Notes de cours - CPGE Dupuy de Lôme

Notes de cours
Fonctions de plusieurs variables
PC, Lycée Dupuy de Lôme
U désigne un ouvert de Rp . On s’intéresse aux fonctions f : U ⊂ Rp → Rn . En pratique p ≤ 3,
n ≤ 3.
1
Calcul différentiel
1.1
Fonctions continues
Remarque La notion de fonction continue pour une fonction f : U ⊂ Rp → Rn a été vue dans le
chapitre ”espaces vectoriels normés”.
Exemple Justifier que f : R2 → R3 est continue.
f (x, y) = (ex y, −x + y, ln(1 + x2 + y 2 ))
Exemple Montrer que f : R2 → R est continue.
2
(x − y 2 ) ln(x2 + y 2 )
f (x, y) =
0
1.2
si (x, y) 6= (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
Dérivées partielles
Définition Soit a ∈ U , h ∈ Rp . On dit que f possède une dérivée directionnelle en a selon h si :
lim
t→0
f (a + th) − f (a)
existe
t
Dans ce cas, on note :
f (a + th) − f (a)
t
Ce vecteur de Rn est appelé dérivée directionnelle de f en a selon h.
Dh (f )(a) = lim
t→0
Remarque Cela revient à dire que la fonction t → f (a + th) est dérivable en 0. Cette fonction est
bien définie au voisinage de 0, car U est ouvert.
Définition Soit a ∈ U , j ∈ {1, · · · , p}, on note ej = (0, · · · , 1, · · · , 0). On dit que f possède une
dérivée partielle en a selon la j-ème variable si :
lim
t→0
f (a + tej ) − f (a)
existe
t
Dans ce cas, on note :
Dj (f )(a) =
∂f
f (a + tej ) − f (a)
(a) = lim
t→0
∂xj
t
Ce vecteur de Rn est appelé dérivée partielle de f en a selon la j-ème variable.
Définition On dit que f possède une dérivée partielle selon la j-ème variable sur U si ∀a ∈ U f
possède une dérivée partielle en a.
Remarque La notion de dérivée partielle est un cas particulier de la notion de dérivée directionnelle.
1
Remarque Attention dans la notation
∂f (x,y)
n’a pas de sens.
∂x
∂f
∂x (x, y)
les 2 lettres x n’ont pas le même statut, l’écriture
∂f
Remarque Calculer ∂x
(a) revient à calculer la dérivée de la fonction x → f (a1 , · · · , x, · · · , an )
j
en aj .
Remarque L’existence de dérivée partielle n’implique pas la continuité. Par exemple :
xy
si (x, y) 6= (0, 0)
x2 +y 2
f (x, y) =
0
si (x, y) = (0, 0)
possède des dérivées partielles en (0, 0) mais n’est pas continue en (0, 0).
1.3
Fonctions C 1
Définition On dit que f est C 1 sur U si ces deux conditions sont vérifiées :
– ∀j ∈ {1, · · · , p}, f possède une dérivée partielle selon la j-ème variable sur U .
∂f
(a) est continue sur U .
– ∀j ∈ {1, · · · , p}, l’application Dj : a → ∂x
j
Exemple Si f est linéaire, f est C 1
Exemple Montrer que f : R2 → R est C 1 .
2
(x − y 2 ) ln(x2 + y 2 )
f (x, y) =
0
si (x, y) 6= (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
Théorème Si f est C 1 sur U , alors :
– f est continue sur U .
– f possède des dérivées partielles sur U .
– Pour tout a ∈ U , h ∈ Rp , f possède une dérivée directionnelle en a selon h et :
Dh (f )(a) =
p
X
j=1
1.4
hj
∂f
(a)
∂xj
Différentielles
Définition Si f est C 1 sur U , on appelle différentielle de f en a, l’application linéaire (de Rp vers
Rn ) :
p
X
∂f
df (a) : h →
hj
(a)
∂x
j
j=1
Définition Si f est C 1 sur U , on appelle matrice Jacobienne de f en a :
Jac(f )(a) = (
∂fi
(a))1≤i≤n,1≤j≤p
∂xj
où l’on a noté fk la k-ème composante de f
Remarque La matrice Jacobienne est la matrice de cette application linéaire relativement aux
bases canoniques, c’est une matrice de taille (n, p)
Vocabulaire Lorsque n=p, on appelle jacobien de f en a, det(Jac(f )(a))
Exemple Ecrire la matrice Jacobienne de l’application (x, y) → (ex cos(y), ex sin(y))
Définition Soit U, V deux ouverts de Rn . On dit que f est un C 1 difféomorphisme de U vers V si
f est une bijection de U vers V , f est C 1 sur U , f −1 est C 1 sur V .
Exemple L’application (u, v) → (u, uv ) est un C 1 difféomorphisme de R∗ × R∗ vers lui même.
Théorème [Inversion globale] Soit U un ouvert de Rn , soit f : U → Rn une fonction C 1 injective.
Alors f est un C 1 difféomorphisme de U vers f (U ) si et seulement si ∀a ∈ U , jac(f )(a) 6= 0
Exemple L’application (r, θ) → (r cos(θ), r sin(θ)) est un C 1 difféomorphisme de ]0, +∞×] − π, π[
vers R2 \ {(x, 0), x ≤ 0}
Remarque Pour montrer qu’une application est un C 1 difféomorphisme, on utilise la définition si
l’on sait expliciter f −1 , le théorème sinon.
2
1.5
Opérations sur les dérivées
Remarque On a déjà vu dans le cours ”espaces vectoriels normés” que l’on pouvait dériver une
somme de fonctions C 1 et que l’on pouvait dériver ”composante par composante”.
Théorème [dérivation d’une composée] Soit f : U → Rn une fonction C 1 , g : V → Rn C 1 tel que
f (U ) ⊂ V . La fonction φ = gof est C 1 sur U et :
n
∀a ∈ U, j ∈ {1, · · · , p},
X ∂g
∂fi
∂φ
(a) =
(f (a))
(a)
∂xj
∂y
∂x
i
j
i=1
où fk désigne la k-ème composante de f
Exemple Dériver t → f (t2 , t3 ). Dériver selon x, (x, y) → f (u(x, y), v(x, y)). Dériver selon r, θ,
f (r cos(θ), r sin(θ)).
Exemple Soit f R2 → R C 1 telle que f (y, x) = −f (x, y). Lien entre les dérivées partielles.
1.6
Dérivées d’ordre supérieures
Définition On dit que f est C 2 sur U si f est C 1 sur U ainsi que toutes ses dérivées partielles.
Définition Si f possède des dérivées partielles d’ordre 2, on note :
∂f
)
∂(( ∂x
∂f
j
=
∂xi ∂xj
∂xi
Remarquer qu’avec cette notation, on dérive d’abord selon xj puis selon xi
Théorème [Schwarz] Soit f : U → Rn une fonction C 2 , alors :
∀i, j ∈ {1, · · · , p}
∂2f
∂2f
=
∂xi xj
∂xj xi
Exemple Soit f :]0, +∞[×]0, +∞[ C 2 . On pose g(r, θ) = f (r cos(θ), r sin(θ)) sur ]0, +∞[×]0, π2 [.
Montrer que : ∀(r, θ) ∈]0, +∞[×]0, π2 [
(
∂2f
∂2f
∂2g
1 ∂g
1 ∂2g
+
)(r
cos(θ),
r
sin(θ))
=
(r,
θ)
+
(r,
θ)
+
(r, θ)
∂x2
∂y 2
∂r2
r ∂r
r2 ∂θ2
Exemple Montrer que f n’est pas C 2 sur R2
(
2
2
xy xx2 −y
2
+y
f (x, y) =
0
2
2.1
si (x, y) 6= (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)
Applications
Problème d’extremum
Définition Soit f : D ⊂ Rp → R. On dit que f possède un maximum en a si :
∀x ∈ D, f (x) ≤ f (a)
On dit que f possède un minimum en a si :
∀x ∈ D, f (x) ≥ f (a)
On dit que f possède un extremum en a si f possède un minimum ou un maximum en a. On
appelle minimum/maximum de f , la valeur de f (a) correspondante.
Définition Soit f : D ⊂ Rp → R, C 1 . On appelle gradient de f en a :
grad(f )(a) = (
∂f
∂f
(a), · · · ,
(a)) ∈ Rp
∂x1
∂xp
3
Proposition Soit U un ouvert de Rp , f : U → R une fonction C 1 . Si f possède un extremum en
a, alors
grad(f )(a) = 0
Preuve se ramener à des fonctions d’une variable.
Vocabulaire Un a tel que grad(f )(a) = 0 est appelé point critique de f
Exemple [Cas compact] Déterminer le maximum et le minimum de la fonction f sur [0, 1]2
f (x, y) =
x+y
(1 + x2 )(1 + y 2 )
Exemple [Cas non compact] Etudier le maximum et le minimum de la fonction f sur ]0, +∞[2
f (x, y) = xy +
2.2
1
1
+
x y
Equations aux dérivées partielles
Exemple A l’aide d’un changement de variable polaire, résoudre que ]0, +∞[×R
y
∂f
∂f
−x
=f
∂x
∂y
Exemple Résoudre sur R2 :
∂2f
∂2f
−
=0
∂x2
∂y 2
à l’aide du changement de variables : u = x + y,v = x − y
Exemple Soit f : R2 → R une fonction C 1 sur R2 telle que :
x
∂f
∂f
+y
=0
∂x
∂y
Montrer que :
Z
∀r > 0,
2π
f (r cos(t), r sin(t))dt = 2πf (0, 0)
0
4