Mathématiques - école de commerce

Mathématiques - école de commerce
Objectifs à savoir
Première année
• Les ensembles de nombres et les opérations sur les ensembles.
• Règles de calcul et calcul avec les puissances. Calcul littéral.
• La droite et les équations du premier degré.
• La parabole et les équations du deuxième degré.
• Résolution de systèmes d’équations.
Deuxième année
• Résolution d’inéquations.
• Fonctions exponentielles et logarithmes.
• Intérêts simples et composés, actualisation.
• Programmation linéaire.
• Notions de base en statistiques.
Troisième année
• Séries arithmétiques et géométriques.
• Rentes et annuités.
• Calcul des probabilités.
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Cours de Mathématiques
Ecole supérieure de commerce
Mathématiques : Formulaire
Théorie des ensembles
⇐⇒
⇐⇒
L’élément x appartient à l’ensemble A
x∈A
A∪B
A
L’ensemble {x} est inclu dans l’ensemble A
{x} ⊂ A
A∩B
B
A\B
A
B
A
E
B
E
E
Calcul algébrique
Fractions
Addition
Multiplication
a c
ad bc
ad + bc
+ =
+ =
b d
bd bd
bd
a c
ac
· =
b d
bd
Racines n-ièmes
√
n
a
Division
a
b
d
c
=
a c
·
b d
C’est le nombre x (positif s’il y en a deux) tel que
xn = a
Exposants
am · an = am+n
Valeur absolue
√
|x| = x2
(am )n = amn
a0 = 1
½
si x > 0
si x < 0
|x| =
x
−x
a−n =
am
an
1
an
= am−n
√
m
a n = ( n a )m
|x| = distance de x à 0
|x − y| = distance de x à y
Identités remarquables
si on élève une somme au carré, alors des doubles produits apparaissent
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 − 2ac + c2 = (a − c)2
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
Polynômes de degré 2 : recherche des zéros et factorisation
Formule de Viète
2
ax + bx + c = 0 ⇐⇒ x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
Si b2 − 4ac > 0, il y a deux solutions x1 et x2 . Ainsi ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) .
Si b2 − 4ac = 0, il y a une solution x1 . On a la factorisation ax2 + bx + c = a(x − x1 )2 .
Si b2 − 4ac < 0, il n’y a pas de solution. Le polynôme ax2 + bx + c ne se factorise pas.
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Cours de Mathématiques
Ecole supérieure de commerce
Mathématiques : Formulaire
Comment dessiner une droite
Voici le graphe de d(x) = − 34 x + 2.
Expression fonctionnelle d’une droite :
y
y = mx + h
6
où m est la pente de la droite. Si on avance
de 1, on monte de m (si m est positif). Dans
le cas où m est négatif, on descend de m. On
a aussi la formule suivante pour m :
4
2
m=
déplacement vertical
déplacement horizontal
x
−4
2
−2
h est la hauteur. C’est la valeur de y en x = 0.
4
−2
Pour dessiner une droite, on dessine un point
sur cette droite, puis on utilise la pente pour
dessiner quelques points que l’on relie à l’aide
d’une règle.
−4
Comment dessiner une parabole
Expression fonctionnelle d’une parabole :
Voici le graphe de y = 2x2 − 8x + 3.
y
p(x) = ax2 + bx + c
6
où a indique l’orientation et l’ouverture de la
parabole (voir le tableau ci-dessous).
4
Formule pour la 1ère coordonnée du sommet :
(0; 3)
(4; 3)
2
x=
−b
2a
x
−4
Quand on dessine une parabole, on calcule
d’abord le sommet S grâce à la formule cidessus. Puis, grâce à l’axe de symétrie vertical passant par le sommet, on peut calculer un ou deux points et noter les points
symétriques correspondant afin de pouvoir
faire le graphe.
a < 0 grand
a < 0 petit
2
−2
6
−2
−4
−6
a > 0 petit
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4
S(2; −5)
a > 0 grand
Cours de Mathématiques
Ecole supérieure de commerce
Mathématiques : Formulaire
Les fonctions exponentielles et logarithmes.
Les fonctions exponentielles ont l’expression fonctionnelle suivante.
f (x) = expa (x) = ax avec a ∈ R, a > 0
Les fonctions logarithmes ont l’expression fonctionnelle suivante.
f (x) = loga (x) avec a ∈ R, a > 0, a 6= 1
Slogan du logarithme :
loga (b) est la puissance à laquelle on élève la base a pour obtenir le nombre b
Le slogan livre les formules suivantes :
aloga (x) = x
loga (ay ) = y
et
Voici les graphes de l’exponentielle et du logarithme en base 2 (et l’axe de symétrie
permettant de dessiner l’une à partir de l’autre).
exp2 : R → R>0 ; x 7→ 2x
y
4
log2 : R>0 → R; x 7→ log2 (x)
y
4
3
3
2
1
2
1
x
−4 −3 −2 −1
1
2
3
x
4
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
Lorsque les expressions sont bien définies, on a les formules (duales) suivantes.
Pour les exponentielles
Pour les logarithmes
Ecriture ax
Ecriture expa (x)
ax+y = ax · ay
expa (x + y) = expa (x) · expa (y)
ax−y =
ax
ay
expa (x − y) =
expa (x)
expa (y)
ax·y = (ax )y
expa (x · y) = expa (x)y
a0 = 1
expa (0) = 1
loga (x · y) = loga (x) + loga (y)
³ ´
loga xy = loga (x) − loga (y)
loga (xy ) = y loga (x)
loga (1) = 0
Formules de changement de base
loga (x) =
logb (x)
logb (a)
ax = blogb (a) x
Pour résoudre les équations
ax = ay ⇐⇒ x = y
loga (x) = loga (y) ⇐⇒ x = y
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