Economie de l`incertain

Economie de l’incertain
L. Denant-Boèmont
Maître de conférences
http://perso.univ-rennes1.fr/laurent.denant-boemont
[email protected]
Licence 3ème année Mathématiques Appliquées aux Sciences
Sociales
1
Introduction
1. Qu’est ce que l’incertitude ?
2. Les différents types d’incertitude
3. Les enjeux de la prise en compte
de l’incertitude : quelques exemples
paroxystiques
4. Risque vs Incertitude
5. Plan du cours et bibliographie
2
1. Qu’est-ce que l’incertitude ?
• L’incertitude caractérise une situation dans laquelle
aujourd’hui je ne sais pas ce que sera ma situation demain, la
situation de mon voisin demain, etc…
• Mais aussi je ne sais pas ce qu’aujourd’hui pense mon voisin
de moi, ce que sont ces intentions à mon égard, quel est son
type….
• .. Voire je ne sais pas ce que seront mes goûts futurs (aimerai-je
toujours la Star Ac’ dans 1 an ?)
• Certains types d’incertitude se résolvent en partie au cours du
temps (acquisition d’information : qui va gagner la Star Ac’ ?),
mais d’autres non… (si mon voisin ne fait rien vis-à-vis de
moi, je ne connaitrai jamais ses intentions…)
• Le problème de l’incertitude ne vient pas tant de l’ignorance
de l’individu que des conséquences (gains ou pertes) qu’elle
peut avoir sur l’individu et qu’il anticipe.
3
Les conséquences de l’incertitude
• L’incertitude va donc avoir des conséquences sur les décisions
courantes des individus : celles-ci pourraient s’avérer ex post
inadaptées (ex post : une fois l’incertitude résolue, ex ante :
avant que l’incertitude sur quelque chose soit résolue)
• Incertitude sur ma situation : ces études de MASS vont-elles vraiment
me permettre de gagner ma vie ? Ne vaut-il pas mieux que je tente ma
chance à la Star Ac ?
• Incertitude sur les actions des autres : s’il tente sa chance à la Star
Ac, alors je ne dois pas y aller, car il chante mieux que moi.. Mais s’il n’y
va pas, j’ai mes chances.
• Incertitude sur mes préférences futures : si je n’aime plus la Star Ac
dans 1 an, dois-je vraiment prendre des leçons de chant ?
4
L’incertitude sur ses préférences futures : « Paying
not to go the gym… »
• Della Vigna & Malmandier (2007),
AER
• Hypothèse d’Homo oeconomicus :
Les consommateurs ont des anticipations
rationnelles sur leurs consommations
futures et choisissent le panier qui
maximise leur utilité,
• Les personnes qui prennent un
abonnement en club de gym payent
environ 70$ par mois, et ne visitent
qu’en moyenne 4.3 fois le club (soit
17$ par visite), alors qu’une visite
hors abonnement coûte 10$ .
5
2. Les différents types d’incertitude en économie
Environnement décisionnel (la Gaule romaine vers 50 av. J.C)
Incertitude décisionnelle
(le ciel va-t-il nous tomber sur la tête ?)
Incertitude stratégique
(quelles sont ses intentions ?)
6
Les différents types d’incertitude
• L’incertitude décisionnelle concerne l’environnement
décisionnel des individus et s’applique a priori à tous sans qu’ils
aient une quelconque prise sur cet environnement (quel temps
fera-t-il demain ?). L’incertitude décisionnelle est donc
totalement exogène à la décision..
• L’incertitude stratégique vient du fait que j’interagis avec les
autres : quelles sont ses préférences ? Quel est l’espace des
stratégies qu’il peut déployer et qui peuvent m’affecter ?
• L’incertitude stratégique est une situation dans laquelle je ne
connais pas les préférences de mon partenaire, ou l’ensemble de
ses actions, ou son niveau d’information.
• Par conséquent, les jeux sans incertitude stratégique ne seront
pas traités (exemple : le dilemme du prisonnier et ses dérivés)
7
3. Les enjeux de la prise en compte économique de l’incertitude :
quelques exemples
(a) les coûts de construction de grands projets de transport
Source : Flyjbjerg and al. (2003), Megaprojects and Risk, Cambridge University Press.
8
3. Les enjeux de la prise en compte économique de l’incertitude :
quelques exemples
(b) les prévisions de demande
9
3. Les enjeux de la prise en compte économique de l’incertitude :
quelques exemples
(c) la rentabilité
L’exemple du tunnel sous la Manche, 100 pennies = 1£ ; actions vendues au prix de 3.5£ en déc. 1987
Source : Flyjbjerg and al. (2003), Megaprojects and Risk, Cambridge University Press.
10
4. risque vs incertitude
p
R11
s1
d1
s2
(1-p)
R12
d2
p
R21
s1
(1-p)
s2
R22
11
4. risque vs incertitude
•
•
•
•
•
F Knight (1921)
Risque : états + probabilités
Incertitude : états non probabilisés
Incertitude radicale : ni états ni probabilités
NB : cette distinction porte sur l’aspect décisionnel (et
pas forcément stratégique)
12
Bibliographie
• Kast R. (1993), Théorie de la décision, Repères, La
découverte
• Holt, C.A. (2007), Markets, Games and Economic Behavior,
Wiley & sons.
• Laffont, J.-J. (1990), Economie de l’incertain et de
l’information, Dunod.
13
4. Plan du cours (provisoire)
• Chap. 1. Critères de décision individuelle en avenir risqué
• Chap. 2. L’Espérance d’Utilité (EU) de Von NeumannMorgenstern
• Chap 3. Remises en cause empiriques et modèles alternatifs à
l’EU
• Chap 4. Critères de décision individuelle en avenir incertain
• Chap. 5. Incertitude stratégique sur les préférences
• Chap. 6. Incertitude stratégique en présence d’incertitude
décisionnelle
• Chapitre 7. incertitude stratégique en présence d’asymétrie
informationnelle
14
Un exemple récurrent : VAN de 3 projets de TC selon 3 états possibles de la demande
Demande
projet
élevée
moyenne
faible
A
Tramway
100
50
30
B
Bus guidé
65
70
40
35
45
50
C
Bus articulé
site protégé
en
15
Chapitre 1. Critères de décision individuelle en
avenir risqué
Michael Cimino (1978), Voyage au bout de l’enfer
(The Deer Hunter)
1. Fondements de l’espérance de gain
2. Le critère de l’Espérance Mathématique de Gain (EMG) et ses dérivés
3. Le critère Espérance-Variance de
Markowitz
4. Les limites du critère d’EMG et le
critère de Bernoulli
16
1. Fondements de l’espérance de gain : « Qui veut
gagner des millions ? »
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Série de questions avec 4 réponses possibles.
15 questions avec 2 paliers, l’un à 1500€ au bout de 5
questions, l’autre à 48000€ à la 10ème question
Imaginez que vous soyez à la 14ème question et que vous
ayez donc atteint 300 000€. La 15ème vous permet d’accéder
au
million
d’€
(source
:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Qui_veut_gagner_des_million
s_%3F )
Il vous reste l’option 50/50 qui permet d’éliminer 2
réponses possibles sur les 4. supposons qu’aucune des deux
réponses possibles ne soit plus probable que l’autre (vous
ne connaissez rien à la question)
L’option est donc entre abandonner et gagner 300 000 €
ou continuer en ayant avoir 50% de chances de gagner 1
000 000 et 50% de chances de gagner 48 000 €
Que faire ?
L’espérance de gain de continuer est :
0.5* 48000 +0.5*1 000 000 = 524 000 €
Le supplément de gain espéré de 224 000 € (524 000 – 300 000)
vaut-il le risque pris à continuer ?
17
Le pari de Pascal (1670) : croire ou ne
pas croire en Dieu ?
•
•
•
•
•
•
« Vous avez deux choses à perdre : le vrai et le bien, et deux choses à engager : votre raison et votre volonté, votre
connaissance et votre béatitude; et votre nature a deux choses à fuir : l'erreur et la misère. Votre raison n'est pas
plus blessée, en choisissant l'un que l'autre, puisqu'il faut nécessairement choisir. Voilà un point vidé. Mais votre
béatitude ? Pesons le gain et la perte, en prenant choix que Dieu est. Estimons ces deux cas : si vous gagnez, vous
gagnez tout; si vous perdez, vous ne perdez rien. Gagez donc qu'il est, sans hésiter. » Pensées, Blaise Pascal
(1670)
Question : vaut-il mieux avoir la foi ou être un mécréant sachant qu’il est possible que
Dieu n’existe pas ?
Pascal : il vaut mieux avoir la foi car cela est rationnel…
En effet, si je n’ai pas la foi, et que Dieu existe, alors j’irai en enfer. Et si Dieu n’existe pas, alors
peu importe (le néant pour tous…).
Si j’ai la foi et que Dieu existe (et que je n’ai pas trop commis de pêchés!!), alors j’irai au Paradis. Si
Dieu n’existe pas, alors peu importe.
En clair, si on se donne un certain pourcentage de chances que Dieu existe (et donc une
probabilité 1-p que Dieu n’existe pas), alors l’acte d’avoir la foi est toujours plus intéressant que
l’acte qui consiste à ne pas avoir la foi :
Gain espéré de « croire en Dieu »
Gain espéré de « ne pas croire en Dieu »
•
Proba ( Dieu existe) X Paradis + (1-p) X 0 >>> Proba ( Dieu existe) X Enfer + (1-p) X 0.
•
•
C’est donc un pari rationnel que de miser sur l’existence de Dieu.
C’est le premier cas d’utilisation d’un raisonnement en termes d’espérance mathématique de gains
18
2. Critère d’Espérance Mathématique de Gain et ses dérivés
(a) l’Espérance Mathématique de Gain
• L’ensemble des décisions représente un vecteur D composés de m
éléments D={d1, …, di, …, dm}
• L’ensemble des états de la Nature S composé de J éléments S ={s1, …,
sj, …, sn}
• L’ensemble des résultats correspond au produit R=D x S, soit à une
matrice composée de (n x m) éléments
• La distribution de probabilités sur les états de la Nature
P={p1,…pj,…pn}
• L’espérance mathématique de gain s’écrit alors :
E (d i ) =
s j =n
∑p r
s j =1
j ij
Où j indice l’état de la nature, i la
décision
• Et on cherche la décision optimale tq :
d *∈ arg max(EMG(d i ))
19
L’espérance de gain : exemple
• Si Pr (X=x) = {0,2 ; 0,5 ; 0,3}
• Alors EMG (A) = 0,2 x 100 + 0,5 x 50 + 0,3 x 30 = 55
millions d’€
• EMG (B) = 0,2 x 65 + 0,5 x 70 + 0,3 x 40 = 60
• EMG (C) = 0,2 x 35 + 0,5 x 45 + 0,3 x 50 = 44,5
• D’où B > A > C
20
Un dérivé : le critère de Laplace
• Si la distribution des probabilités est supposée comme étant uniforme (par
exemple, en cas d’incertitude) :
P = {p1 ,... pi ,... pn }
• Le critère de Laplace s’écrit :
1
avec p1 = ... = p j = ... = pn =
n
L(d i ) =
•
•
•
•
∑r
ij
j
n
Soit L(A)=(100+50+30)/3=60
L(B)= (65+70+40)/3=58.33
L(C)= (35+45+50)/3=43.33
Donc A>B>C
21
3. Le critère de Markowitz et la frontière
d’efficience
• Le critère de Markowitz (1952) a été déterminé pour arbitrer
entre la possession de différents titres financiers ou portefeuilles
financiers,
• Basiquement, le risque d’un titre ou d’un portefeuille peut être
mesuré par la dispersion de son cours (ses cours) tout au long du
temps, et être utilisé pour prévoir son évolution future,
• La dispersion des cours ou rendement d’un titre peut être mesuré
par l’écart-type,
• Cette mesure de la dispersion va compléter l’information de
l’investisseur sur le rendement ou le cours moyen du titre ou du
portefeuille.
• a priori, un investisseur va préférer les titres les plus rentables
mais impliquant le moins de risque…
22
La volatilité des titres financiers
•
•
•
NB : la volatilité historique
d’un titre ou d’un portefeuille
se mesure le plus souvent à
travers un coefficient Beta,
défini par le rapport entre la
variance du titre et la
covariance du titre à l’égard
d’un indice référence.
Si le coefficient Beta est >1
(par ex. 1.5), cela signifie que
la variation moyenne du
cours a été de 1.5% quand
celle de l’indice référent a été
de 1%. Le Beta représente
donc une élasticité du cours
du titre par rapport au cours
moyen des titres de l’indice.
Cela
signifie
que,
en
moyenne, le cours a été 25%
plus élevé mais aussi 25%
plus bas que l’indice
23
(a) Le critère de MARKOWITZ
• Fonction de valorisation :
– La fonction de valorisation est caractérisée par un couple composé
par l’espérance mathématique de la décision et sa variance.
E (d i ) =
s j =n
∑ (p R )
s j =1
s j =n
j
ij
2
σ (d i ) = ∑ p j (Rij − E (d i ))
2
s j =1
24
Critère de choix n° 1 :
 E (d k ) ≥ E (d l ) et σ (d k ) < σ (d l )

d k f d l si 
ou bien
 E ( d ) > E (d ) et σ ( d ) ≤ σ ( d )
k
l
k
l

Cette règle de comparaison est assez restrictive :
Elle ne prend pas en considération le fait qu’un fort écarttype puisse être compensé par une forte espérance .
Donc ce critère ne fonctionne pas toujours : il faut le compléter
25
Exemple d’application
Actions\états
s1
s2
s3
s4
d1
20
25
40
100
d2
5
30
50
125
d3
40
50
75
0
p(sj)
p1=0.20
p2=0.25
p3=0.40
p4=0.15
E (d1 ) = 41,25
σ (d1 ) = 25,97
E (d 2 ) = 47,25
σ (d 2 ) = 31,37
d 3 f d1
d3 f d 2
⇒ d * = d3
E (d 3 ) = 50,50
σ (d 3 ) = 24,95
26
Si le critère précédent ne permettait pas de se prononcer on utiliserait le critère de choix n° 2 :
critère de choix n° 2 :
d k f dl
si
E (d k ) E (d l )
>
σ (d k ) σ (d l )
Cette règle consiste à mesurer le pourcentage
d’espérance par unité d’écart type
La meilleur stratégie sera celle qui aura la plus grande
espérance par unité d’écart type
27
Application du critère n°2 :
E (d1 ) = 41,25
E (d1 ) 41,25
=
≈ 1,58
⇒
σ (d1 ) = 25,97 σ (d1 ) 25,97
E (d 2 ) = 47,25
E (d 2 ) 47,25
=
≈ 1,50
⇒
σ (d 2 ) = 31,37  σ (d 2 ) 31,37
d 3 f d1 f d 2
E (d 3 ) = 50,50
E (d 3 ) 50,50
=
≈ 2,02
⇒
σ (d 3 ) = 24,95 σ (d 3 ) 24,95
28
Données empiriques (Guedhami et al., 1999)
29
(b) La frontière d’efficience des portefeuilles
financiers
• Supposons une collection de différents titres financiers
caractérisés par leur espérance de gain et leur écart type.
• En général, un supplément de gain espéré est obtenu
moyennant une augmentation du risque, càd de la
volatilité du titre…
• Par ailleurs, le supplément de gain espéré a tendance a
croître moins rapidement que la volatilité du titre
(hypothèse validée par l’observation empirique)
30
Données empiriques (Sanfilippo, 2002)
(Moment Partiel d’ordre Inférieur)
31
Rendement du titre
(gain espéré ou taux de
rendement espéré)
La frontière d’efficience
U2
U1
Volatilité du titre
(écart type)
32
4. Les limites de l’espérance mathématique de gain et
le critère de Bernoulli
(a) Exemple 1 : « le philanthrope sadique »
•
•
Supposons un individu qui doit mourir d’ici 2 jours à
moins d’être opéré moyennant un coût de 100 000 €
Cet individu, à une heure de décéder, rencontre un
philanthrope sadique qui lui propose le choix suivant :
a) Une loterie A qui lui rapporte 50 000 € avec une probabilité p de 0.5
et 75 000 € avec (1-p)=0.5
b) Une loterie B qui lui rapporte 100 000 € avec une probabilité p de
0.01 et 0 € avec (1-p)=0.99
•
Quel choix fera-t-il ?
33
Le philanthrope sadique
• S’il raisonne en espérance mathématique, il choisira la loterie A
car 0.5(50000)+0.5(75000) = 62500 > 0.01 (100000)+0.99(0) =
1000
• Or ce choix est stupide car seule la loterie B lui donne un espoir
de survie, tandis qu’avec la loterie A, c’est la mort assurée ! (à
moins d’être un bon négociateur avec le chirurgien…)
• On peut penser que la survie est préférable à n’importe quelle
issue monétaire inférieure à 100 000 euros et donc l’espérance
mathématique est clairement insuffisante dans ce cas de choix
34
Le philanthrope sadique : moralité
• Supposons que l’individu attache une certaine utilité
aux issues consécutives aux loteries A et B
• Si U(mort) = 0 et U(vie) = 1, alors l’espérance des
loteries avec ces utilités s’écrit :
• Loterie A : 0.5 X U(A si S1) + 0.5 X U(A si S2)
• = 0.5 (0) + 0.5 (0) = 0
• Loterie B : 0.5 X U(B si S1) + 0.5 X U(B si S2)
• = 0.01 (1) + 0.99 (0) = 0.01
35
(b) Exemple 2 : Le paradoxe de St Petersbourg
(1738)
• D. Bernoulli (1700-1782), mathématicien à l’académie de St
Petersbourg.
• Soit le choix entre 2 loteries (2 décisions), l’une procurant un
gain certain de 1 million d’€ (d1) et l’autre procurant un gain de
2n consécutif à l’apparition du côté « face » d’une pièce de
monnaie au nième lancer (d2),
• (exemple : si « face » sort au 23ème lancer de la pièce, après 22
sorties de « pile » les fois précédentes, le gain de cette loterie est
223=8.389 millions d’euros.)
• Quel choix faites-vous, d1 ou d2 ?
36
Le choix de St Petersbourg en termes d’arbre de
décision
p=1
1 000 000 €
d1
p=1/2
F
21
d2
p=1/2
p=1/2
F
P
22
p=1/2
p=1/2
F
P
23
p=1/2
p=1/2
F
P
p=1/2
P
24
…
37
L’application du critère d’espérance mathématique
• EMG(d1) = 1 X 1 000 000 = 1 000 000
• EMG(d2) = ½ X 2 + ½ X 4 + ½ X 8 + ½ X 16 +
….+ ½ X 2100 +…. = +∞
• D’où d’après l’application de la maximisation de
l’EMG, d2 préférable à d1 !
38
(c) Le critère de BERNOULLI
• Bernoulli critique le critère de PASCAL à partir d’un
exemple simple
• Un mendiant possède un billet de loterie lui permettant
de gagner 20.000 Ducats avec une probabilité égale à
0,5.
• Un riche marchand lui propose d’acheter ce billet 9.000
Ducats. Le mendiant accepte, ce qui est contraire au
paradigme Pascalien !
39
Formalisation de ce problème :
s1
s2
d1
0
20 000
a2
9 000
9 000
Prob{sj}
0,5
0,5
E (d1 ) = 0,5 × 0 + 0,5 × 20000 = 10000 
 ⇒ d * = d1
E (d 2 ) = 0,5 × 9000 + 0,5 × 9000 = 9000
Pourquoi le mendiant préfère vendre son billet de loterie ?
40
(c) Le critère de Bernoulli
• Bernoulli : ce n’est pas le gain en lui même qui intéresse
les individus mais plutôt l’utilité que le gain procure.
• Un individu k va évaluer la valeur du pari avec une
fonction du type
EU k (d i ) =
s j =n
k
p
U
∑ j (rij )
s j =1
• Le critère de choix consiste donc à déterminer la
décision qui maximise la fonction d’évaluation des
conséquences
d *∈ arg max EU k (d i )
41
Résolution du paradoxe en présence d’une fonction
d’évaluation des conséquences différente de f(x)=x
Le mendiant accepte de vendre son billet de loterie dès lors que :
EU (d 2 ) > EU (d1 )
Soit :
1
1
1
1
u (0 ) + u (20000 ) < u (9000 ) + u (9000)
2
2
2
2
u (20000 ) < 2.u (9000 )
Si la fonction d’utilité du mendiant est de type u(x)=Ln(x), il
est rationnel d’accepter l’échange :
Ln(20000)=9,9
et
2*Ln(9000)=18,20
42
Généralisation et application au paradoxe de St
Pétersbourg : la convergence d’un série géométrique
S n = a + aq + aq 2 + ... + aq n
•
Une série géométrique
•
Est une série de terme général :
•
Si on multiplie cette série par q, la
raison de cette suite, on obtient
qS n = q a + aq + aq 2 + ... + aq n
Et que l’on calcule :
S n − qS n = a − aq n +1
•
u n = aq n
(
)
= aq + aq 2 + ... + aq n +1
⇔ Sn
(1 − q )
=a
n +1
(1 − q )
43
Le paradoxe de St Pétersbourg et la convergence
d’un série géométrique
u(x ) = x
• Si on suppose que
• Le pari de St Pétersbourg peut
s’écrire
comme une série
géométrique de terme infini :
• La raison d’une telle série est :
• Et on calcule :
1
2
( ) ( )
(
) ( )
1
1
 −2
 − n +1
2 2 
n +1 2 
S n = 2 × 2 +  2 × 2  + ... +  2
×2
 + ...




−1
1
2
1
−
u2 un +1
q=
=
=2 2
u1
un
→0
n →∞


1
S = 2− 2
lim
 n
n → +∞


1
− ( n +1 )  

1 − 2 2

1



  = 2 − 2 1 − 0 ≅ 2 .414 < (1000000 )0.5 = 1000
1
1
−
−  

1 − 2 2  
1− 2 2

 

 
44
Conclusions du chapitre 1
• Critères simples liés à l’EMG…
• Mais limites inhérentes : ne tient pas compte du fait que
l’attitude vis-à-vis du risque peut être très différente
d’un individu à l’autre…
• … et que ce n’est pas forcément le gain qui importe
mais l’utilité du gain.
45