Affaire de logique du Monde daté du 12 septembre 2009

Affaire de logique du Monde daté du 12 septembre 2009
On considère un secteur angulaire de sommet O, de rayon r et d’angle π3 . On inscrit
un carré ABCD dans ce secteur, de trois façons différentes, comme l’indique les figures
suivantes.
D O A
C
C
D B
O
C
B
A
Quel est le carré d’aire maximale ?
1
D
O
B
A
Exercice « Monde »daté du mardi 2 septembre 2008
Dans la figure ci-dessous, le triangle ABC est équilatéral et O est le centre de son
cercle circonscrit. Le point D appartient au « petit » arc d’extrémités B et C. D’après
vous, la longueur AD est-elle plus grande ou plus petite que la somme des longueurs
BD + CD ?
A
•
•
O
•
•
B
•
D
1
C
D’après « Affaire de logique »du journal Le Monde daté du mardi 26 août 2008
Chez un de leurs amis, dix convives sont assis autour d’une table ronde. Pour pimenter
la fin de soirée, l’ami, facétieux, inscrit un entier compris entre 1 et 10 sur dix étiquettes
qu’il a préparées (à deux étiquettes distinctes correspondent deux entiers distincts). Il
distribue ensuite, aléatoirement, une étiquette à chacun des convives qui doit alors se
déplacer - dans le sens des aiguilles d’une montre - autour de la table, d’un nombre de
places égal au nombre inscrit sur l’étiquette qu’il a reçue. L’hôte espère ainsi que plusieurs
convives se retrouveront assis à la même place. Mais, est-il possible que tous les convives
se retrouvent assis à des places distinctes ?
1
Dans l’exercice qui suit, on entend par « écriture d’un entier », son écriture en base 10.
I. On remarque que 25 = 52 , puis que 1225 = 352 et aussi que 112225 = 3352 . Une question naturelle est alors : « Combien de chiffres 1, suivis d’autant de chiffres 2, faut-il placer
devant le nombre 25, de façon à obtenir l’écriture d’un carré parfait ? ». Pour répondre à
cette question, on note k ∈ N∗ , et on considère l’entier N qui s’écrit 1...12...225, écriture
où figurent k chiffres 1 et k chiffres 2 à gauche de 25.
k
X
a) Montrer que N = 10(
10i )(10k + 2).
i=1
b) Lorsque N est un carré parfait, formuler une conjecture sur la valeur de l’entier M
dont N est le carré. Donner l’écriture de M en fonction de k.
c) Préciser l’ensemble des valeurs de k pour lesquelles N est un carré parfait, et justifier
la réponse proposée.
1
Enigme Chiffrée
Je suis un nombre entier, et mon écriture décimale nécessite trois chiffres.
Si l’on m’additionne aux deux entiers qui m’encadrent, on obtient un carré parfait.
Et si l’on m’additionne aux quatre entiers qui m’encadrent, on obtient un cube parfait.
Qui suis-je ?
(Le Monde du 24/09/02-E.Busser/G.Cohen)
La quadrature du cercle
Cette fois, le jeune Anaxagore est sûr de son coup. Il va enfin résoudre le problème de la
quadrature du cercle sur lequel des générations de mathématiciens s’échinaient depuis des
siècles : tracer, à la règle et au compas, un carré de même aire qu’un cercle donné. Voici sa
méthode : prolonger deux tangentes perpendiculaires au cercle pour qu’elles forment les côtés
d’un carré dont la quatrième sommet D est sur le cercle.
D
A
O
C
B
Un tel carré peut-il effectivement se construire à la règle et au compas ?
A-t-il vraiment pour aire celle du cercle ?
Elisabeth Cohen et Gilles Cohen
(Le Monde du 12 novembre 2002)
Open space
Le siège de cette multinationale occupe sur un niveau un vaste espace en forme d’hexagone
régulier entouré de hauts murs. Il n’y a pas de bureaux fermés à proprement parler, mais, pour
séparer les employés, on a installé des cloisons basses de même longueur (munies d’une
porte) qui forment ainsi un maillage de losanges identiques (chacun accueillant exactement un
employé) dont chaque côté correspond à une cloison. On a utilisé 1488 cloisons.
Combien le siège compte-t-il d’employés ?
(Le Monde du 15/10/2002 -Élisabeth Busser et Gilles Cohen)
Qui veut gagner des euros ?
Dans un jeu télévisé, l’animateur pose à toute vitesse des questions simples auxquelles
le candidat doit répondre « oui » ou « non ». Si la réponse est fausse, le jeu s’arrête. Si elle est
juste, la cagnotte grossit et on passe à la question suivante. La somme versée à la cagnotte
correspond au numéro de la question résolue : 1 euro pour la première question, 2 euros pour
la deuxième, etc.
Chaque fois, seuls sont utilisés pour remplir la cagnotte des billets de 10 euros et des
pièces de 1 euro (jamais plus de neuf par question).
Richard, un très fort joueur, a gagné à ce jeu une grosse somme et, chose curieuse,
s’est aperçu qu’il y avait dans la cagnotte autant de pièces de 1 euro que de billets de 10
euros. Par extraordinaire, Sophie qui a gagné plus que Richard, a hérité d’une cagnotte ayant
la même particularité : autant de pièces que de billets.
À combien de questions Richard a-t-il répondu ? Et Sophie ?
Élisabeth Busser et Gilles Cohen (Le Monde du 22 octobre 2002)
Le carré de Lucifer
Si vous vous présentez aux portes de l’Enfer, vous êtes voué à un séjour de 666 ans
dans son antre diabolique, à moins que … Lucifer ne vous propose, s’il vous trouve
sympathique, de diminuer votre peine !
Il vous fournira alors le carré ci-contre, et il vous donnera 666 secondes pour le
remplir.
Dans les 10 cases situées sur le bord gauche et au-dessus, vous devez inscrire les
nombres de 1 à 10, comme il vous plaira (chacun une fois).
Vous remplirez alors le carré comme une table d’addition ou de multiplication, à la
différence que l’opération utilisée sera moins courante : le nombre figurant au bord (gauche)
de la ligne sera élevé à la puissance du nombre figurant au bord (supérieur) de la colonne.
Ainsi, à l’intersection de la ligne commençant par « 3 » et de la colonne commençant par
« 5 », vous écrirez 243 (35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243).
Vous ferez alors le total des 25 nombres figurant dans les cases blanches : ce sera le
nombre de secondes de remise de peine.
Quel est le séjour minimum en Enfer ?
Huit nombres à placer
Placer les nombres de 1 à 8 dans cette grille de sorte que deux nombres consécutifs ne soient
jamais placés dans les cases se touchant par un côté, ou même simplement par un sommet.
Combien y a-t-il de solutions possibles ?
Elisabeth Busser et Gilles Cohen
(Le Monde du 12 novembre 2002)
Armistice sur échiquier
Huit tours occupent pacifiquement huit cases de cet échiquier (numéroté comme sur le
dessin). Aucune tour ne menace donc aucune autre, ou, si vous préférez, deux quelconque
d’entre elles ne sont jamais situées sur une même ligne ou une même colonne.
On fait la somme des numéros des cases sur lesquelles elles se trouvent. Quelles sont
les valeurs possibles de cette somme ?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64
Élisabeth Busser et Gilles Cohen
(Le monde du 19 novembre 2002)