Mr X possède une maison rectangulaire de 12m de longueur au
Transcription
Mr X possède une maison rectangulaire de 12m de longueur au
2nde. DM2 - Problème d’optimisation ♣ pour le 15-10-12 Mr X possède une maison rectangulaire de 12 m de longueur au bord d’une rivière et souhaite créer devant celle-ci un jardin rectangulaire qu’il entourera avec la totalité d’un rouleau de 60 m de grillage . Bien évidemment, aucun grillage ne sera nécessaire ni le long de la maison de Mr X ni le long de la rivière : il suivra le trajet ABCD représenté sur la figure. Mr X se pose une question : « Quelles doivent-être les dimensions de son jardin pour qu’il ait la plus grande aire possible et quelle sera cette aire ? ». Première partie 1. On suppose, dans cette question, que AB = 10 m. Calculer alors les longueurs CD puis BC, puis vérifier qu’alors l’aire du jardin est égale à 616 m2 . 2. On désigne par x la longueur AB en mètres. a. Exprimer, en fonction de x, la longueur CD. b. Exprimer, en fonction de x, la longueur BC. c. Justifier que x prend ses valeurs dans l’intervalle [0 ; 24]. d. On désigne par f (x) l’aire, en m2 , du jardin. Exprimer f (x) en fonction de x et vérifier que f (x) peut s’écrire sous la forme : f (x) = −2x 2 + 24x + 576 Deuxième partie 3. À l’aide de votre calculatrice, compléter le tableau de valeurs de la fonction f ci-dessous : x 0 f (x) 576 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 4. Tracer la courbe représentative C f de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 24]. unités choisies : en abscisses 1cm pour 2m ; en ordonnées 1cm pour 32m2 . 5. À l’aide de la courbe précédente, conjecturer la valeur de x, pour laquelle le jardin de Mr X aura la plus grande aire. Troisième partie 6. a. Montrer que, pour tout réel x ∈ [0 ; 24], on a : f (6) − f (x) = 2 (x − 6)2 . b. Comparer alors, pour tout réel x ∈ [0 ; 24], f (x) et f (6). c. Répondre alors à la question de Mr X.