+∞[ par g(x

Exercice 1
1. Question de cours Voir cours
2.
a. En notant f la fonction inverse et g la fonction définie sur ]0; +∞[ par g(x) =
on a pour tout réel x strictement positif :
1
x sin
= g ◦ f (x).
x
lim f (x) = 0
et
lim g(x) = 1
x→+∞
x→0
1
donc par composition
lim x sin
= 1.
x→+∞
x
sin(x)
,
x
b. Notons que :
3x − sin(πx)
sin(πx)
sin(πx)
=3−
=3−π×
.
x
x
πx
lim πx = 0
et
lim g(x) = 1
x→0
donc par composition
Finalement
x→0
sin(πx)
lim
= 1.
x→0
πx
3x − sin(πx)
= 3 − π × 1 = 3 − π.
x→0
x
lim
Exercice 2
1. Soit x ∈ R∗+ .
En prenant A1 =
√
1
1
1
√ < α ⇐⇒ x > ⇐⇒ x > 2 .
α
α
x
1
, on a la propriété demandée.
α2
2. Soit x ∈ R∗+ .
1
1
1
1
< α ⇐⇒ 3x + 1 > ⇐⇒ x >
− .
3x + 1
α
3α 3
1
1
En prenant A2 =
− , on a la propriété demandée.
3α 3
3. a. Soit A le plus grand des deux réels A1 et A2 .
Pour tout x > A, on a :
1
1
√ < α ⇐⇒ − √ > −α et
x
x
On a donc :
1
< α.
3x + 1
1
1
−α < − √ ≤ f (x) ≤
< α.
3x + 1
x
Finalement on a prouvé que pour A = max A1 , A2 :
pour tout réel x strictement positif supérieur à A, on a f (x) ∈] − α; α[.
éléments de correction DS1 - TS - E.B.
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b. On vient de prouver que quel que soit α > 0, il existe A tel que pour tout x > 0 : si
x > A alors f (x) ∈] − α; α[.
C’est la définition de : lim f (x) = 0.
x→+∞
Exercice 3
1.
a. On obtient le tableau suivant :
n
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u(n) -1 2 2,7500 2,9375 2,9844 2,9961 2,9990 2,9998 2,9999 3,0000 3,0000
b. Il semble que cette suite soit croissante et convergente de limite 3.
2. Si (un ) converge vers le réel k, alors (un+1 ) converge aussi vers k.
D’autre part, si (un ) converge vers k, alors par opérations sur les limites,
converge vers
un + 9
4
k+9
.
4
9
1
Donc k vérifie nécessairement l’équation x = x + .
4
4
Cette équation ayant pour unique solution 3, la seule valeur possible pour k est 3.
3. a. Soit n ∈ N.
wn+1 = 3 − un+1
un + 9
=3−
4
12 − un − 9
=
4
3 − un
=
4
1
= × wn
4
La suite (wn ) est donc géométrique de raison 1/4.
b. Comme w0 = 3 − (−1) = 4, on a pour tout n ∈ N :
n−1
n
1
1
1
1
wn =
×4=
= n−1 et donc un = 3 − wn = 3 − n−1 .
4
4
4
4
4.
a. On a :
Sn = u2 + · · · + un+1
1
1
= 3 − + ··· + 3 − n
4
4
(1/4) − (1/4)n+1
= 3n −
1 − 1/4
1/4 (1/4)n+1
= 3n −
+
3/4
3/4
1
4
= 3n − +
3 3 × 4n+1
1
1
= 3n − +
.
3 3 × 4n
éléments de correction DS1 - TS - E.B.
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b. En écrivant :
Sn
1
1
=3−
+
n
3n 3 × 4n × n
Sn
est convergente de limite 3.
il vient par opérations sur les limites :
n
Remarque : on retrouve la limite de (un ) et ce n’est pas un hasard. Ce résultat est
connu sous le nom de « lemme de Cesaro ».
Exercice 4
1. x ∈ Df ⇐⇒ f (x) existe. Cela revient à dire que x n’est pas racine du trinôme du second
degré x2 + x − 2. Son discriminant ∆ = 12 − 4 × 1 × (−2) = 9 est strictement positif, on a donc
deux racines :
√
√
−1 − 9
−1 + 9
x1 =
= −2 et x2 =
= 1.
2×1
2×1
Donc Df =] − ∞; −2[∪] − 2; 1[∪]1; +∞[.
2. Pour tout x ∈ Df :
f (x) = x + a +
bx + c
x3 + 2x2 + 3x
x3 + (1 + a)x2 + (a + b − 2)x + c − 2a
⇐⇒
=
x2 + x − 2
x2 + x − 2
x2 + x − 2
⇐⇒ x3 + 2x2 + 3x = x3 + (1 + a)x2 + (a + b − 2)x + c − 2a
Par identification des coefficients de deux polynômes égaux sur une infinité de valeurs :


 1+a=2
 a=1
a + b − 2 = 3 ⇐⇒
b=4


c − 2a = 0
c=2
Finalement, pour tout x ∈ Df :
4x + 2
4x + 2
=x+1+
.
+x−2
(x + 2)(x − 1)
f (x) = x + 1 +
x2
3.
• Limite en −∞ : En utilisant la propriété « la limite en l’infini d’une fonction rationnelle
est égale à la limite du quotient des termes de plus haut degré »on a :
lim
4x + 2
4x
4
= lim 2 = lim
=0
x→−∞ x
+ x − 2 x→−∞ x
x→−∞ x2
Puisque lim x + 1 = −∞, on a, par somme :
x→−∞
lim f (x) = −∞.
x→−∞
• Limite en +∞ : on montre de la même façon :
lim f (x) = +∞.
x→+∞
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• Limites en −2 :


lim x + 2 = 0
x7→−2
x<−2
1
= −∞
x7→−2 x + 2
x<−2
par inversion, lim
si x < −2 alors x + 2 < 0 
4 × (−2) + 2
4x + 2
4x + 2
=
= 6 donc par produit, lim
= −∞
x7→−2 (x + 2)(x − 1)
x→−2 x − 1
−2 + 1
x<−2
lim
comme de plus lim x + 1 = −2 + 1 = −1 par somme lim f (x) = −∞.
x→−2
x7→−2
x<−2
On montre de même que
lim f (x) = +∞.
x7→−2
x>−2
On en déduit que C admet la droite d’équation x = −2 pour asymptote verticale.
• Limites en 1 : avec le même soin que pour −2, on montre :
lim f (x) = −∞ et lim f (x) = +∞.
x7→1
x7→1
x<1
x>1
On en déduit que C admet la droite d’équation x = 1 pour asymptote verticale.
4x + 2
= 0 et lim f (x) − (x + 1) = 0 , la
4. Puisque lim f (x) − (x + 1) = lim 2
x→−∞
x→+∞
x→+∞ x + x − 2
droite d d’équation y = x + 1 est asymptote à la courbe C.
5. Déterminer la position de C par rapport à d revient à étudier le signe de f (x) − (x + 1) =
4x + 2
. On a déjà déterminer les racines du numérateur, or on sait qu’un trinôme du second
x2 + x − 2
degré est du signe du coefficient de x2 à l’extérieur des racines. On peu donc construire le tableau
de signes suivant :
x
−∞
−2
−1/2
4x + 2
−
−
x2 + x − 2
+
0
−
f (x) − (x + 1)
−
k
+
0
0
1
+
+∞
+
−
0
−
k +
+
On en conclut :
• C est au dessus de d pour les abscisses appartenant à ] − 2; −1/2[∪]1; +∞[,
• C est en dessous de d pour les abscisses appartenant à ] − ∞; −2[∪] − 1/2; 1[,
• le point commun de C et d est de coordonnées (−1/2; −1/2 + 1) soit (−1/2; 1/2).
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