Le module de Young et le coefficient de Poisson Forces

Le module de Young et le coefficient de Poisson Forces

Le module de Young et
le coefficient de Poisson
Forces interatomiques
z
z
Module de Young
F= dU/dr= So ( r - ro )
σ=
S0
ε = E.ε
r0
module de Young :
E=
σ/ε = S0 / r0
Module de Young
z
Interaction
entre ions
raideur So =
(d2U/dr²)r = ro
F= dU/dr=
So ( r - ro )
Module de Young
U = Ui −
q²
4πε 0 r
F = dU/dr = 0
+
B
rn
z
Liaison
ionique
en r=ro
q ².r0n −1
4πε 0 .n
α .q ²
S0 =
4πε 0 .r03
B=
Avec α = n-1
Module de Young
z
Interaction
entre ions
Na+ et ClS0 =
α .q ²
4πε 0 .r03
Avec α = 0.58
1
Module de Young
Type de liaison
S0. en
Nm-1
Covalente, liaison C-C
Ionique pure, par ex. Na-CI
Métallique pure, par ex.
Cu-Cu
Hydrogène, par ex. H20-H20
Van der Waals (cires,
polymères)
180
9 à 21
15 à 40
E en GPa
(approximé par
S0/r0
1000
30 à 70
30 à 150
1000 (diamant)
250 (Magnésie)
124 (cuivre)
2
1
8
2
10 (glace)
0.01(caoutchouc)
Module de Young
z
Emesuré en GPa
• température basse :
• liaisons VDW + ponts covalents
occasionnels
tempé
temp
érature de transition vitreuse, Tg
• température ambiante :
• ponts covalents occasionnels Ó
raideur¾
• Caoutchouc :
• température basse : E≈4 Gpa
• température ambiante : E≈0.01 Gpa
Module de Young
z
Caoutchouc
polymères
Module de Young
z
Comment À le module de Young des
polymères ?
En l’
l’associant à un maté
matériau plus rigide
Maté
Mat
Maté
riaux composites
composites
Matéériaux
Composites
• PRFV : les polymères renforcés par fibre de
verre
• PRFC : les polymères renforcés par fibre de
carbone
• PRFB : les polymères renforcés par fibre de
bore
• polymères chargés : des polymères renforcés
par de la poudre de verre ou de silice
• le bois : composite naturel de lignine
(polymère amorphe) rigidifiée par des fibres
de cellulose.
Composites
Matériau
E en GPa
PRFV
7-45
PRFC
70-200
Polyesters
1-5
Bois courants (// aux fibres)
9-16
Bois courants (⊥. aux fibres)
0,6-1,0
2
Module de Young
z
Calcul du module d’un
composite contenant une
fraction volumique Vf de fibres
• // aux fibres
• ⊥ aux fibres
z
Traction // aux fibres
EEcomposite ==VVf EEf ++(1
(1 --VVf f))EEmm
composite
f f
Module de Young
z
Module de Young
Module de Young
Traction ⊥ aux fibres
EEcomposite ==11 //((VVf /E
+ (1- V ) /E ))
composite
f /Ef f + (1- Vf f) /Em
m
Application 1
z
Coefficient de Poisson
Composite : 40% vol fibres de
verre (E=69 GPa), 60% vol résine
(E=3.4 GPa)
z
cristaux
• Calculer Ecomposite,long et Ecomposite,transv
5.5
5.5 GPa
GPa
30
30 GPa
GPa
• si section = 250mm² et
• calculer Ff et Fm
• calculer εf et εm
σlong=50 Mpa,
FFf== 11.64
11.64 kN,
kN, FFmm== 0.86
0.86 kN
kN
f
εεf=1.69
10-3-3 == εεm=1.69
10-3-3
f=1.69 10
m=1.69 10
3
Coefficient de Poisson
z
Coefficient de Poisson
Caoutchoucs
• ν ≈ 0.5 (pas de variation de volume
lors de la déformation : voir RDM)
Application 2
z
Tige cylindrique en laiton φ10mm
(E=97 GPa, υ = 0.34) soumise à
traction
• Calculer la charge nécessaire pour
rétrécir le diamètre de 2.5 10-3 mm
Application 3
z
Quel matériau choisir pour réaliser un
plancher le plus léger possible, pour une
déformabilité (δ
δ/p)
/p et une portée données
1m
L
p
5600
5600 N
N
δ
4
δδ=5
=5pL
pL4//(384
(384EI)
EI)
E (Gpa) Masse vol (g/cm³)
PRFC
Bois
PRFV
Aluminium
Béton
Acier
220
16
45
69
30
210
1.7
0.8
2.1
2.7
2.5
7.8
Résistance en traction
z
Résistance de
cohésion >>>
Limite élasticité
• ex. Acier : limite
élastique 235 MPa
et E=210 000 Mpa
• Pourquoi?
A cause des imperfections !!!
4