Des inégalités impossibles Logo Question Réponse

Question du jeudi #23
Culture Math
Des inégalités impossibles
Logo

1


a(1 − b) > ,


4



1
b(1 − c) > ,

4





c(1 − a) > 1 .
4
Question
Soit a, b et c des nombres positifs. Montrer que l’on ne peut pas avoir simultanément les
trois inégalités suivantes.
1
a(1 − b) > ,
4
1
b(1 − c) > ,
4
1
c(1 − a) > .
4
Réponse
Si a > 0 et a(1 − b) >
1
> 0, le nombre 1 − b est lui aussi positif, donc b 6 1. Ainsi, on
4
a a, b, c ∈ [0, 1].
Une manière de répondre à la question est alors d’utiliser le résultat suivant :
1
Proposition. Soit x ∈ [0, 1]. Alors x(1 − x) 6 .
4
La preuve de cette proposition est aisée : x(1 − x) = x − x2 est un polynôme du second
degré de coefficient dominant négatif. Son maximum est donc atteint au milieu de ses racines,
1
c’est-à-dire en .
2
Ainsi, en multiplicant trois copies de cette inégalité (une pour chacune des variables), on
obtient
3
1
1
= .
a(1 − a)b(1 − b)c(1 − c) 6
4
64
Or, si les trois inégalités de la question étaient vraies, on obtiendrait en les multipliant
a(1 − b)b(1 − c)c(1 − a) = a(1 − a)b(1 − b)c(1 − c) >
ce qui est impossible.
1
1
,
64