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Chakroun et al., Rhéologie, Vol. 6, 67-73 (2004) 67 Modélisation du comportement vibratoire de la matière cérébrale : modèle de Maxwell semi-linéaire M. Chakroun, M. Zagrouba et I. Elloumi Faculté des Sciences de Sfax. Laboratoire de Physique des Matériaux (LPM). Equipe Physique &Technologie Médicales B.P. 802, 3018 Sfax (Tunisie). Fax: 216 - 74 27 44 37 E-mail: [email protected] Reçu le 3 mars 2004 - Version finale acceptée le 19 août 2004 -------------------------- Résumé : L'objectif de notre travail est de comprendre les modes de vibration de la matière cérébrale en situation de choc afin d'assurer une bonne protection du cerveau humain lors des accidents. La courbe expérimentale du module de la fonction de transfert en fonction de la fréquence de vibration a été réalisée. L'expression de la fonction de transfert associée à un modèle multicouche de type Maxwell est déterminée. Les paramètres de ce modèle sont ajustés en comparant la courbe du module de la fonction de transfert théorique avec les résultats des expériences, par vibrométrie laser, réalisées sur des échantillons issus du cerveau de porc. Un modèle semi-linéaire, permettant un bon ajustement de la fonction de transfert expérimentale, est proposé. Les paramètres internes de la matière cérébrale, module d'Young et coefficient d'amortissement interne, donnés par ce modèle en fonction de la fréquence d'excitation, sont en accord avec ceux de la littérature. Mots-clés : Fonction de transfert, Vibrométrie laser, Modèle semi-linéaire, Module d'Young, Coefficient de viscosité. 1. Introduction pour l’introduite dans le code de calcul des modèles EF. Les blessures crânio-encéphaliques forment une part importante des lésions observées en cas d’accidents de la circulation et du travail. D’où la nécessité d’optimiser la protection de la tête vis-à-vis des chocs, ce qui implique une bonne connaissance du comportement mécanique de la structure à protéger et en particulier la matière cérébrale. Bien évidemment, il n’est pas possible d’étudier expérimentalement l’influence d’un choc violent sur une tête humaine vivante, pour accéder aux critères de tolérance de la tête humaine. Les chercheurs ont donc eu recours à la technique de la modélisation par la méthode des éléments finis (MEF) de la tête humaine. En 1964, Nikerson et Drazic [5] ont tenté de mesurer le module d’Young et l’indice de rupture de tissus humain en effectuant des chargements statiques, mais l’absence de portion linéaire dans les courbes de contrainte-déformation obtenues a empêché cette mesure. Une dizaine de modèles numériques tridimensionnels de types éléments finis sont rapportés dans la littérature [1-4]. Ces modèles sont tous fondés sur l'hypothèse d'homogénéité et d'isotropie de la matière cérébrale En 1972, Shuck et Advani [7] ont réalisé des tests de cisaillement sur la matière cérébrale humaine. Ces tests sont parmi les rares tests réalisés sur le cerveau humain. La plupart des tests rapportés dans la littérature sont effectués sur des cerveaux d’animaux. Les tests de Shuck et Advani servent jusqu'à nos jours de références aux chercheurs pour modéliser la matière cérébrale humaine. Plusieurs tests vibratoires concernant la matière cérébrale sont rapportés dans la littérature. Le but de ces tests a toujours été de caractériser cette matière et de tenter de modéliser sa loi de comportement En 1968, Jamison et al. [6] ont montré, par le biais d’un test de fluage en traction sur la peau de porc et de chamois, que des tissus mous pouvaient être considérés comme des matériaux viscoélastiques. Ils ont même développé une technique expérimentale permettant d’obtenir des modèles viscoélastiques discrets de tissus biologiques mous. 68 Miller et Chinzeit [8] réalisent, en 1996, une expérience de relaxation en compression sur des cerveaux de jeunes porcs et démontrent qu’il existe une forte dépendance de la réponse de la matière cérébrale à la vitesse de déformation. En 1997, Bilston et al. [9] ont réalisé des tests de relaxation sur des échantillons de substance blanche, de diamètre 30 mm et d’épaisseur 1.5 mm. Ces échantillons ont été prélevés à partir de cerveaux frais de bœuf, obtenus immédiatement après le sacrifice de l’animal. Tout les tests ont été effectués dans les 8 heures qui ont suivi le prélèvement et à la température de 37°C. Le but de ces tests était de déterminer la limite viscoélastique linéaire du cerveau de bœuf. Celle-ci a été obtenue en soumettant l’échantillon à des oscillations de 1, 5 et 20 Hz et en augmentant graduellement, dans chaque cas, l’amplitude de la déformation. Les modules de stockage et de perte sont alors calculés à l’aide du rhéomètre. La limite viscoélastique linéaire est identifiée lorsque ces paramètres commencent à dépendre de la déformation. Cette limite est trouvée approximativement égale à 0.1 % et ne dépend pas de la fréquence entre 1 et 20 Hz. Willinger et al. [10] ont montré en 1998 à la base d’une étude réalisée sur la matière cérébrale de différentes espèces (humain, porc, primate, mouton et bœuf) que les propriétés mécaniques du cerveau humain se situent entre celles du cerveau de porc, qui sont plus faibles, et celles du cerveau de primate, de mouton et de bœuf, qui sont plus importantes. Ils ont prouvé aussi que la congélation à -200c ne semble pas affecter les caractéristiques mécaniques du cerveau. Chakroun et al., Rhéologie, Vol. 6, 67-73 (2004) mordial de réaliser des mesures à l’intérieure de cette bande de fréquence. Cependant, un rhéomètre classique ne permet d’étudier la matière cérébrale qu’à des fréquences ne dépassant pas les 300 Hz. Pour accéder aux propriétés de cette matière à des fréquences plus élevées, nous utilisons la technique de vibromètrie laser. 2. Méthode 2.1 Vibromètrie laser La technique consiste à imposer à un échantillon prélevé sur des cerveaux de porc décongelés (le choix du porc est dû d’une part à des raisons éthiques, d’autre part c'est l’animal qui se rapproche biologiquement le plus de l’homme [10]) une sollicitation vibratoire normale de type tractioncompression, produite par un pot vibrant sur lequel l’échantillon a été déposé. On impose à la surface inférieure de l’échantillon un déplacement sinusoïdal x0 = a exp (jω t), tout en gardant sa surface supérieure libre. Le déplacement de la face supérieure xp est mesuré par un capteur de déplacement à laser. Un accéléromètre mis en contact avec le plateau nous permet d’accéder à &x& 0; une double intégration permet de déterminer l’amplitude du déplacement x0 correspondant à chaque fréquence d’excitation : x0 = &x&0 ω2 (1) où ω est la pulsation du déplacement x0 . 2.1.1 Dispositif expérimental Alors qu’il existe un grand nombre d’informations dans la littérature concernant les propriétés mécaniques in vitro du cerveau [11-17], du foie et du rein [18-19] sous compression, indentation, impact et dans une moindre mesure sous torsion, Miller indique, qu’à sa connaissance, il n’existe aucun résultat concernant les propriétés des tissus mous en traction [16]. La raison de cette lacune est qu’en plus des problèmes techniques liés à ce type de sollicitation, il n’existe pas de relation analytique reliant le déplacement de la machine de traction et la déformation d’un échantillon de forme cylindrique. Pour caractériser la matière cérébrale, beaucoup d’auteurs ont donc eu recours aux rhéomètres classiques. La durée typique de chargement dans les accidents de la route est comprise entre 1 et 50 ms, selon la rigidité de la surface impactée. Cet intervalle correspond approximativement à une bande de fréquence de 20 à 1000 Hz. Il est donc pri- Figure 1 : Schéma du dispositif expérimental. Le dispositif expérimental comprend les parties suivantes (Figure 1) : Chakroun et al., Rhéologie, Vol. 6, 67-73 (2004) - un pot vibrant : c’est un excitateur de vibration à aimant permanent connecté à un générateur de fréquences. - un accéléromètre : c’est un accéléromètre piézoélectrique qui a une sensibilité de 10.2mv/ms-2. - un capteur de déplacement à laser (He-Ne) : il s’agit d’un matériel de mesure qui permet de déterminer le déplacement de surfaces vibrantes sans contact (à distance). - un ordinateur avec sa carte d’acquisition : il enregistre simultanément les signaux correspondant aux accélérations &x& 0 (signal de l’accéléromètre) et aux déplacements xp (signal du laser). 2.1.2 Protocole expérimental Le protocole expérimental comprend les étapes suivantes : - branchement : le schéma du montage est présenté Figure 1. Le laser est monté sur une colonne réglable en hauteur. Le pot vibrant est fixé juste au-dessous de la tête optique du laser. L’accéléromètre est fixé solidement sur le plateau vibrant. 69 procurée par un pot vibrant (excitateur électrodynamique) sur lequel l'échantillon est déposé. Les déformations résultantes de cette sollicitation proviennent de la masse distribuée sur toute la hauteur de l’échantillon. La fonction de transfert Hp(ω) est définie comme le rapport du déplacement de sa surface supérieure xp par le déplacement imposé à sa surface inférieure x0. Les deux modèles utilisés pour cette étude (Figure 2) sont de types Kelvin-Voigt (KV) et Maxwell. Les ressorts et les amortisseurs modélisent respectivement l’élasticité et la viscosité de la matière cérébrale. La vibration de l'échantillon est assimilée à la vibration de p couches cylindriques superposées l'une sur l'autre. Chaque couche est alors de hauteur hP de masse mP et de diamètre d. S mp Zp xp mp Zp h mp Zp - découpage de l’échantillon : les dimensions de l’échantillon découpé sont 3 mm pour la hauteur et 20 mm pour le diamètre. x0 = a exp(jwt) - mise en place de l’échantillon sur le plateau en plexiglas. - illumination de la surface supérieure de l’échantillon par le laser He-Ne. - lancement de la vibration du pot : cette vibration a été effectuée, fréquence par fréquence, pour des fréquences allant de 20 à 650 Hz. Au-delà de 650 Hz, les déplacements x0 et xp ne sont plus bien détectés par les appareils de mesure car ils sont très faibles. - acquisition des données expérimentales sous HPVEE (logiciel d’acquisition). - traitement des données par MATLAB. 2.2 Modèle multicouche Pour pouvoir exploiter les résultats expérimentaux obtenus par la technique de vibrométrie laser, nous avons associé à l’échantillon d'étude un modèle mécanique multicouche, permettant la mise en équation de la vibration de l’échantillon d’étude. L’échantillon est de forme cylindrique, de diamètre d, de hauteur h et de masse M. Il est sollicité avec une contrainte normale de type traction-compression hP kp kp Cp Forme de Zp pour le modèle de KV Cp Forme de Zp pour le modèle de Maxwell Figure 2 : Modèles utilisés pour cette étude Les deux paramètres kp et Cp permettent de caractériser la matière testée puisqu’ils sont reliés au module d'Young E et à l'amortissement interne µ par : hpC p hp k p et µ = pour le modèle de KV E= S S et par : hpC p hp k p E= et µ = 2S 2S pour le modèle de Maxwell. kp est la raideur du ressort, Cp est le coefficient de viscosité, S est la surface de la section de l'échantillon et hp est la hauteur d'une couche. 70 Chakroun et al., Rhéologie, Vol. 6, 67-73 (2004) En se basant sur ces modèles, nous avons pu déterminer l’expression théorique modélisant la fonction de transfert relative à chacun des deux modèles : x0 = 1 * ( p + n)! æç Z p 1+ å n =1 ( pn )! ( 2n )! ç Z p è p ö ÷ ÷ ø où Z *p = jm pω , Z p = C p + de KV) et Zp = ( 1 Cp + jω kp (2) n kp jω (pour le modèle Après avoir tracé la courbe expérimentale du module de la fonction de transfert, nous avons tenté de modéliser ce résultat en utilisant les modèles de KV et de Maxwell. Les modèles adoptés pour effectuer la modélisation comportent cinq couches massiques (p = 5). Les paramètres de ces modèles (K et C) présentés sur les Figures 4 et 5 ont été ajustés de manière à ce qu’ils permettent d’obtenir le meilleur accord théorie/ expérience. )-1 (pour le modèle de Maxwell). 3. Résultats Nous présentons en Annexe (Tableau 2) les valeurs expérimentales des modules des déplacements xp et x0 en fonction des fréquences d’excitations. Nous présentons Figure 3 la variation du module de la fonction de transfert expérimentale en fonction de la fréquence d’excitation du pot vibrant. Module de la fonction de transfert xp 4. Discussion 1.4 Fréquence (Hz) 1èr pic de résonance Figure 4 : Superposition théorie/expérience (Modèle de KV; p = 5, K = 3000 N/m, C =5 N.s/m; E = 28.647 KPa, µ = 47.47 Pa.s) 1.2 2ème pic de résonance 1 0.8 0.6 0.4 135 560 1 0.2 0 100 200 300 400 500 600 700 Fréquence (Hz) Figure 3 : Courbe expérimentale du module de la fonction de transfert en fonction de la fréquence d’excitation du pot. La courbe expérimentale du module de la fonction de transfert présente un maximum au voisinage de 135 Hz et un autre au voisinage de 560 Hz. Ceci peut indiquer que nous avons, dans la bande de fréquences comprise entre 20 et 560 Hz, deux fréquences de résonances relatives aux deux premiers modes de vibration de la matière cérébrale. Module de la fonction de transfert Module de la fonction de transfert 1.6 Fréquence (Hz) Figure 5 : Superposition théorie/expérience (Modèle de Maxwell; p = 5, K = 5900 N/m, C = 4.2 N.s/m, E = 28.170 KPa, µ = 20.05 Pa.s) Chakroun et al., Rhéologie, Vol. 6, 67-73 (2004) Sur la Figure 4, on remarque que le modèle de KV à 5 couches permet de bien modéliser la courbe expérimentale du module de la fonction de transfert mais seulement jusqu’à 250 Hz. Le modèle prévoit la première résonance à 135 Hz mais pas la deuxième résonance à 560 Hz. La Figure 5 montre que le modèle de Maxwell a l’avantage par rapport au modèle de KV de prévoir la deuxième résonance à 560 Hz. Les deux modèles donnent un résultat similaire pour la valeur du module d’Young E, déduite de la modélisation. Les valeurs de l’amortissement interne µ déduites à partir des deux modèles sont différentes, mais elles sont dans le même ordre de grandeur. D'après les Figures 4 et 5, la courbe du module de la fonction de transfert des deux modèles ne coïncide pas avec la courbe expérimentale sur toute la gamme de fréquence. On a alors proposé un modèle semilinéaire de type Maxwell (Figure 6). Dans ce modèle, nous avons introduit une approche qui considère que les propriétés de la matière cérébrale varient par intervalle de fréquence. Ce type de modélisation n’a pas donné de bons résultats avec le modèle de KV. Ainsi, nous l’avons appliqué seulement pour le modèle de Maxwell. Pour ce faire, on a divisé l’intervalle d’étude en 4 zones : 20-300 Hz, 300-340 Hz, 340-500 Hz, 500650Hz. Module de la fonction de transfert La Figure.6 représente la superposition de la courbe expérimentale avec la courbe théorique du modèle semi-linéaire. Fréquence (Hz) Figure 6 : Superpositions de la courbe expérimentale (+) et la courbe du modèle semi-linéaire (p = 5). Les paramètres de ce modèle, ainsi que les valeurs du module d’Young et de l’amortissement interne 71 déduites à partir de ces paramètres, sont présentées dans le Tableau 1. Fréquence (Hz) k(N/m) E (kPa) C (N.s/m) µ (Pa.s) 20-300 300-340 340-500 500-650 5900 28.170 4.2 20.05 6800 32.467 2.95 14.08 4000 19.098 2.65 12.65 Tableau 1 : Propriétés internes de la matière cérébrale : modèle semi-linéaire. Les résultats issus de la littérature concernant le module d’Young de la matière cérébrale avec l’hypothèse d’un matériau viscoélastique sont très rares. Parmi ces résultats, on note ceux de Galford et McHelaney [13] en 1969, qui donnent un module d’Young E = 72.8 kPa pour le cerveau de porc à 34 Hz et E = 107,1 kPa pour le cerveau de singe à 31 Hz. La comparaison de nos résultats avec ceux de la littérature n’est pas directement possible, vu qu’à notre connaissance il n’existe aucun résultat concernant le cerveau de porc dans le domaine fréquentiel de notre étude. 5. Conclusions Vu que les modèles de KV et Maxwell n’ont pas pu modéliser le comportement de la matière cérébrale sur tout l'intervalle de fréquence d'étude, nous avons utilisé la modélisation semi-linéaire. Cette modélisation n’a pu fonctionner qu’avec le modèle de Maxwell. L’inconvénient de ce modèle semilinéaire est qu’il ne peut pas décrire le comportement vibratoire de la matière cérébrale dans l’intervalle compris entre 340 et 500 Hz. Néanmoins, les résultats issus de cette modélisation restent importants car ils donnent une bonne approximation des propriétés de la matière cérébrale de porc. Cependant, il est à noter que dans la littérature la plupart des tentatives de modélisation sont effectuées à partir de test de cisaillement (torsion des échantillons à l’aide d’un rhéomètre avec enregistrement simultané du module de cisaillement complexe) et dans des bandes de fréquence ne dépassant pas les 350 Hz. En plus de ça, il n’existe pas d'homogénéité ni dans les conditions expérimentales adoptées par les auteurs, ni dans les espèces testées. Par ailleurs, il a été montré qu'une différence de l’ordre de 40 % existe entre les propriétés mécaniques des différentes espèces [10]. L'extrapolation des résultats d’une espèce à un autre n’est donc pas évidente. Tout ceci rend la tâche difficile, car toute comparaison entre les résultats présentés par les différents auteurs doit être faite avec beaucoup de précautions, surtout que 72 Chakroun et al., Rhéologie, Vol. 6, 67-73 (2004) ces derniers ne détaillent pas très bien les protocoles et les conditions expérimentales de réalisation de leurs tests. Remerciement Ce travail a été effectué dans le cadre d’un projet CMCU (00F/1119) en collaboration avec le Laboratoire des Systèmes Biomécaniques et Cognitifs (LSBMC) de l’Institut de Mécanique des Fluides de Strasbourg (IMF) dirigé par le Pr. R. Willinger. Annexe : valeurs expérimentales des modules des déplacements x0 et xp. Fréquences (Hz) 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600 650 Modules des Modules des déplacements x0 déplacements xp (µm) (µm) 803,0735 546,4484 414,9024 327,7935 266,1464 216,3125 174,8784 141,5470 114,0713 93,3016 76,6179 64,1890 54,4451 46,9761 40,8433 35,5550 31,0939 27,3441 24,2154 21,6546 19,1886 15,5142 12,8019 10,7196 9,1034 7,8908 6,9583 6,2150 5,6549 5,0879 4,5934 4,2022 3,8359 3,4899 3,2670 2,9918 2,7109 2,4553 2,2601 2,1688 1,7451 781,8750 553,1250 427,5000 350,0000 284,3750 232,8516 193,8281 159,2188 131,9766 110,7031 91,9336 85,6128 66,8516 56,8828 49,2318 42,1777 36,2760 31,8001 28,1673 25,5664 21,7904 17,0508 12,8955 10,2995 7,5537 5,7117 4,0259 2,6257 1,7450 1,1993 1,2677 1,6119 2,0825 2,1245 2,1838 2,1771 2,0021 1,9030 1,7420 1,6498 1,3143 Références [1] Ruan J., Khalil T., King A., Dynamic response of the human fead to impact by three-dimensional finite element analysis, J. 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