Cours 3

Transcription

Cours 3

H
LA
B
D
E
BL
ID
A
Cours de Programmation Linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA
D
A
Cours 03 :
A
D
Interprétation géométrique de la
U
N
IV
ER
SI
TE
SA
programmation linéaire
Cours 03 : Interprétation géométrique de la Programmation Linéaire
27
On appelle " espace vectoriel V " un ensemble de vecteurs tel que la somme de
vecteurs quelconques de V et le produit d'un vecteur quelconque par un scalaire
appartiennent aussi à V ce qui s'exprime par :
∀ (x, x')∈ V2, ∀ (λ,λ')∈ 2 , λ.x + λ'.x' ∈ V.
On appelle " variété linéaire " V dans n un ensemble de vecteurs de n tel que
∀ (x, y)∈ V2, ∀λ∈ , λ.x + (1 -λ).y ∈ V.
Toute variété linéaire est de la forme V = x + M où M est un sous espace vectoriel de
ID
A
n.
Si x est un vecteur fixé, inversement x + M est une variété linéaire de n.
BL
Si x = On , V = M est un sous espace de n et dim V = dim M.
D
E
Exemple 1. Dans 3, tout demi-plan et toute droite ne passant pas par l'origine sont
des sous variétés linéaires. Tout demi-plan et toute demi-droite passant par l'origine
LA
B
sont des sous espaces de n.
H
Définition 1: On appelle ensemble convexe C un ensemble tels que
D
A
∀ (x1, x2)∈ C2, ∀λ, 0 ≤ λ ≤ 1, ∈ , λ.x1 + (1 -λ).x2 ∈ C
D
Propositions 1 :
A
1. Si C ⊆ n est convexe et β∈ alors l'ensemble β. C = { x / x = β.c, c ∈C}est
SA
convexe.
SI
TE
2. Si C et D sont convexes alors C + D = { x / x = c + d, c∈C et d∈D} est convexe.
3. L'intersection d'une collection d'ensembles convexes est convexe.
IV
ER
Définitions 2 : soit A ⊆ n un sous ensemble quelconque de n.
On appelle " enveloppe convexe " de A notée <A>, l'intersection de tous les
<A> = { λ.x, λ ∈, x ∈A }
U
N
ensembles convexes contenant A.
Définition 3 : On appelle " cône " C un ensemble de points tel que
∀ x∈ C, ∀λ, λ ≥ 0, λ.x ∈ C.
On appelle " cône convexe " C, un cône qui est un ensemble convexe.
28
Il se caractérise par le fait qu'il soit un ensemble qui s'il contient un point x, il contient
aussi le rayon (demi-droite issue de l'origine) passant par x.
Définitions 3 : Un hyperplan est une variété linéaire de dimension (n-1) (ou de
codimension égale à un)
A
Proposition 2 (Caractérisation d'un hyperplan) : Soit H un hyperplan dans n.
ID
Il existe un vecteur a ∈n et une constante c tel que H = { x ∈n / a . x = c }.
M est un sous espace vectoriel (s.e.v) de H et dim M = dim H ( à montrer!).
E
Soit a = (a1, a2, .., an) un vecteur orthogonal à M ⇔ ∀ x∈ M, a. x = 0.
BL
Preuve : Soit x1∈ H, posons M = H - x1.
D
Alors a. x1 = c car x1∈ H.
H ⊆ { x / a . x = c }.
LA
a. (x - x1) = 0 ⇔ a . x = a . x1= c. ⇔ a . x = c ⇔
B
∀ x∈ H, x - x1 ∈ M car M = H - x1.
H
H est de dimension (n-1) et contenu dans l'espace { x / a . x = c }alors forcément
A
H = { x / a . x = c }. ( à la seule condition de montrer que {x / a . x = c } est de
D
dimension (n-1)!!!). En effet, la résolution de l'équation
A
a
a
c a2
λ1- 3 λ2-…- n λn-1, si on fixe x2 = λ1, x3 = λ2, …, xn = λn-1.
a1 a1
a1
a1
SI
TE
D'où H = { x / a . x = c }.
SA
x1 =
D
a . x = a . x1 + a . x2 + …+ a . xn = c admet comme solution
Définitions 5 : Soient a = ( a1, …, an) un vecteur de n et c∈.
On appelle :
demi espace positif fermé l'ensemble H+ = { x / a.x ≥ c}
-
demi espace négatif fermé l'ensemble H- = { x / a.x ≤ c}
-
IV
ER
-
-
demi espace positif ouvert l'ensemble H 0+ = { x / a.x > c}
U
N
demi espace négatif ouvert l'ensemble H 0− = { x / a.x < c}
H+ ∪ H - = n
Tout hyperplan et tout demi espace sont convexes.
29
Définition 6 : On appelle polytôpe (ou tronçon) l'intersection d'un nombre fini de
demi espaces fermés de n.
Un polytôpe est un ensemble convexe fermé.
On appelle " polyèdre " un polytôpe convexe borné (non vide). C'est un ensemble
compact.
On définit un produit scalaire, une forme bilinéaire définie positive par :
n
a. x = <a, x> = ∑ a i x i
(1)
x ∈C
Preuve : Soit f(x) = | x - y | et supposons que C soit borné (un compact).
D
E
F est continue sur C, atteint son minimum δ > 0 en un point x0∈ C.
BL
I
alors il existe un vecteur a ∈n tel que <a, y> < inf < a , x >
D
Théorème 1 : Soient C un ensemble convexe fermé et y un point extérieur à C (y∉C)
D'où, min x − y = x 0 − y = δ . Soit a = x0 - y et montrons que " a " satisfait (1).
B
x∈C
LA
Soit x∈ C et 0 ≤ α ≤ 1, on a z = α x + ( 1 - α ) x0 ∈ C d'où z = x0 + α ( x - x0 )∈ C.
| x0 + α ( x - x0 ) - y | 2 ≥ | x0 - y | 2
H
Calculons | z- y | ≥ | x0 - y | ⇔
A
⇔ < x0 - y + α ( x - x0 ), x0 - y + α ( x - x0 ) ≥ < x0 - y, x0 - y >
D
⇔ α2 < x - x0, x - x0 > + 2 α < x0 - y, x - x0 > ≥ 0.
D
< x0 - y, x - x0 > ≥ 0 ⇔ < x0 - y, x > ≥ < x0 - y, x0 >
A
< x0 - y, x0 > = < x0 - y, x0 - y + y > = < x0 - y, y > +< x0 - y, x0 - y>
SA
< x0 - y, x > ≥ < x0 - y, y > + < x0 - y, x0 - y>
inf < a , x > > <a, y>.
TE
x ∈C
2. Soit C non borné. Considérons { f(x) = | x - y |, x∈ C } borné inférieurement par 0.
SI
Soit Inf x − y = x 0 − y = δ et δ > 0 .
ER
x∈C
Si δ 0 alors x0 - y = 0 ⇔ x0 = y. Ce qui est impossible car y∉C.
IV
Considérons une boule de centre y et de rayon 2δ.
N
B = { z / | x - y | ≤ 2δ2 } et l'ensemble C' = B ∩ C.
U
C' est convexe fermé et borné et y∉C.
D'après le cas 1, on a
inf < a , x > > <a, y>, C' ⊂ C.
x ∈C'
Si x∈ C - C' et x0∈ C' on a : x 0 − y = δ
A
i =1
30
| x0 + α ( x - x0 ) - y | 2 > | x0 - y | 2
inf
x ∈C − C'
< a , x > > <a, y>
Ce théorème signifie que tout ensemble C convexe fermé et un point y∉C, il existe un
hyperplan passant par y et tel que C soit contenu dans l'un des demi espaces ouvert
qu'il définit.
Remarque 1 : On appelle projection d'un point y sur un ensemble C convexe fermé
A
un point x0 tel que x0 - y = inf x − y = δ.
BL
I
Théorème 2 : " C " un ensemble convexe fermé et y un point frontière de C alors il
D
x ∈C
existe un hyperplan passant par y et tel que C soit contenu dans l'un des demi espaces
D
E
fermés qu'il définit.
B
Définition 7 : Un hyperplan H passant par un point frontière de " C " convexe fermé
LA
et contenant C dans l'un des demi espaces fermés est appelé hyperplan de support ou
d'appui.
H
S'il existe en y un hyperplan tangent alors il coïncide avec l'hyperplan d'appui et dans
A
D
D
A
ce cas, l'hyperplan d'appui est unique!
y
H1
C
SA
On a représenté le cas où il n'existe pas de tangente bien que les droites passent par ce
TE
point.
Définition 8 : Soit " C " un ensemble convexe fermé. On appelle extrême x (point
ER
SI
extrême, point angulaire) tout point x de C s'il n'existe pas deux points distincts de C,
x1 et x2 tels que x = α x1 + ( 1 - α) x2 ; 0 < α < 1.
Géométriquement, x est un sommet s'il ne peut être trouvé à l'intérieur d'un segment
IV
reliant deux points distincts x1 et x2 dans C.
U
N
x2
x
x1
x3
Dans la figure ci dessus " x " n'est pas un sommet. Par contre, x1, x2 et x3 le sont.
31
Théorème 3 : La fonction objectif du problème de la programmation linéaire définie
sur le polyèdre K atteint son minimum(resp. son maximum) en un point extrême de
K.
D
A
(1)
(2)
(3)
BL
I
 min z = cx

Preuve : soit un PL sous forme standard (P)  Ax = d
 x≥0

Soient x1 , …, x p les points extrêmes de K et x0 une solution optimale de (1)-(3).
p
i =1
i =1
D
p
i =1
i =1
LA
p
B
Alors x0 = ∑ λ i x i et où ∑ λ i = 1, avec λ i ≥ 0
p
E
Supposons le contraire, que x0 n'est pas un point extrême de K .
Z(x0)= Z( ∑ λ i x i ) = ∑ λ i Z( x i )
H
(4)
A
Déterminons la valeur minimale que prend la fonction objectif Z aux points extrêmes,
D
min Z( x i ) = Z( x r ) .
D
i∈{1,..., p}
A
Remplaçons dans (4) chaque Z( x i ) par Z( x r ).
p
i =1
i =1
SA
p
p
D'où Z(x0)= Z( ∑ λ i x i ) = ∑ λ i Z( x i ) ≥ Z( x r ) ∑ λ i ≥ Z( x r )
i =1
TE
Ou Z( x r )≤ Z(x0). Ce qui implique que x0 n'est pas une solution optimale.
ER
SI
D'où x0 est un sommet de K .
IV
Théorème 4 : si la fonction objectif prend sa valeur minimale (ou maximale) en aux
plus d'un point extrême alors toutes combinaison linéaire convexe de ces points donne
U
N
la même valeur à la fonction objectif.
Preuve: Soient x1 , …, x p les points extrêmes de K et Z( x1 ) = …= Z( x p ) = α, la
p
p
i =1
i =1
valeur minimale (resp. maximale). Soit x = ∑ λ i x i et où ∑ λ i = 1, avec λ i ≥ 0
p
p
i =1
i =1
Z( x )= Z( ∑ λ i x i ) = α ∑ λ i = α = Z( x i )
32
Remarque 2: Les problèmes de la programmation linéaire sous forme canonique
peuvent être résolus graphiquement pour n = 2 ou n = 3.
Théorème 5 : x est un point extrême si et seulement si il est une solution de base
réalisable.
Preuve :
⇐ Soit x = ( x1 , …, x m , 0, 0, …, 0) une solution de base réalisable. Montrons que
x est un point extrême. Raisonnons par absurde.
y et z sont nulles.
E
y = (y1, y2, …, ym, 0, …, 0); et z = y = (z1, z2, …, zm, 0, …, 0)
LA
(ai)i = 1,…,m sont L.I forment une base.
A
H
Il en découlera y1- z1 = y2 - z2 = …. = ym- zm = 0
B
y1.a1+ y2.a2 + …+ ym.am = b, et z1.a1+ z2.a2 + …+ zm.am = b
D
Du fait que y et z sont des solutions réalisables alors
D'où (y1- z1) a1+ ( y2 - z2) a2 + …+ (ym- zm) am = 0
D
BL
I
0 ≤ α ≤ 1. Du fait que x ≥ 0 et 0 ≤ α ≤ 1, les " n - m " dernières composantes de
A
Supposons qu'il existent y et z deux sommets de K tel que : x = α y + ( 1 - α) z ;
D
y1 = z1 ; y2 = z2 ; …. ; ym = zm. et donc x = y = z .
A
D
⇒ soit x est un point extrême, montrons qu'il est une solution de base réalisable
de K . x = (x1, …, xm, 0, …, 0) est une solution de K .
SA
m
x = ∑ x i a i = b . Si a1, a2, …, am sont L.I alors x est de base.
i =1
m
TE
Si a1, a2, …, am sont linéairements dépendants, alors ils existent des scalaires yi non
ER
SI
tous nuls tel que ∑ y i a i = 0
i =1
m
m
i =1
i =1
Pour ε > 0, ∑ x i a i + ε ∑ y i a i = b
IV
m
(1) . Mais ∑ x i a i = b
i =1
m
m
i =1
i =1
(2)
et ∑ x i a i − ε ∑ y i a i = b
N
Nous avons trouvé deux solutions (pas nécessairement réalisables)
U
y = (x1+ ε y1, …, xm + ε ym, 0, …, 0) et z = (x1- ε y1, …, xm- ε ym, 0, …, 0)
Comme xi > 0, on peut choisir ε tel que y et z soient des solutions réalisables. Mais
x = 1/2 y + 1/2 z . Absurde car x ne sera pas un sommet.
33
Corollaire 1 : si le polyèdre de réalisabilité K est non vide, alors il contient au
moins une solution réalisable à partir de laquelle on peut construire une solution de
base réalisable et donc il contient au moins un point extrême.
Remarques 2:
a. Un point extrême peut correspondre a plusieurs solutions de bases réalisables
dégénérées.
b. Les problèmes de la programmation linéaire sous forme canonique peuvent être
BL
ID
polyèdre K , les solutions de base réalisable qui sont en nombre fini. Le minimum ou
le maximum est atteint en un sommet de K .
E
Exemple 2 : soit à résoudre Max Z = 3 x1 + 2 x2
D
- 2 x 1 + x2 ≤ 1
≤2
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0.
LA
B
x1 + x2 ≤ 3
x1
D
A
H
Représentons dans le plan l'ensemble des solutions de ce système (l'intersection de
tous les demi espaces définis par ces équations).
A
D
Considérons la famille d'hyperplan (de droites) 3 x1 + 2 x2 = α.
SA
(3)
ER
SI
TE
B1
(1)
A
résolus graphiquement pour n = 2 ou n = 3. Il suffit de déterminer tous les sommets du
A
B2
(2)
IV
Lorsqu'on la déplace dans le sens du vecteur c = (3, 2), la valeur de la fonction
N
objective croit. La valeur maximale Z de Z sera atteinte si l'hyperplan (la droite)
U
3 x1 + 2 x2 = Z est un hyperplan d'appui (droit).
Z atteint son maximum au point A (2, 1) et Max Z = 8.
34
Ayant une solution sous la forme canonique, on peut avoir une solution maximale du
problème sous forme standard. En effet le problème s'écrit:
Max Z = 3 x1 + 2 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5
- 2 x 1 + x2 + x3
x1 + x2 +
= 1
x4
x1 +
= 3
x5 = 2
x1 ≥ 0, .., x5 ≥ 0.
D'où x 3 = 1 + 2 x1 - x 2 = 4, x 4 = 3 - x1 - x 2 = 0, x 5 = 2 - x1 = 0.
A
D'où x = (2, 1, 4, 0, 0) est une solution de base réalisable non dégénérée.
BL
ID
Exemple 3 : soit à résoudre Max Z = 3 x1 + 2 x2
x1 - x2 ≤ 1
≤2
x1
E
x1 + x 2 ≤ 3
D
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0.
LA
B
C'est l'exemple 2 où on a permuté les inéquations 2 et 3.
(3)
SA
(1)
A
A
D
D
A
H
(2)
ER
SI
TE
 x1 − x 2 = 1

Le système  x1 = 2
est redondant.
x + x = 3
2
 1
N
IV
x − x 2 = 1
Au moins un sous système de deux équations est régulier.  1
.
 x1 = 2
U
La solution x = (2, 1) est l'intersection de trois hyperplans.
35
Sous forme standard le problème est :
Max Z = 3 x1 + 2 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5
x1 - x2 + x3
= 1
+ x4
x1
x1 + x2
= 3
+ x5 = 2
x1 ≥ 0,
x5 ≥ 0.
..,
Le rang de ce système est trois.
D'où x 3 = 1 - x1 + x 2 = 0; x 4 = 2 - x1 = 0, x 5 = 3 - x1 - x 2 = 0.
A
D'où x = (2, 1, , 0, 0) est une solution de base réalisable optimale dégénérée.
ID
x B = ( x1 , x 2 , x 3 ) = (2, 1, 0) est une autre solution de base réalisable.
BL
x B = ( x1 , x 2 , x 4 ) = (2, 1, 0).
E
x B = ( x1 , x 2 , x 5 ) = (2, 1, 0).
D
Remarque 3 : Un point extrême peut correspondre à plusieurs solutions de base
LA
B
réalisables dégénérée si ce point représente l'intersection de plus de " n " hyperplans.
H
Exemple 4 : Soit à résoudre Max Z = 2 x1 + 2 x2
(1)
≤2
(2)
D
x1
A
- 2 x 1 + x2 ≤ 1
x1 + x2 ≤ 3
D
(3)
SA
A
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0.
Associons à ces inéquations (1), (2) et (3), les droites qu'on numérotera de la même
façon: - 2 x1 + x2 = 1 (1) ; x1 = 2 (2) et x1 + x2 = 3 (3).
SI
TE
Les droites 2 x1 + 2 x2 = z ; x1 + x2 = 3 sont parallèles.
ER
La droite x1 + x2 = 3 est un hyperplan d'appui.
(2)
IV
A
B
N
U
C
(1)
(3)
36
Le point d'intersection de la droite (1) et la droite (3) est le point A = (2/3, 7/3)
Le point d'intersection de la droite (2) et (3) nous fournisse B = (2, 1).
Z(A) = Z(B) = 6.
Chaque point C = α A + (1 -α )B, 0 ≤ α ≤1, point du segment AB est une solution
optimale mais non de base.
Exemple 5 : Soit à résoudre Max Z = 3 x1 + 2 x2
x1 - x2 ≤ 1
(1)
x1 + x2 ≤ 3
(2)
BL
I
D
A
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0.
(1)
A
D
D
C'est un problème non borné et maxZ = + ∞.
(2)
A
Ce problème n'a pas de solutions optimale finie.
H
LA
B
D
E
K
Exemple 6 : soit à résoudre le problème à cinq variables. Il est résoluble
Max Z = x1 - x2
SA
géométriquement.
ER
SI
TE
4 x1 - 3 x2 - x3 + x4 + x5 = 6
x1 + 4 x2 + x3
2 x1 - 4 x2 - x3 + x4
x1 ≥ 0,
...,
+ x5 = 15
= 3
x5 ≥ 0.
Echelonnons à la forme diagonale par rapport aux variables x3, x4 et x5.
N
IV
En notant L1, L2 et L3 les lignes 1, 2 et 3 de la matrice augmentée suivante de départ
U
 4 - 3 -1 1 1 6 


 1 4 1 0 1 15  . Utilisons les opérations élémentaires sur les lignes et notons
 2 - 4 -1 1 0 3 


37
L'1 = L1 + (-1) L3 la nouvelle première ligne; L'2 = L2 la seconde nouvelle ligne
D
BL
I
 2 -1 0 0 1 3 


nouvelle matrice  1 4 1 0 1 15  . Refaisons de nouvelles opérations
 2 - 4 -1 1 0 3 


A
inchangée et L'3 = L3 la troisième nouvelle ligne qui reste inchangée. On obtient la
D
B
LA
 2 -1 0 0 1 3 


 1 - 5 - 1 0 0 - 12  . Refaisons de nouvelles opérations
 2 - 4 -1 1 0 3 


E
L"1 = L'1 ; L"2 = L'1 - L'2 et L"3 = L'3. On obtiendra la matrice augmentée suivante:
H
L"'1 = L''1 ; L"'2 = L"2 et L"'3 = L"2 - L"3. On obtiendra la matrice augmentée
D
D
A
 2 -1 0 0 1 3 


suivante:  1 - 5 - 1 0 0 - 12  .
 - 1 - 1 0 - 1 0 - 15 


x2
+ x5 = 3
SA
2 x1 -
A
Cette dernière matrice nous fournisse le système suivant :
x1 - 5 x 2 - x 3
TE
- x1 -
x2
= -12
- x4
= -15
U
N
IV
ER
SI
qui est équivalent à : Max Z = x1 - x2
2 x1 -
x2
x1 - 5 x2
- x1 -
≤ 3
≥ -12
x2
≥ -15
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
On sait déterminer géométriquement une solution et après on résout le système sous
forme standard.
Exercice 7 : résoudre géométriquement et montrer que le point A = (1, 5) est une
solution de base optimale et Z(A) = -3.
Min Z = 2 x1 - x2
x1 - 2 x2 ≤ 4
- 4 x 1 + x2 ≤ 1
- 2 x 1 + x2 ≤ 3
x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0.
38
Définition 9 : On appelle " simplexe " un polyèdre convexe à (n+1) sommets dans
l'espace à n dimensions (exemple de n), les (n+1) sommets n'étant pas dans la même
variété linéaire à dimension (n-1).
Exemple 8 :
U
N
IV
ER
SI
TE
SA
A
D
D
A
H
LA
B
D
E
BL
I
D
A
H = { x = (x1, x2, x3)∈ 3 / x1 + x2 + x3 ≤ 1, x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 }est un simplexe.
39
U
N
IV
ER
SI
TE
SA
A
D
D
A
H
LA
B
D
E
BL
I
D
A
40

Cours 3

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