Choix intertemporels – Exercices corrigés

Université d'Artois
2010-2011
UFR EGASS
Microéconomie Financière
1- Choix intertemporels – Exercices corrigés
1. Un individu salarié doit faire des choix intertemporels de consommation sur deux périodes,
sa « vie active » (période 1) et sa « retraite » (période 2). Son revenu (salarial) de période 1
vaut 1, et il anticipe toucher en période 2 une pension de retraite égale à 0,5. Au point
d'autarcie financière, son TMS de la consommation future à la consommation présente vaut
1 en valeur absolue. Le taux d'intérêt est de 20%.
a.
b.
c.
d.
Définir et interpréter le TMS.
Écrire sa contrainte budgétaire intertemporelle.
Indiquer si le salarié est épargnant ou emprunteur durant sa vie active (justifier).
Déterminer x si on suppose que la fonction d'utilité du salarié est de la forme :
u(C1,C2) = ln C1 + x ln C2
e. Déterminer les consommations optimales.
f. Illustrer sur un schéma (avec la consommation présente en abscisse et la consommation
future en ordonnée).
2. Un individu doit faire des choix intertemporels de consommation sur deux périodes. Sa
dotation de période 1 vaut 1, sa dotation de période 2 vaut 0. Sa fonction d'utilité est de la
forme : u(C1,C2) = ln C1 + ln C2. Il peut reporter sa consommation dans le temps au seul
moyen d'une « technologie de production » à rendements marginaux décroissants
f(K) = K0,5.
a. Écrire sa contrainte budgétaire intertemporelle.
b. Montrer que l'investissement optimal vaut K* = 1/3.
c. Illustrer ses choix optimaux de consommation et d'investissement sur un schéma.
On suppose dorénavant que l'individu dispose à la fois de la « technologie de production »
f(K) = K0,5 et d'un accès concurrentiel au marché financier (possibilité de placement ou
d'emprunt à taux d'intérêt réel donné r) pour reporter sa consommation dans le temps.
d. Écrire sa contrainte budgétaire intertemporelle en valeur actuelle, en faisant clairement
apparaître la richesse.
e. Quelle serait sa décision optimale d'investissement ?
f. Quel principe de valorisation des actifs est utilisé dans ce modèle ?
g. On suppose que r = 0. Illustrez sur un schéma l'optimum de consommation et
d'investissement sur deux périodes.
h. Qu'est-ce que le théorème de séparation de Fisher ?
i. Quelle relation existe à l'optimum entre préférence pour le présent, rendement du capital
et taux d'intérêt ?
N.B. :
L3 SEF
 3≈1,732
1
J-B Desquilbet
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Solution :
1a) Le TMS (taux marginal de substitution) de la consommation future à la consommation
présente est la pente, en un point donné, d'une courbe d'indifférence dans la plan
(consommation présente, consommation future). Il indique le nombre d'unités de « biens
futurs » que le décideur est prêt à échanger contre une unité de « bien présent » en ce point.
Il s'agit donc du prix subjectif du bien présent en termes de biens futurs. Ici, au point
d'autarcie financière, le salarié est prêt à échanger un « bien futur » contre un « bien
présent ».
b) La contrainte budgétaire intertemporelle indique que la valeur actuelle des ressources
présentes et futures doit être égale à la valeur actuelle des emplois futurs et présents. Soit
C
C
17
0,5
ici : 1
=C 1 2
=C 1 2 soit
12
1,2
1,2
1,2
c) Ici, au point d'autarcie financière, le salarié est prêt à échanger un « bien futur » contre un
« bien présent ». Or, le marché financier lui permet d'obtenir 1,2 unités de « bien futur »
pour une unité de « bien présent ». Le salarié estime donc que le « bien présent » est
« cher », il en offre, et que le bien « futur » est « bon marché », il en demande. Ainsi, le
salarié épargne durant sa vie active.
d) Avec une fonction d'utilité de la forme u(C1,C2) = ln C1 + x ln C2 le TMS de la
−u 1 ' −C 2
=
consommation future à la consommation présente vaut
. Au point d'autarcie
u2 '
x C1
0,5
=1 soit x= 0,5.
financière C1 = 1 et C2 = 0,5 et le TMS vaut -1. On en déduit
x
e) En maximisant l'utilité sous contrainte budgétaire intertemporelle, on montre que les
1 17
x 17
x 17
=
consommations optimales valent C 1=
et C 2=1,2
.Avec x=
1x 12
1x 12 1x 10
17
17
0,5 : C 1= ≈0,944 et C 2= ≈0,567 . NB : le salarié épargne 1/18.
18
30
f)
C2
Optimum de
consommation
C2*
autarcie
C1*
L3 SEF
C1
2
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2a) La contrainte budgétaire intertemporelle résulte de la combinaison des contraintes
budgétaires des deux périodes : C1 + K = 1 et C2 = f(K) + 0 soit C2 = K0,5. En substituant K
= 1 – C1 dans la deuxième égalité, on obtient : C2 = (1 – C1)0,5. Ici, il n'y a pas de marché
financier, donc pas d'actualisation possible de ressources futures...
b) Par substitution. On remplace C1 par 1 – K et C2 par K0,5 dans la fonction d'utilité, soit u(1
– K, K0,5) = ln (1 – K) + ln K0,5 . La condition de premier ordre (dérivée par rapport à K
1
0,5

=0 d'où on tire K* = 1/3.
nulle) donne :
1−K K
c) Avec K* = 1/3, on a : C1* = 2/3 et C2* = 1/  3≈0,577 .
d) La
contrainte
budgétaire
intertemporelle
en
valeur
actuelle
s'écrit :
0,5
C2
K
C 1
=1
−K , le deuxième membre étant la richesse (somme actualisée des
1r
1r
dotations plus valeur actuelle nette de l'investissement).
e) L'investissement optimal maximise la richesse : la condition de premier ordre de
0,5
−0,5
1
*
K
K
maximisation de 1
−K donne 0,5
−1=0 soit K =
2 .
41r 
1r
1r
f) Le principe de valorisation des actifs utilisé dans ce modèle est le théorème du capitalvaleur de Fisher, selon lequel la valeur d'un actif est égale à la somme actualisée des
revenus qu'ils génère.
g) Avec r = 0, K* = 1/4, la richesse vaut 5/4, C1* = C2* = 5/8.
On remarque que l'individu épargne 1 – K* – C1* = 1/8.
h) Le théorème de séparation de Fisher est le résultat selon lequel un marché financier parfait
permet la séparation des décisions de consommation et d'investissement. En l'absence de
marché financier (cf. question a de l'exercice), la consommation présente et l'investissement
sont liés par la contrainte budgétaire de la période présente (on avait : C1 + K = 1).
i) A l'optimum, le taux préférence pour le présent, le taux de rendement du capital et le taux
d'intérêt sont égaux : TMS – 1 = f'(K) – 1 = r. Une courbe d'indifférence est tangente à la
contrainte budgétaire, elle-même tangente à la contrainte technologique.
Schémas :
réponse à la question c.
réponse à la question g.
C2
C2
Optimum de
consommation
C2*
C2*
Optimum de
consommation
Optimum
d'investissement
autarcie
autarcie
K*
C1*
L3 SEF
C1
C1*
3
C1
K*
Richesse
maximisée
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2- Choix intertemporels – Autres Exercices
1- Choix intertemporels sur deux périodes
1. Un individu doit faire des choix intertemporels de consommation sur deux périodes, en
l'absence de possibilité d'investissement direct dans une « technologie de production ».
a-Comment écrire sa contrainte budgétaire ?
b- Illustrez sur un schéma (avec la consommation présente en abscisse et la consommation
future en ordonnée) le cas d'un prêteur.
2. a- Un prêteur consomme toujours plus « demain » qu'« aujourd'hui ». Vrai ou faux ?
Justifiez.
b- Un individu prêteur le reste-t-il toujours après une hausse du taux d'intérêt ? Que devient
son niveau d'utilité ? Justifiez.
3. Un individu vivant deux périodes a des préférences intertemporelles représentées par la
fonction d'utilité :
1
lnC 2
U(C1, C2) = ln C 1 
1b
On note Y le revenu réel de la période 1, α le taux de croissance du revenu réel entre les deux
périodes, r le taux d'intérêt réel et W la richesse. On suppose que b est strictement supérieur à -1.
a- Écrire la richesse en fonction de Y et α.
b- Commentez la forme de la fonction d'utilité. Comment interpréter le paramètre b ?
c- Calculez le TMS de la consommation future à la consommation présente.
1b
1r
W et C 2=
W .
d- Montrez que les consommations optimales valent : C 1=
2b
2b
Combien vaut le TMS de la consommation future à la consommation présente à l'optimum ?
e- A quelles conditions la consommation optimale est-elle constante, croissante ou décroissante
dans le temps ?
f- A quelle condition l'individu est-il prêteur ?
g- Quel montant épargne-t-il (et offre-t-il sur le marché des fonds prêtables) ?
2- Équilibre du marché des fonds prêtables
On suppose que deux individus i et j, vivant deux périodes, se comportent comme l'individu décrit
dans l'exercice précédent. On note bn le taux de préférence pour le présent de l'individu n, Yn son
revenu réel de la période 1, αn le taux de croissance du revenu réel entre les deux périodes, Wn sa
richesse, et r le taux d'intérêt réel.
On définit : An ≡ 1 + αn ; Bn ≡ 1 + bn ; R ≡ 1 + r.
R− An B n
Y
a- Montrez que que l'épargne optimale de l'individu n vaut : Sn =
R 1B n n
b- Déterminez le taux d'intérêt d'équilibre du marché des fonds prêtables. Ensuite, étudiez le
cas où les revenus des individus sont égaux (Yn = Y) et constants (αn = 0), mettez en
évidence le lien entre taux d'intérêt d'équilibre et préférence pour le présent. Puis étudiez le
cas où les individus ont les mêmes préférences (bn = b), et mettez en évidence le lien entre
taux d'intérêt et croissance des revenus.
L3 SEF
4
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3- Choix intertemporels et taux d'intérêt différents
Madame Pervenche doit faire des choix intertemporels de consommation sur deux périodes. Au
point d'autarcie financière (ou « point de Pollonius »), elle serait prête à renoncer à 1 unité de
consommation présente contre 1,1 unités de consommation future. Le taux d'intérêt réel est de 8%
sur les placements et de 12% sur les emprunts. Le taux d'inflation anticipée est de 3%.
a- Réinterprétez les hypothèses en termes de TMS.
b- Que décide Madame Pervenche ? (Justifiez votre réponse. Vous pouvez utiliser un schéma).
4- Revenus endogènes sur deux périodes
1. Illustrez l'optimum sur deux périodes d'un individu pouvant reporter sa consommation dans
le temps au seul moyen d'une « technologie de production » à rendements marginaux
décroissants.
2. a- Écrire la contrainte budgétaire d'un individu disposant à la fois d'une « technologie de
production » à rendements marginaux décroissants et d'un accès concurrentiel au marché
financier (possibilité de placement ou d'emprunt à taux d'intérêt réel donné) ?
b- Quelle serait sa décision optimale d'investissement ?
c- Illustrez sur un schéma l'optimum de consommation et d'investissement sur deux périodes
d'un individu disposant à la fois d'une « technologie de production » à rendements
marginaux décroissants et d'un accès concurrentiel au marché financier.
d- Qu'est-ce que le théorème de séparation de Fisher ?
3. Un individu (Robinson) vivant deux périodes a des préférences intertemporelles
représentées par la fonction d'utilité :
1
ln C 2
U(C1, C2) = ln C 1
1b
On note Y le revenu réel de la période 1. Le bien disponible en période 1 (des noix de coco) peut
être consommé ou investi dans du capital productif, permettant d'obtenir une quantité Kα en période
2 pour un montant K investi en période 1. On suppose que b est strictement supérieur à -1 et que α
est strictement compris entre 0 et 1.
a- Que signifie l'hypothèse sur α ? Comment s'écrit la contrainte budgétaire de Robinson ?
1
1b

Y et consomme C=
Y . Calculez le TMS de la
b- Robinson investi K =
1b
1b
consommation future à la consommation présente et la productivité marginale du capital.
Qu'en déduisez-vous ?
Robinson peut prêter ou emprunter une somme quelconque moyennant le paiement d'un taux
d'intérêt réel donné r.
c- Comment s'écrit la contrainte budgétaire de Robinson ?
d- Montrez que son épargne optimale et son investissement optimal valent respectivement :
1


 1−
S= Y − K  − 1b K

et K =
. Commentez (évaluez la richesse de
2b
2b 1r
1r
Robinson et comparez l'expression de l'épargne optimale avec celle obtenue à la question g
de l'exercice 1 ; que concluez-vous de l'expression de K ?)
 
L3 SEF
5
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On suppose que l'économie se compose de deux individus i et j dont les revenus initiaux et les
préférences peuvent être différents, mais disposant de la même technologie de production
individuelle : le coefficient α est le même pour les deux individus, et chacun investit le même
montant K en période 1 et obtient K  en période 2. On note bn le taux de préférence pour le
présent de l'individu n, Yn son revenu réel de la période 1. On définit : Bn ≡ 1 + bn ; R ≡ 1 + r.
K  K

=
e- En notant que K vérifie :
, montrez que l'épargne optimale de l'individu n est :
R 
Yn
B n K
S n =
−
et que le taux d'intérêt d'équilibre est tel que :
1Bn 1B n 
1B j  Y i1 Bi Y j
K
=
.
 1B j B i 1 Bi B j 
f- Que se passe-t-il à l'équilibre, toutes choses égales par ailleurs, si la préférence pour le
présent d'un individu augmente (hausse de Bn) ? Si le revenu de première période d'un
individu augmente (hausse de Yn) ?
L3 SEF
6
J-B Desquilbet