I Poser une addition de nombres décimaux : II Poser la soustraction

L11 : Opérations et problèmes.
I Poser une addition de nombres décimaux :
 On aligne les virgules sous les virgules, les unités sous les unités….etc
 On met les retenues à droite.
 On procède unité par unité de droite à gauche.
18,2 + 29 + 456,234
1
c d
u,
2
1
1
1
10 100 1000
8,
9,
6,
3,
2
0
2
4
1
2
4 5
5 0
+
+
0
0
3
3
0
0
4
4
Termes
Somme = résultat de l’addition
II Poser la soustraction de deux nombres décimaux :
d
-
u,
1
1
10 100
1 8, 14 10
41, 81 2
1 3, 5 8
Le grand terme
Le petit terme
Différence = résultat de la soustraction
 On aligne les virgules sous les virgules, les unités sous les unités….etc
 On procède de droite à gauche, le HAUT moins le bas.
 « Ne pas oublier les zéros. »
 On met les retenues à gauche sur le grand terme et on la descend sur la droite du
chiffre suivant du petit terme.
III Poser la multiplication de deux nombres décimaux :
7
8,
2 8
+ 5 7 0
5 9 8,
1,
4
5
4
9
Multiplicande
Multiplicateur
3
2
.
2
713 4
713 80
71,3
8,4 = 713
Produit
= (713
0,1
84
0,1
4 + 713
80)
= (2 852 + 57 040)
= 59 892
0,1
0,1
0,01
0,01
= 598,92
 Produit = résultat d’une multiplication
 Inutile d’aligner les virgules et de rajouter des zéros au multiplicande et au
multiplicateur.
 Ne pas oublier les décalages quand on passe au calcul intermédiaire suivant.
 Ajouter le nombre de chiffres après la virgule dans le multiplicande et le
multiplicateur pour ensuite positionner la virgule dans le produit.
Somme des
chiffres du
résultat
Preuve par 9 :
Cette preuve n’en est pas une.
5+9+8+9+2=33
Cela signifie juste que si la somme des
3+3=6
7+1+3 = 11
1+1 = 2
8+4 = 12
Ok !
1+2 = 3
chiffres du résultat n’est pas égale à la
somme des chiffres du produit des sommes
des chiffres du multiplicande et du
Somme des
chiffres du
multiplicande
.
2 3=6
Somme des
chiffres du
multiplicateur.
multiplicateur alors la multiplication est
fausse.
Mais s’il y a égalité cela ne veut pas dire que c’est juste !
Exemple : Si on avait trouvé 71,3
8,4 = 508,92
5+0+8+9+2=33
3+3=6
7+1+3 = 11
1+1 = 2
8+4 = 12
Ok !
2 3=6
1+2 = 3
Pourtant
71,3
8,4
508,92
IV Poser une division Euclidienne (division de deux nombres entiers)
A) Poser une division Euclidienne
Une division Euclidienne est une division pour laquelle le dividende, le diviseur, le
reste et le quotient sont des nombres entiers.
Dividende
Diviseur
Quotient
Reste
um c d
u2 7 1
-
2 6
1
1
- 1
u
8
1 3
c
1
0
1 8
1 7
1
d
 On écrit la table du diviseur de 0 à 9.
u
2 0 9
0×13=0
1×13=13
2×13=26
3×13=39
4×13=52
5×13=65
6×13=78
7×13=91
8×13=104
9×13=117
 On procède des grandes unités de gauche
aux petites unités, à droite.
 Ici on commence par chercher dans 27
centaines, combien de fois rentre 13 ce qui
donne 2 centaines et il reste 1 centaine (car 27 – 2
 On écrit les soustractions intermédiaires.
B) Vérifier une division Euclidienne (Preuve)
Pour qu’une division Euclidienne soit juste il est absolument nécessaire que deux
conditions soient réalisées :
1)
?
diviseur × quotient + reste = dividende
2)
?
Reste < diviseur
Exemples :
5009 23
(…) 216
41
Cette division est fausse car 41 > 23
2 718 13
(…) 209
1
Cette division est juste car 13 × 209 + 1 = 2 718 et 1 < 13
2917
19
(…) 152
10
Cette division est fausse car 152 19+10 = 2 898 ≠ 2917
13=1)
V Résoudre un problème
Pour résoudre un problème :
1.
On lit attentivement tout le problème.
2.
On repère bien la ou les questions.
3.
On repère les indices qui sont utiles pour la question (on barre les informations qui ne servent
pas).
4.
On repère les mots clefs qui nous renseignent sur les opérations à effectuer :
 « et »
(+ ou -),…
 « le », « les », « à »
 « partage »
(×), double, triple…
(÷), …
5.
On effectue la ou les opérations nécessaires.
6.
On répond avec une phrase après chaque calcul.
VI Ce que l’on a appris à faire :
Exercices – cours L11
Savoir poser les quatre opérations.
Chapitre I, II, III et IV. Ex 1 à 4
Labomep L11_Op, L4_Pb
et L11 Tables
L11_Op
Vérifier les multiplications et divisions Ex 4 preuve
Connaître ses tables
Rechercher, extraire, organiser des
informations
Résoudre un problème
Problème 1, 2 et 3 + Ex 10, 11 et 13
L2 Tables
L11_Pb : Ex 1,2 et 3
Problème 1, 2 et 3+Ex 10, 11 et 13
L11_Pb : Ex 4
Evaluation
Vous Prof
12 Julie dit à la boulangère qu’aujourd’hui elle a 13 ans. Celle-ci lui répond « La somme des âges
de mes 3 enfants est égal à ton âge Julie ! et le produit de l’âge de mes enfants est égal à 36,
connais-tu l’âge de mes enfants ? ».
Julie réfléchie puis lui dit qu’il lui manque un renseignement pour lui répondre.
La boulangère dit alors « Effectivement, mon ainée est blonde ! ».
Et là Julie lui répond qu’elle a trouvé.
Quel est l’âge des enfants de la boulangère ?
« le produit de l’âge de mes enfants est égal à 36 », voyons toutes les possibilités :
1
1
36, non car 1 + 1 + 36 ≠ 13 (« La somme des âges des 3 enfants est égal à l’âge de Julie »)
1
2
18, non car 1 + 2 + 18 ≠ 13
2
2
9, peut aller car 2 + 2 + 9 = 13
1
3
12, non car 1 + 3 + 12 ≠ 13
2
3
6, non 2 + 3 + 6 ≠ 13
1
4
9, non car 1 + 4 + 9 ≠ 13
3
3
4 , non 3 + 3 + 4 ≠ 13
1
6
6, peut aller car 1 + 6 + 6 = 13
Comme on a une ainée c’est qu’elle n’a pas de
jumeau donc la seule solution possible est des jumeaux qui ont 2 ans et une grande sœur qui a 9ans
Problème 1 :
Le père de Rachid collectionne les timbres. Il en a 8 742. Dans une brocante il a trouvé 3 timbres très rares.
Le premier est un vieux timbre chilien qui coûte 451€.
Le second est un timbre du Mali tiré à 8 exemplaires qui coûte 900€.
Le troisième vient d’Italie. Il vaut la somme de 1 920€.
Combien doit-il dépenser pour acheter les 3 timbres ?
Le vendeur refuse les chèques et ne veut que de l’argent liquide (billets et pièces). Mais le père de Rachid
n’a que 420€ sur lui.
Combien doit-il aller retirer à la banque ?
2
4 5 1
+
9 0 0
+ 1 9 2 0
3 2 7 1
Pour acheter les 3 timbres il devra dépenser 3 271€.
-
3 12 7 1
01 4 2 0
2 8 5 1
Il devra retirer 2 851€ à la banque.
Problème 2 :
Karima achète 4 sachets de chocolats de 275 g, à 20,50 € le kg.
Fleur achète 3 boîtes de chocolats de 350 g, à 22 € le kg.
a. Quelle est celle qui en a acheté le plus ?
b. Quelle est celle qui a dépensé le plus ?
a) 4 × 275 = 1 100 g
Karima a acheté 1 100g de chocolats.
3 × 350 = 1 050 g
Fleur a acheté 1 050g de chocolats.
Donc celle qui en a acheté le plus est Karima.
b) 1 100 g = 1,1 kg
1 kg
20,50 €
2 kg
2×20,50 €
1,1 kg
2 0,
1,
2 0
2 0 5
2 2, 5
5
1
5
.
5
205 1
205 10
1,1× 20,5€ = 22,55€
Karima a dépensé pour 22,55 € de chocolats.
1 050 g = 1,05 kg
1,05
22 = 23,10€
Fleur a dépensé pour 23,10€ de chocolats.
Donc c’est Fleur qui a le plus dépensé.
1, 0
2
2 1
2 1 0
2 3, 1
5
2
0
.
0
105 2
105 20
Problème 3 :
1. Le nouveau forfait mensuel d’un opérateur téléphonique mobile est le suivant :
- 9 € par mois d’abonnement
- 15 € par heure de communications.
a. Combien paierait quelqu’un qui téléphonerait 3 heures dans le mois ?
9+3
15 = 9 + 45 = 54 €. La personne paierait 54€.
b. Combien paierait quelqu’un qui téléphonerait 11 heures dans le mois ?
9 + 11
15 = 9 + 165 = 174 €. La personne paierait 174€.
c. Un client a reçu une facture de 39 €. Combien de minutes a-t-il téléphoné ce mois-ci ?
39 – 9 = 30 €
Le client a donc payé 30 € de communications.
30 ÷ 15 = 2
Le client a donc téléphoné 2h = 120 min ce mois-ci.
d. Une cliente a reçu une facture de 84 €. Combien de temps a-t-elle téléphoné ce mois-ci ?
84 – 9 = 75 €
La cliente a donc payé 75 € de communications.
75 ÷ 15 = 5
La cliente a donc téléphoné 5h ce mois-ci.
2. L’opérateur propose de ne faire payer que 12 € l’heure de communication vers les « 3 numéros préférés ».
a. Une cliente a téléphoné 5 heures ce mois-ci, dont 2 vers ses « 3 numéros préférés ».
Quel est le montant de sa facture ?
9+3
15 + 2
12 = 9 + 45 + 24 = 78 €. La cliente a payé 78 €.
b. Un client a reçu une facture de 93 €. Sachant qu’il a téléphoné 2 heures vers ses « 3 numéros préférés »,
combien de temps a-t-il téléphoné ce mois-ci ?
93 – 9 = 84 €
84 – 2
Le client a payé 84 € de communications.
12 = 60 €
60 ÷ 15 = 4
Le client a payé 60€ de communications hors « 3 numéros préférés »
Le client a donc téléphoné 4h hors « 3 numéros préférés »
ce qui donne en tout 4h + 2h = 6h ce mois-ci.
EXERCICE 1 : Poser puis effectuer les calculs suivants et vérifier vos résultats à la calculette :
a.
4,009 – 0,87
b.
123,45 – 678,9
c.
91 375 – 3,4862
d.
941,054 – 123,99
Le premier terme est
inférieur au second terme :
la soustraction est
IMPOSSIBLE !
4 , 10 10 9
– 01, 81 7 0
3, 1 3 9
9 1 3 7 5, 10 10 10 10
–
31, 41 81 61 2
9 1 3 7 1, 5 1 3 8
9 4 11 , 10 15 4
– 1 21 31, 91 9 0
8 1 7, 0 6 4
On rajoute des 0 à droite des parties
décimales pour avoir autant de chiffres
EXERCICE 2 : Placer correctement la virgule dans le résultat de chaque multiplication :
a.
b.
c.
d.
7 5 3,1 5
4 8,3
(…)
4 7 1 5 9,1
1,0 8
(…)
54026
0,2 4 7
(…)
3 6 3 7 7, 1 4 5
5 0 9 3 1, 8 2 8
1 3 3 4 4, 4 2 2
EXERCICE 3 : Effectuer chaque multiplication
a.
b.
c.
42,7
7,514
6,3
9,2
1 21 8 1
115 0 2 8
+256 2 .
+67626 .
2 6 9 ,0 1
6 9,1 2 8 8
e.
5,2 6 6 7 3
4 7 0,5
(…)
8 6 1,5 9 7
5,5 2 5
(…)
2 4 7 7, 9 9 6 4 6 5
d.
68,07
0,19
6 1 21 6 3
+ 680 7 .
1 2,9 3 3 3
4 7 6 0, 3 2 3 4 2 5
e.
3709
3, 0 7
25963
+0000 .
+11127 . .
1 1 3 8 6,6 3
0,592
2,5
2960
+ 1184 .
1,4 8 0 0
0,592 2,5 = 1,48
42,7 6,3=427 63 0,01
EXERCICES 4 : Pour chaque division :
1. Compléter la table de multiplication du diviseur.
2. Effectuer la division euclidienne (quotient et reste)
3. Vérifier le résultat en effectuant la preuve :
1.
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
2.
0=0
1=7
2 = 14
3 = 21
4 = 28
5 = 35
6 = 42
7 = 49
8 = 56
9 = 63
3 5 7
- 3 5
0 7
7
0
3. Preuve :
7 51 + 0 = 357
et 0 < 7
1.
7
5 1
42
42
42
42
42
42
42
42
42
42
2.
0=0
1 = 42
2 = 84
3 =126
4 =168
5 =210
6 =252
7 =294
8 =336
9 =378
2 25
- 2 10
15
- 12
3
- 2
1.
82
42
8
6
22
94
28
537
3. Preuve :
42 537 + 28 = 22 582
et 28 < 42
56
56
56
56
56
56
56
56
56
56
2.
0=0
1 = 56
2 =112
3 =168
4 =224
5 =280
6 =336
7 =392
8 =448
9 =504
225679
- 224
16
- 0
167
- 112
559
- 504
55
3. Preuve :
56 4 029 + 55 = 225 679
et 55 < 56
56
4029
45
19 = 885€
45+22+18+17+12 = 114
855+330+198+170+72=1 625€
Problème 3 :
Les 4 frères Dalton se préparent à partager le contenu de 6 coffres renfermant chacun $ 25 000.
1.
Quel est le total du butin ?
2.
Jack propose de donner $ 38 000 à chacun.
Joe propose de donner $ 35 000 à chacun.
a. Ces propositions de partage sont-elles envisageables ? Pourquoi ?
b. Quelle somme devrait revenir à chacun ?
On décide de procéder au partage en distribuant les liasses de billets. Au bout d’un certain temps,
3.
chaque frère dispose devant lui de $ 32 000 et il reste $ 21 000 à distribuer.
L’un des frères affirme que de l’argent a disparu. A-t-il raison ? Pourquoi ?
On procède à un nouveau partage. Au bout d’un certain temps, chaque frère dispose devant lui de
4.
$ 36 000 et il reste $ 5 000 à distribuer.
Y a-t-il eu encore une malversation ?
1.
25 000 × 6 = 150 000 $
Le total du butin est de $ 150 000.
2.
a)
38 000 × 4 = $ 152 000
Donc la proposition de Jack dépasse le montant total du butin.
35 000 × 4 = $ 140 000
Et avec cette proposition de Joe il va rester de l’argent.
b)
-
1 5 0 0 0 0
1 2
3 0
- 2 8
2 0
- 2 0
0 0
0
0 0
0
0
4
3 7 5 0 0
4×0=0
4×1=4
4×2=8
4×3=12
4×4=16
4×5=20
4×6=24
4×7=28
4×8=32
4×9=36
Donc il faudrait donner $ 37 500 à chacun.
3.
32 000 × 4 = 128 000
Il a donc été distribué $ 128 000 aux 4 frères.
128 000 + 21 000 = 149 000
Un frère a donc volé de l’argent car il manque $ 1000.
4.
36 000 × 4 = 144 000
Cette fois-ci il a été distribué $ 144 000 aux 4 frères.
144 000 + 5 000 = 149 000
Un frère a donc encore volé de l’argent car il manque $ 1000, ou alors ils ne savent pas compter !