x f (x) f (6)

2nde. DM2 - Correction
♣
Mr X possède une maison rectangulaire de 12 m de longueur au bord d’une rivière et souhaite créer devant celle-ci un jardin
rectangulaire qu’il entourera avec la totalité d’un rouleau de 60 m de grillage .
Bien évidemment, aucun grillage ne sera nécessaire ni le long de la maison de Mr X ni le long de la rivière : il suivra le
trajet ABCD représenté sur la figure.
Mr X se pose une question :
« Quelles doivent-être les dimensions de son jardin pour qu’il ait la plus grande aire possible et quelle sera cette
aire ? ».
Première partie
1. On suppose, dans cette question, que AB = 10 m.
Calculer alors les longueurs CD puis BC, puis vérifier qu’alors l’aire du jardin est égale à 616 m2 .
C D = AB + 12 = 10 + 12 = 22 m et BC = 60 − (AB +C D) = 60 − (10 + 22) = 28 m
aire = BC ×C D = 22 × 28 = 616 m2
2. On désigne par x la longueur AB en mètres.
a. Exprimer, en fonction de x, la longueur CD.
C D = AB + 12 = x + 12
b. Exprimer, en fonction de x, la longueur BC.
BC = 60 − (AB +C D) = 60 − (x + x + 12) = 48 − 2x
c. Justifier que x prend ses valeurs dans l’intervalle [0 ; 24].
x = AB est une longueur donc x > 0 de même BC est une longueur donc 48 − 2x > 0 ⇐⇒ −2x > −48
−48
x6
⇐⇒ x 6 24 Finalement 0 6 x 6 24 ⇐⇒ x ∈ [0 ; 24]
−2
d. On désigne par f (x) l’aire, en m2 , du jardin. Exprimer f (x) en fonction de x
et vérifier que f (x) peut s’écrire sous la forme : f (x) = −2x 2 + 24x + 576
f (x) = aire = BC ×C D = (48 − 2x) × (x + 12) = 48x + 576 − 2x 2 − 24x = −2x 2 + 24x + 576
Deuxième partie
3. À l’aide de votre calculatrice, compléter le tableau de valeurs de la fonction f ci-dessous :
x
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
f (x)
576
616
640
648
640
616
576
520
448
360
256
136
0
4. Tracer la courbe représentative C f de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 24]. voir page suivante
unités choisies : en abscisses 1cm pour 2m ; en ordonnées 1cm pour 32m2 .
5. À l’aide de la courbe précédente, conjecturer la valeur de x, pour laquelle le jardin de Mr X aura la plus grande aire.
Je conjecture que l’aire du jardin sera maximale pour x = 6
Troisième partie
6.
a. Montrer que, pour tout réel x ∈ [0 ; 24], on a : f (6) − f (x) = 2 (x − 6)2 .
¡
¢
f (6) − f (x) = 648 − −2x 2 + 24x + 576 = 2x 2 − 24x + 72 = 2(x 2 − 12x + 36) = 2 (x − 6)2
b. Comparer alors, pour tout réel x ∈ [0 ; 24], f (x) et f (6).
comme 2 (x − 6)2 > 0 on a : f (6) − f (x) > 0 ⇐⇒ f (x) 6 f (6)
c. Répondre alors à la question de Mr X. Les dimensions pour une aire maximale s’obtiennent pour x = 6 :
AB = 6 m BC = 36 m et C D = 18 m on a alors l’aire du jardin maximale : aire = 648 m2
L’aire du jardin, en m2 , en fonction de la longueur AB en m
y
800
768
736
704
672
640
608
576
544
512
480
448
416
384
352
320
288
256
224
192
160
128
96
64
32
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30 x