Formulation et coupes valides pour le problème de tournées
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Formulation et coupes valides pour le problème de tournées
Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1ers Résultats Formulation et coupes valides pour le problème de tournées de véhicules avec postes de livraison intermédiaires Sandra Ulrich NGUEVEU Roberto Baldacci, Roberto Wolfler Calvo LAAS-CNRS / LIPN / University of Bologna [email protected] 13/02/2013 Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 MOGISA - LAAS - CNRS 1/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1ers Résultats Plan 1 Introduction 2 Etat de l’art 3 Formulation proposée 4 Inégalités valides 5 1ers Résultats Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 MOGISA - LAAS - CNRS 2/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1ers Résultats Problème Le problème de tournées de véhicules avec postes de livraison intermédiaires consiste à trouver un ensemble de tournées réalisables où chaque client est : soit visité par une tournée soit affecté à un poste de livraison intermédiaire visité par une tournée qui y livre la demande du client. L’objectif est de minimiser la somme des coûts de tournées et des coûts d’affectation. Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 MOGISA - LAAS - CNRS 3/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1ers Résultats Exemple de solution 2.000(*) 0 Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 MOGISA - LAAS - CNRS 4/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1ers Résultats Différence avec des problèmes de la littérature VRPIF vs 2-echelon vehicle routing problem (2E-VRP) 2.000(*) 0 Source : Perboli, Tadei, Vigo 2008 Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 MOGISA - LAAS - CNRS 5/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1ers Résultats Différence avec des problèmes de la littérature VRPIF vs multiple traveling purchaser problem 2.000(*) 0 Source : Riera-Ledesma, Salazar-Gonzalez 2012 Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 MOGISA - LAAS - CNRS 6/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1ers Résultats Différence avec des problèmes de la littérature Transport scolaire : VRPIF vs school bus routing problem 2.000(*) 0 Source : Schittekat, Sevaux, Sorensen, 2006 Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 MOGISA - LAAS - CNRS 7/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1ers Résultats Cas particulier où les demandes sont unitaires : Le CmRSP CmRSP = Capacitated m-Ring Star Problem : introduit par Baldacci et al en 2007 problème de design de réseaux de télécommunications Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 MOGISA - LAAS - CNRS 8/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1 Introduction 2 Etat de l’art 3 Formulation proposée 4 Inégalités valides Inégalités en cardinalité ou de séparation polynomiale Inégalités RCI Linéarisations des contraintes de capacité RCII 5 1ers Résultats Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 1ers Résultats MOGISA - LAAS - CNRS 9/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1ers Résultats Etat de l’art R. Baldacci, M. Dell’Amico and J. Salazar-González. The Capacitated m-Ring-Star Problem. Operations Research, 55(6) :1147–1162, 2007. E. A. Hoshinoa and C. C. de Souza. A branch-and-cut-and-price approach for the capacitated m-ring–star problem. Discrete Applied Mathematics, 160 :2728–2741, 2012. A. Mauttone, S. Nesmachnow, A.O.F.Robledo Amoza. Solving a Ring Star Problem generalization. CICM2006 Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 MOGISA - LAAS - CNRS 10/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1 Introduction 2 Etat de l’art 3 Formulation proposée 4 Inégalités valides Inégalités en cardinalité ou de séparation polynomiale Inégalités RCI Linéarisations des contraintes de capacité RCII 5 1ers Résultats Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 1ers Résultats MOGISA - LAAS - CNRS 11/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1ers Résultats Formulation à 2 indices Données Graphe mixte G = (V , E ∪ A) : V = {0} ∪ VC ∪ VF est l’ensemble des noeuds (= depot + clients + postes de livraison intermédiaire potentiels) E est l’ensemble des arêtes utilisables par les tournées A est l’ensemble des arcs représentant les affectations possibles de clients à des postes de livraison intermédiaires Chaque client i ∈ VC a une demande qi à satisfaire m : nombre MAX de véhicules disponibles Chaque véhicule a une capacité Q Chaque arête e = i, j ∈ E a un coût d’utilisation re = rij Chaque arc a un coût d’affectation dij. Autre notation : Fi ensemble des postes de livraison auxquels le client i peut être affecté. Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 MOGISA - LAAS - CNRS 12/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1ers Résultats Formulation à 2 indices Variables de décisions xe : binaire : = 1 si l’arête e est utilisée et 0 sinon wi : binaire := 1 ssi le noeud i ∈ VC ∪ VF est visité par une tournée zij : binaire := 1 ssi le client i est affecté au poste de livraison j Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 MOGISA - LAAS - CNRS 13/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1ers Résultats Formulation à 2 indices Minimiser le coût total = somme des dates d’arrivées X X (FF) min re xe + dij zij e∈E s. c. Degré des nœuds X (1) (i ,j)∈A xe ≤ 2m (2) e∈δ(0) X xe = 2wi ,∀i ∈ V 0 (3) e∈δ(i ) Obligation de service des clients wi + X zij = 1,∀i ∈ VC (4) j∈Fi Capacité X e∈δ(S) xe ≥ 2 Q X i ∈VC (S) qi wi + X (i ,j)∈A: j∈VF (S) qi zij , ∀S ⊆ V 0 : S 6= ∅ (5) Domaine des variables xe ∈ {0, 1}/xe ∈ {0, 1, 2}/zij ∈ {0, 1}/wi ∈ {0, 1} Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 (6) MOGISA - LAAS - CNRS 14/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1ers Résultats Formulation à 2 indices Sous condition d’intégrité des variables de décisions xe , wi et zij les contraintes de capacité (5) assurent qu’au moins lP m P i∈S qi wi + (i,j)∈A:j∈S qi zij tournées assurent sont affectées pour visiter les clients inclus dans S ou affectés à des noeuds dans S. Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 MOGISA - LAAS - CNRS 15/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1 Introduction 2 Etat de l’art 3 Formulation proposée 4 Inégalités valides Inégalités en cardinalité ou de séparation polynomiale Inégalités RCI Linéarisations des contraintes de capacité RCII 5 1ers Résultats Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 1ers Résultats MOGISA - LAAS - CNRS 16/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1ers Résultats Inégalités en cardinalité polynomiale x{i,j} ≤ wj , x{i,j} ≤ wj , ∀i ∈ VC , ∀j ∈ VC , i 6= j (7) ∀i ∈ VF , j ∈ V 0 , i 6= j (8) x{i,j} + zij ≤ wj , Sandra U. Ngueveu ∀i ∈ VC , ∀j ∈ Fi ROADEF2013 (9) MOGISA - LAAS - CNRS 17/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1ers Résultats Contraintes de connectivité X X xe ≥ 2 wi + e∈δ(S) zij , ∀S ⊆ V 0 , ∀i ∈ VC (S), S 6= ∅ (10) j∈VF (S)∩Fi Principe de séparation : 1) rendre le membre de droite constant : X xe + e∈δ(S) X j∈VF (S)∩Fi zij ≥ 2 wi + X zij , ∀S ⊆ V 0 , ∀i ∈ VC (S), S 6= ∅ (11) j∈Fi 2) rechercher coupe s-t sur graphe auxiliaire où : 0 = s et i = t chaque arête xe a un coût xe (ou xe + zij Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 MOGISA - LAAS - CNRS 18/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1ers Résultats Contraintes multistar X xe ≥ e∈δ(S) 2 Q X qi wi + i ∈VC (S) X qi zij + (i ,j)∈A: j∈VF (S) X X i ∈VC (S) j∈S qi x{i ,j} , ∀S ⊆ V 0 , S 6= ∅ (12) Ces contraintes dominent les contraintes de capacité initiales (5). Principe de séparation : Idem q pour les contraintes de capacité Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 MOGISA - LAAS - CNRS 19/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1ers Résultats Inégalité RCI X qi i∈S:Fi ⊆S xe ≥ 2 Q e∈δ(S) X , ∀S ⊆ V 0 , VC (S) 6= ∅ (13) Principe de séparation : heuristique Multi-Start Local Search Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 MOGISA - LAAS - CNRS 20/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1ers Résultats Inégalité RCII ! P xe ≥ 2 e∈δ(S) i ∈VC (S) qi wi + X P (i ,j)∈A: j∈VF (S) Q qi zij , ∀S ⊆ V 0 , S 6= ∅ (14) Ces contraintes sont non-linéaires. Proposition de linéarisation basées sur le lemme suivant : Lemme : Soient v , y et b trois entiers non négatifs, avec v > b et mod (v , b) 6= 0. Alors l m v y v −y ≥ − . b b mod (v , b) Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 (15) MOGISA - LAAS - CNRS 21/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1ers Résultats Linéarisation* En remarquant que le terme de droite équivaut à : X q(VC )− qi wi + X (i ,j)∈A: j∈VF (S) i ∈VC (S) qi zij ou q(VC (S))− X X qi zij − (i ,j)∈A: i ∈VC (S), j∈VF (S) (i ,j)∈A: i ∈VC (S), j∈VF (S) qi zij (16) On peut donc utiliser le lemme 1 pour obtenir : X 1 xe ≥ 2 e∈δ(S) q(VC ) Q X 1 − mod(q(VC ), Q) qi wi + i ∈VC (S) X 1 q(VC (S)) 1 xe ≥ − 2 Q mod(q(VC (S)), Q) e∈δ(S) ROADEF2013 Pas de relations de dominance Sandra U. Ngueveu X (i ,j)∈A: j∈VF (S) qi zij , (17) qi zij (18) X (i ,j)∈A: i ∈VC (S),j∈VF (S) MOGISA - LAAS - CNRS 22/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1 Introduction 2 Etat de l’art 3 Formulation proposée 4 Inégalités valides Inégalités en cardinalité ou de séparation polynomiale Inégalités RCI Linéarisations des contraintes de capacité RCII 5 1ers Résultats Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 1ers Résultats MOGISA - LAAS - CNRS 23/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1ers Résultats Implémentation et Instances* Implémentation C + Cplex (Cutting Plane) Intel Core 2Duo, 2.66 GHz 4Go de RAM Instances : CmRSP : VRPIF : génération à partir d’instances LRP 1. corrected Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 MOGISA - LAAS - CNRS 24/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1ers Résultats 1ers Résultats sur CmRSP* instance CmRSP A01-n026-m03.dat A02-n026-m04.dat A04-n026-m03.dat A05-n026-m04.dat A06-n026-m05.dat A10-n051-m03.dat A11-n051-m04.dat A12-n051-m05.dat A23-n076-m04.dat A24-n076-m05.dat A34-n101-m03.dat A35-n101-m04.dat A36-n101-m05.dat LB 242 261 300 339 374 242 261 286 381 439 363 410 439 UB 242 261 301 339 375 242 261 286 385 448 363 415 448 LB/UB 100.00 100.00 99.67 100.00 99.73 100.00 100.00 100.00 98.96 97.99 100.00 98.80 97.99 s 0.15 0.09 0.96 1.61 1.44 0.61 0.17 0.12 21.5 37.84 10.02 225.92 92.3 litérature 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 98.55 97.48 100 99.3 100.00 Résultats compétitifs avec la littérature, bien que notre algorithme n’ait pas été affiné pour ce cas particulier. 1. corrected Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 MOGISA - LAAS - CNRS 25/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1ers Résultats 1ers Résultats sur CmRSP* instance CmRSP B01-n026-m03.dat B02-n026-m04.dat B03-n026-m05.dat B04-n026-m03.dat B05-n026-m04.dat B06-n026-m05.dat B10-n051-m03.dat B11-n051-m04.dat B12-n051-m05.dat B22-n076-m03.dat B23-n076-m04.dat B24-n076-m05.dat B34-n101-m03.dat B35-n101-m04.dat B36-n101-m05.dat LB 1684 1827 2041 2091 2360 2611 1681 1821 1972 2160 2568 2977 2434 2732 2930 UB 1684 1827 2041 2104 2370 2615 1681 1821 1972 2253 2620 3059 2434 2782 3009 LB/UB 100.00 100.00 100.00 99.38 99.58 99.85 100.00 100.00 100.00 95.87 98.02 97.32 100.00 98.20 97.37 s 0.09 0.19 0.1 0.98 1.48 1.55 0.98 0.88 0.12 31.76 25.06 33.34 344.29 320.15 152.1 litérature 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 96 97.17 97.17 99.85 98.79 97.73 Résultats compétitifs avec la littérature, bien que notre algorithme n’ait pas été affiné pour ce cas particulier. 1. corrected Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 MOGISA - LAAS - CNRS 26/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1ers Résultats Résultats préliminaires sur VRPIF Instances Perl83-12x2.dat ppw-20-5-0-a.dat ppw-20-5-2-a.dat Gaskell-21x5.dat cr30x5a-1.dat cr30x5a-2.dat cr30x5a-3.dat cr30x5b-1.dat Gaskell-32x5.dat Gaskell-36x5.dat Christ-50x5.dat Christ-50x5_B.dat ppw-50-5-0-a.dat ppw-50-5-2-a.dat Perl83-55x15.dat Christ-75x10.dat Perl83-85x7.dat ppw-100-10-0-a.dat ppw-100-10-3-a.dat ppw-100-5-0-a.dat ppw-100-5-3-a.dat Sandra U. Ngueveu LB 100 252 238 367 630 654 551 726 559 407 505 516 614 552 437 734 581 1084 960 1240 1020 UB 100 253 247 371 636 664 578 726 565 411 515 533 ROADEF2013 LB/UB 100.00 99.60 96.36 98.92 99.06 98.49 95.33 100.00 98.94 99.03 98.06 96.81 s 0.09 2.61 2.82 4.84 5.11 7.59 6.26 4.35 10.58 9.8 38.59 43 128.3 84.93 124.83 269.08 352.33 597.2 600.15 602.89 598.52 MOGISA - LAAS - CNRS 27/ 28 Introduction Etat de l’art Formulation proposée Inégalités valides 1ers Résultats Formulation et coupes valides pour le problème de tournées de véhicules avec postes de livraison intermédiaires Sandra Ulrich NGUEVEU Roberto Baldacci, Roberto Wolfler Calvo LAAS-CNRS / LIPN / University of Bologna [email protected] 13/02/2013 Sandra U. Ngueveu ROADEF2013 MOGISA - LAAS - CNRS 28/ 28