ANNEXE Méthode des caractéristiques

ANNEXE
Méthode des caractéristiques
1
Définition des caractéristiques
Dans tout ce qui suit les notations A, x ou A, y représentent les dérivés partielles par rapport à x
ou y de la quantité A.
Considérons le système suivant:

P U, x + QU, y = E






 P = (p )
ij i,j=1,2 Q = (qij )i,j=1,2 E =
!



u

∂U


U, y = ∂U
U=
 U, x = ∂x
∂y
e1
e2
!
(1)
v
On suppose en outre que pij , qij , e1 , e2 sont des fonctions continues de x et y de u et de v. Si pij
et qij sont constantes on parle de système linéaire au lieu de quasilinéaire. Si E = 0, le système est
dit homogène. On se propose de résoudre (1) lorsqu’on se donne U = (u, v) sur une courbe C sur
laquelle (u, v) sont supposés continus.
Supposons la courbe C donnée par sa forme paramétrique:
(
En un point où
dφ
dξ
x = φ(ξ)
y = ψ(ξ)
(2)
0
que l’on notera φ est non nul on a :
u, xC +
v, xC +
0
ψ
φ0
0
ψ
0
φ
u, yC =
du
dx C
v, yC =
dv
dx C
(3)
où l’indice C indique que les quantités sont évaluées sur la courbe C. Sur C, le système (1) ainsi
que les données (3) deviennent:









|
PC

QC
0
1 0
0 1
{z
A
ψ
φ0
0
0
ψ
φ0
0








}


u, x
 v, x 





 u, y
v, y


e1C

 e
 2C 


 = 

 du

 dx
C
dv
dx C




(4)
Pour résoudre le système (4), il faut étudier le déterminant de la matrice A, soit le déterminant de
QC −
0
ψ
0
φ
PC . Nous allons discuter des différents cas possibles en considérant l’équation:
det (Q − λP) = 0
1. Si toutes les racines de (5) sont réelles, le système (1) est hyperbolique
2. Si toutes les racines de (5) sont réelles et confondues, le système(1) est parabolique
3. Si toutes les racines de (5) sont imaginaires, le système(1) est elliptique
31
(5)
On pourra se référer au cours MA201 pour plus de détails concernant la classification des systèmes
aux dérivés partielles.
Supposons le système hyperbolique, les deux racines sont distinctes, les deux courbes définissent
donc un changement de variables.
Les courbes C + ne se coupent donc pas entre elles et les courbes C − non plus,
par contre une courbe C − coupe toutes les C + .
Le système (4) admet soit aucune soit une infinité de solutions lorsque la courbe sur laquelle on se
donne la pente
dy
dx
=
0
ψ
0
φ
est solution de (5). Une telle courbe est appelée courbe caractéristique.
Le système (1) étant de dimension 2, notons λ+ , et λ− les deux racines de (5). Ces deux valeurs
déterminent les pentes des 2 courbes caractéristiques en un point M . Pour que le système admette
une infinité de solution le second membre de (4) doit appartenir à l’image de l’endomorphisme
associé au système linéaire (4). Ceci définit des conditions de compatibilités qui sont appelées
invariants de Riemann sur chaque caractéristique.
dy
(R) la pente au point R. Le système (4) s’écrit au point R:
Soit un point R de C + ou C − et dx

p11 (R)u, x(R) + p12 (R)v, x(R) + q11 (R)u, y(R) + q12 (R)v, y(R) = e1 (R)



 p (R)u, x(R) + p (R)v, x(R) + q (R)u, y(R) + q (R)v, y(R) = e (R)
21
22
21
22
2
dy
du

u,
x(R)
+
(R)
u,
y(R)
=
(R)

dx
dx C


dy
dv
v, x(R) +
dx (R)
v, y(R) =
(6)
dx C (R)
Par hypothèse les quantités (u, v), pij , qij , ei sont continues sur les caractéristiques, on a donc par
exemple [[p11 ]]R = 0 où [[.]]R désigne le saut de la quantité p11 à la traversée des caractéristiques.
dv
De même, [[ dx
]] = 0 et [[ du
dx C ]]R = 0, ces quantités sont des constantes évaluées exactement sur
C R
la courbe caractéristique, on a donc:

p11 (R)[[u, x]](R) + p12 (R)[[v, x]](R) + q11 (R)[[u, y]](R) + q12 (R)[[v, y]](R) = 0




p21 (R)[[u, x]](R) + p22 (R)[[v, x]](R) + q21 (R)[[u, y]](R) + q22 (R)[[v, y]](R) = 0
dy

(R) [[u, y]](R) = 0
[[u, x]](R) + dx



dy
[[v, x]](R) + dx (R) [[v, y]](R) = 0
(7)
dy
Si dx
(R) est la pente de la caractéristique en R, alors le déterminant du système homogène précédent
dy
(R), il est nul. Le système (7) admet une infinité de solutions, donc
est donné par (5) avec λ = dx
il en existe au moins une non identiquement nulle telle que:
[[u, x]](R) 6= 0 ou [[u, y]](R) 6= 0 ou [[v, x]](R) 6= 0 ou [[v, y]](R) 6= 0
(8)
Les caractéristiques sont des discontinuités faibles de l’écoulement. les
grandeurs u, v y sont continues, leurs dérivées partielles pouvant subir des
discontinuités
2
Application aux équations d’Euler
Dans le cas d’un écoulement unidimensionnel de fluide parfait instationnaire en écoulement adiabatique, les équations de conservation de la masse et de quantité de mouvement s’écrivent:
(
∂p
∂p
2 ∂u
∂t + u ∂x + ρc ∂x =
∂p
∂u
∂u
ρ ∂t + ρu ∂x + ∂x
=
0
0
(9)
En se donnant les valeurs de u et de p sur une courbe particulière dans le plan x t, de la forme de
(3), on a:



 

0
0 1 ρc2 u
u, t
 ρ 0 ρu 1   p, t 
 0 




 
(10)

 
 =  du 
 1 0 λ 0   u, x 
 dt C 
dp
0 1 0 λ
p, x
dt C
32
avec u, t et p, t les dérivées partielles de u et de p par rapport au temps. Déterminons le déterminant
de la matrice entre crochets:



detA = det 

0
ρ
1
0
1 ρc2
0 ρu
0 λ
1 0
u
1
0
λ



 = det

"
ρc2
u−λ
ρ(u − λ)
1
!
= ρc2 − ρ(u − λ)2
(11)
Il existe donc deux racines réelles distinctes:
(
+
λ−
= u+c
= u−c
(12)
Le système quasilinéaire (9) est donc hyperbolique. Il existe deux familles de caractéristiques:
C+
dx
= u+c
dt
(13)
dx
= u−c
(14)
dt
Il faut maintenant écrire les invariants de Riemann qui résultent de la relation de compatibilité:
C−

0
0


 du ±

 dt C
±
dp
dt C
Cette condition sécrit :



 ∈ Im(A)


ρcduC ± ± dpC ± = 0
33
(15)
(16)