre part, nous avions à traiter des grands axes de la formation
mathématique. Par conséquent notre étude ne pouvait se confondre avec un
programme, qui est un document spécifiant les matières en détail.
Dans le domaine de recherche en question, les certitudes sont rares, ce qui
renforce l’exigence d’un examen critique constant.
2
Depuis 1993, moment où le projet de recherche a été rédigé, diverses initiatives ont été prises
pour atténuer ces difficultés. Mais elles demeurent, dans l’ensemble, timides et incomplètes.
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Les mathématiques de la maternelle jusqu’à dix-huit ans.
Nous nous sommes efforcés d’argumenter le plus clairement possible toutes
les options présentées. S’il arrive par endroits que notre document emprunte un
style normatif (« il faut», «il faudrait que», ...), il s’agit seulement d’une commodité
d’expression, car le CREM n’a et ne revendique aucun pouvoir de décision.
Ainsi, notre travail préserve la possibilité d’apporter des solutions diverses aux
difficultés rencontrées, ce qui est sans doute important. Que deviendrait en effet un
système d’enseignement privé d’un large espace de liberté ?
Qui plus est, nos analyses n’ont aucune prétention à être définitives : le passé
récent montre à suffisance que la société, les mathématiques, les sciences et les
techniques évoluent sans cesse. Un étude comme celle-ci devrait être reprise
périodiquement.
3. UN CADRE GLOBAL POUR QUI ?
Notre souhait est de mettre à la disposition de tous les acteurs concernés dans
le système éducatif, non pas un dogme nouveau, mais une base de discussion
aisément accessible, qui permette à chacun de situer son effort et de le coordonner à
ceux des autres. Nous avons cherché à rédiger ce document dans le style le plus
simple possible, de sorte qu’il soit en bonne partie lisible par des personnes sans
formation mathématique particulière.
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L’espoir est qu’il permette
à chaque enseignant de se situer et de reconnaître son rôle entre ceux qui
enseignent avant lui et ceux qui enseignent après ;
aux enseignants et élèves des écoles normales des divers niveaux et des
universités de situer de même les matières qu’ils étudient ;
aux enseignants des autres disciplines de clarifier la relation de leur
enseignement avec celui des mathématiques et leur apport à la formation des
élèves considérée dans son ensemble ;
aux parents de voir d’où vient et où va leur enfant ;
aux élèves d’un certain âge de comprendre le sens de leur effort et de le mettre
en perspective ;
aux commissions de programmes et aux auteurs de manuels d’enchaîner leurs
propositions à celles qui les précèdent et les suivent, de manière à éviter les
transitions mal préparées ;
aux responsables administratifs et politiques de l’enseignement d’apprécier
plus facilement la portée et les implications globales de leurs décisions.
Enfin, last but not least, ce cadre global devrait aussi aider à reconnaître
comment s’acquièrent et s’expriment, à travers la matière mathématique, les
compétences de base qui font aujourd’hui l’objet de beaucoup d’attention dans
l’enseignement.
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4. SOURCES
Comme on pouvait le lire également dans le projet de recherche,
« Beaucoup de réflexions, de débats et de rapports ont été consacrés, surtout
depuis dix ans, aux difficultés de l’enseignement des mathématiques. Signalons
surtout, pour la Communauté Française de Belgique, le Rapport de la Commission
« Danblon » [Dan90] et le Livre blanc de la Société Belge des Professeurs de
Mathématique d’Expression Française [Noë91] 3. Les études étrangères les plus
marquantes, et qui d’ailleurs ont inspiré les contributions belges, sont le Rapport
Cockroft [Coc82] pour l’Angleterre, le Rapport Dacunha Castelle [Dac89] pour la
France et les Curriculum and evaluation standards [Rom89] pour les États-Unis.
Ce dernier document doit retenir particulièrement l’attention dans la mesure où il ne
se borne pas à communiquer des observations, un débat d’idées et des
recommandations générales : il propose pour tous les âges de la maternelle à la fin
du secondaire des exemples détaillés de situations d’apprentissage et de contrôle
des connaissances. Cette étude ne se contente donc pas de dire en général ce qu’il
faudrait faire, mais elle montre de manière assez explicite comment le faire dans les
classes. »
Attardons-nous un moment sur cette étude américaine, car elle a été une de
nos principales sources d’inspiration. Elle est divisée en quatre parties. Les trois
premières sont consacrées à des tranches d’âges (de la maternelle à 9 ans, de 10 à
13 ans, de 13 à 18 ans) et la dernière aux problèmes d’évaluation (des élèves, des
enseignants, du système éducatif). On retrouve dans chaque tranche d’âges, à peu
près les mêmes sections.
Par exemple, pour la tranche d’âges de 10 à 13 ans :
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les mathématiques comme résolution de problèmes ;
les mathématiques comme communication ;
les mathématiques comme raisonnement ;
les connexions mathématiques (c’est-à-dire les liens qui unissent les divers
concepts et théories) ;
les nombres et les relations numériques ;
les systèmes de nombres et la théorie relative aux nombres;
le calcul et les estimations ;
les « patterns » 4 et fonctions ;
l’algèbre ;
les statistiques ;
les probabilités ;
la géométrie ;
les mesures.
Le rapport « Damblon » est repris tout entier dans le Livre blanc.
C’est-à-dire les régularités, les symétries, les rythmes.
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On note tout d’abord, dans ce plan, l’importance accordée aux questions
relatives à l’activité mathématique en général, telles que la résolution de problèmes,
la communication, le raisonnement. Mais on s’étonne aussi de voir ces questions
traitées en quelque sorte sur le même pied que les matières particulières telles que
l’algèbre, les probabilités, la géométrie.
Les premières sections sont illustrées d’exemples au même titre que celles
relatives aux matières, et on se demande pourquoi ces exemples concernant la
résolution de problèmes, la communication, le raisonnement n’apparaissent pas
plutôt dans les sections relatives aux matières.
Voyons maintenant comment et pour quelles raisons nous avons structuré
notre étude de façon assez différente.
5. PLAN DU CADRE GLOBAL
Le Premier chapitre analyse la notion de compétence et sa relation avec celle
de savoir. Il fait le lien avec le texte officiel actuellement disponible sur les socles de
compétences [SOC94].
Le Deuxième chapitre expose une philosophie générale de l’éducation
mathématique, parente de celle développée dans le Rapport « Damblon » [Dan90].
La philosophie en question sous-tend le reste de notre ouvrage. Son exposé
s’appuie sur quelques termes techniques (tels que phénomène, objet mental, acquis
méthodologique, ...) dont nous avons veillé à limiter le nombre. Seuls ceux qui
s’avéraient indispensables ont été retenus.
Le Troisième chapitre montre pourquoi il faut combattre l’analphabétisme
mathématique et en quoi une culture mathématique minimale concerne tout être
humain, tout citoyen conscient et actif. Il essaie en outre de cerner, dans les
grandes lignes, le contenu de cette culture minimale.
Les Chapitres 4 à 9 traitent des différentes matières d’enseignement, à savoir
les grandeurs, les nombres, la géométrie, l’algèbre, les statistiques et probabilités
(avec le traitement des données et la combinatoire), et enfin l’analyse. Traiter ainsi
chaque matière d’un bout à l’autre de la scolarité nous permet de réaliser notre
objectif principal : montrer la continuité des apprentissages de la prime enfance à
l’âge adulte.
Certains chapitres (ceux relatifs aux grandeurs, aux nombres et à l’algèbre)
commencent par une Section 0, destinée à clarifier le vocabulaire relatif à la matière
traitée. Nous devions en effet, dès le départ, lever certaines ambiguïtés
terminologiques.
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Cette Section 0 mise à part, nous avons structuré tous les chapitres de la même
façon, de manière à faciliter la circulation entre eux.
Voici, à titre d’exemple, le plan commenté du Chapitre 6, celui qui est consacré
à la géométrie.
VUE D’ENSEMBLE
La géométrie au niveau de base
On expose dans cette première sous-section quels sont les objets et les phénomènes qui,
dans l’environnement quotidien et la pensée commune, enclenchent la pensée en direction
de la géométrie : qu’est-ce qui autour de nous est en quelque sorte en attente d’une
explication géométrique ?
La construction de la géométrie
On expose à grands traits ce qui doit ou éventuellement pourrait constituer l’enseignement
de la géométrie depuis la maternelle jusqu’à la fin de l’école secondaire. C’est l’esquisse - et
pas plus que l’esquisse - d’un programme. Cette section, exprimant et argumentant les
convictions des auteurs, est rédigée dans un style parfois normatif : il s’agit, nous l’avons
déjà dit, d’une simple commodité d’expression, car si nous souhaitons proposer des idées,
nous ne voulons en imposer aucune.
La géométrie approfondie
Sous ce titre, la troisième section explique, également à grands traits, ce qu’est la géométrie
au niveau de l’enseignement supérieur, d’abord dans les études scientifiques, et ensuite
dans la recherche : est-ce que la géométrie est aujourd’hui une science vivante et de quoi
s’occupe-t-elle ? Il s’agit d’un aperçu bref.
La géométrie comme forme de pensée
On tente de dégager ce qui fait la spécificité de la pensée géométrique, ce qui la distingue
des autres grands chapitres des mathématiques et les relations essentielles quelle
entretient avec eux.
Les applications de la géométrie
On évoque les applications principales de la géométrie dans les sciences et les techniques.
La géométrie dans l’histoire, la philosophie, la culture
On explique, dans une mesure à vrai dire modeste (mais en renvoyant à des exposés plus
complets), quelques grands événements qui ont jalonné l’histoire de la géométrie, quelques
questions géométriques intrigantes qui ont entretenu la réflexion philosophique au cours
des siècles, et enfin les relations qui ont uni la géométrie et les arts plastiques à diverses
époques.
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La géométrie dans l’enseignement fondamental
Cette deuxième section du chapitre dégage quelques principes susceptibles d’inspirer un
enseignement fructueux de la géométrie à l’école fondamentale. On y expose au passage,
comme exemples d’application de ces principes, des situations et questions diverses
susceptibles d’être utilisées en classe.
La géométrie au premier degré du secondaire
On montre comment les principes appropriés à l’enseignement fondamental évoluent
lorsqu’on arrive au premier degré de l’enseignement secondaire. Ici aussi, des situationsproblèmes illustrent la mise en oeuvre possible des principes dans les classes.
La géométrie aux deux derniers degrés du secondaire
Cette dernière section propose et illustre, elle aussi dans le prolongement des deux
précédentes, quelques principes applicables cette fois aux deux derniers degrés du
secondaire, en distinguant dune part ce qui est applicable à tous les élèves, et d’autre part
ce qui concerne soit les spécialités professionnelles et techniques, soit les sections qui
préparent aux carrières scientifiques.
6. CE QUI RESTE À FAIRE
Concevoir un cadre global pour l’enseignement des mathématiques, de la
maternelle jusqu’à 18 ans est a priori un travail gigantesque.
Les auteurs ont fait ce qu’ils ont pu, dans les deux années qu’a duré la
recherche, en s’appuyant sur leur longue expérience de l’enseignement à divers
niveaux (mais non à tous), sur de nombreuses lectures et discussions, et enfin sur la
collaboration bénévole d’un assez grand nombre de collègues.
Ce travail, apparemment le premier du genre dans notre pays, est un essai
ques essai dont on aperçoit dès maintenant certaines limites, et qui mériterait d’être
poursuivi.
En particulier, l’enseignement de la géométrie pose aujourd’hui des problèmes
tant en ce qui concerne le choix et l’organisation des matières que les étapes de
maturation de l’dée de preuve. Une étude complémentaire, nécessairement longue,
serait la bienvenue.
Nous n’avons pas justifié en détail la place restreinte réservée dans notre
étude aux éléments de théorie des ensembles et de logique. Pour une discussion
détaillée de cette question, on pourra se reporter à [Rou95]. Sans doute serait-il utile
de montrer, plus que nous ne l’avons fait, comment les éléments de théorie naïve
des ensembles et de logique se mettent en place au fil de l’étude des matières
particulières.
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Enfin, nous souhaiterions, peut-être dans des contributions ultérieures, montrer plus
explicitement les points d’appui que l’enseignement peut trouver dans l’histoire des
mathématiques, ainsi que l’importance des problèmes de communication orale et
écrite dans l’activité mathématique.
BIBLIOGRAPHIE
[Coc82]
W.H. Cockroft, coord. Mathematics counts, Report of the Committee of
Enquiry into the Teaching of Mathematics in School. H.M.S.O.,
Londres, 1982.
[Dac89]
D.Dacunha Castelle. Rapport de la mission de réflexion sur
l’enseignement des mathématiques. Ministère de l’Education Nationale,
de la Jeunesse et des Sports, Paris, 1989.
[Dan90]
P. Danblon, coord. Perspectives sur l’Enseignement des
mathématiques dans la Communauté Française de Belgique, Rapport
de la Commission scientifique d’étude de l’enseignement des
mathématiques et des sciences. Ministère de l’Education, de la
Recherche et de la Formation, Bruxelles, 1990.
[Noë91]
G. Noël, coord. Enseigner la mathématique ? Livre blanc sur
l’enseignement des mathématiques en Communauté Française de
Belgique. Société Belge des Professeurs de Mathématique
d’expression française, Mons, 1991.
[Rom89]
T.A. Romberg, coord. Curriculum and evaluation standards for school
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Virginia, 1989.
[Rou95]
N. Rouche. L’enseignement des mathématiques d’hier à demain.
CREM, Nivelles, 1995.
[Soc94]
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fondamental et au premier degré de l’enseignement secondaire.
Cabinet du Ministre de l’Education, Bruxelles, 1994.
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