Fiche méthode : Vecteurs dans un rep`ere Table des - maths

Seconde-méthodes
Fiche méthode : Vecteurs dans un repère
Table des matières
1 Calcul des coordonnées
1.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2 vecteurs égaux
2.1 rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
3 Vecteurs et parallélogramme
3.1 Montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Déterminer le quatrième point d’ un parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
4 Vecteurs colinéaires
4.1 Définition et critère de colinéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
5 Utilisation de la colinéarité
5.1 Prouver le parallélisme de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Prouver l’alignement de trois points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
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Seconde-méthodes
Fiche méthode : Vecteurs dans un repère
Le plan est muni d’un repère (O; X; Y ).
1
Calcul des coordonnées
1.1
Cas général
−−→
Soit A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ) alors AB(xB − xA ; yB − yA ) (coordonnées de l’extrémité − coordonnées de
l’origine)
1.2
exemple
Exemple 1
On donne les points A(−1; 3) et B(4; −2) et C(−5; 3).
−−→ −−→
Calculer les coordonnées des vecteurs AB et BC
* Solution:
(
→ = xB − xA = 4 − (−1) = 5
x−
AB
→ = yB − yA = −2 − 3 = −5
y−
AB
−−→
donc AB(5; −5) (voir ci-contre contrôle des calculs
à l’aide du graphique)
(
−
→ = xC − xB = −5 − 4 = −9
x−
BC
−
→ = yC − yB = 3 − (−2) = 5
y−
BC
−−→
donc BC(0; 5) (voir ci-contre contrôle des calculs
à l’aide du graphique)
2
vecteurs égaux
2.1
rappels
−−→ −−→
AB = CD ⇐⇒ ABDC parallélogramme.
(
x = x0
→
−
→
u (x; y) = −
v (x0 ; y 0 ) ⇐⇒
y = y0
2.2
exemple
Exemple 2
→
On donne −
u (2; −3) et A(3; 1).
−−→ →
Déterminer les coordonnées de B tel que AB = −
u
* Solution:
−−→
−
→
u = AB
(
→
xB − xA = x−
u
⇐⇒
→
yB − yA = y−
u
(
→ = x−
→
x−
u
AB
⇐⇒
→ = y−
→
y−
u
AB
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Seconde-méthodes
Fiche méthode : Vecteurs dans un repère
(
xB − 3 = 2
⇐⇒
yB − 1 = −3
(
xB = 2 + 3 = 5
⇐⇒
yB = −3 + 1 = −2
3
donc B(5; −2)
Vecteurs et parallélogramme
3.1
Montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme
Méthode :
• Calculer les coordonnées de deux vecteurs (formés avec les côtés opposés du parallélogramme)
Attention au sens des vecteurs
• Vérifier que ces deux vecteurs sont égaux (coordonnées égales)
Exemple 3 Montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme
On donne A(3; 1), B(5; −1), C(3; −5) et D(1; −3) .
Montrer que ABCD est un parallélogramme.
* Solution:
(
→ = xB − xA = 5 − 3 = 2
x−
AB
→ = yB − yA = −1 − 1 = −2
y−
AB
−−→
donc AB(2; −2)
(
−→ = xC − xD = 3 − 1 = 2
x−
DC
−→ = yC − yD = −5 − (−3) = −2
y−
DC
−−→
donc DC(2; −2)
−−→ −−→
On a donc AB = DC (coordonnées égales) donc ABCD est un parallélogramme.
Remarque :
On peut aussi calculer les coordonnées du milieu de [AC] et de [BD] pour vérifier que les diagonales se
coupent en leurs milieux.
3.2
Déterminer le quatrième point d’ un parallélogramme
Méthode :
• Calculer les coordonnées d’un vecteur correspondant à l’un des côtés du parallélogramme.
−−→ −−→
• Utiliser ABCD est un parallélogramme ⇐⇒ AB = DC
Attention au sens des vecteurs
• Ecrire que les coordonnées des deux vecteurs doivent être égales et « isoler » les coordonnées du point
cherché
Exemple 4 Déterminer le quatrième point d’ un parallélogramme
On donne A(−2; −1), B(5; 3), C(2; 1)
Déterminer les coordonnées de D pour que que ABCD soit un parallélogramme.
* Solution:
(
→ = xB − xA = 5 − (−2) = 7
x−
AB
→ = yB − yA = 3 − (−1) = 4
y−
AB
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Seconde-méthodes
Fiche méthode : Vecteurs dans un repère
−−→
donc AB(7; 4)
Soit D(x; y),
(
−→ = xC − xD = 2 − x
x−
DC
−→ = yC − yD = 1 − y
y−
DC
−−→
donc DC(2 − x; 1 − y)
−−→ −−→
ABCD
⇐⇒ AB = DC (coordonnées égales)
( est un parallélogramme
(
7=2−x
x = 2 − 7 = −5
⇐⇒
⇐⇒
4=1−y
y = 1 − 4 = −3
donc D(−5; −3)
Remarque :
On peut aussi calculer les coordonnées du milieu I de [AC] et puis chercher D pour que I soit le milieu de
[BD] .
4
Vecteurs colinéaires
4.1
Définition et critère de colinéarité
−
−
Soit →
u (x; y) et →
v (x0 ; y 0 ) deux vecteurs non nuls.
(
x0 = kx
→
−
→
−
−
u et −
v sont colinéaires ⇐⇒ il existe un réel k tel que →
v = k→
u soit
y 0 = ky
proportionnelles)
⇐⇒ xy 0 − x0 y = 0
4.2
(les coordonnées sont
exemples
Exemple 5
→
−
Les vecteurs −
u (3; −2) et →
v (−4, 5; 3) sont-ils colinéaires ?
* Solution:
→
→
→
→
x−
u × y−
v − y−
u × x−
v = 3 × 3 − (−2) × (−4, 5) = 9 − 9 = 0
→
→
donc les vecteurs −
u et −
v sont colinéaires.
Remarque :
(
→
→
−1, 5x−
u = −1, 5 × 3 = −4, 5 = x−
v
On a :
→
→
−
−1, 5y−
=
−1,
5
×
(−2)
=
3
=
y
v
v
→
→
donc −1, 5−
u =−
v
5
5.1
Utilisation de la colinéarité
Prouver le parallélisme de deux droites
Méthode :
Pour montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles :
−−→ −−→
• Calculer les coordonnées des vecteurs AB et CD
−−→ −−→
• Vérifier que les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
−−→
−−→
• AB et CD sont colinéaires signifie que ces deux vecteurs ont la même direction donc que les droites
(AB) et (CD) sont parallèles.
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Seconde-méthodes
Fiche méthode : Vecteurs dans un repère
Exemple 6 Droites parallèles
On donne A(−2; −1), B(1; 1), C(2; 1) et D(8; 5)
(AB) et (CD) sont-elles parallèles ?
* Solution:
(
→ = xB − xA = 1 − (−2) = 3
x−
AB
→ = yB − yA = 1 − (−1) = 2
y−
AB
−−→
donc AB(1; 2)
(
−→ = xD − xC = 8 − 2 = 6
x−
CD
−→ = yD − yC = 5 − 1 = 4
y−
DC
−−→
donc CD(6; 4)
→ × y−−→ − y−→ × x−−→ = 3 × 4 − 2 × 6 = 12 − 12 = 0
x−
AB
CD
AB
−−→ CD−−→
donc les vecteurs AB et CD sont colinéaires
donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
5.2
Prouver l’alignement de trois points
Méthode :
Pour montrer que les droites A, B et C sont alignés :
−−→ −→
−−→
• Calculer les coordonnées des vecteurs AB et AC (ou BC·)
−−→ −→
• Vérifier que les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
−−→
−→
• AB et AC sont colinéaires signifie que ces deux vecteurs ont la même direction donc que les droites
(AB) et (AC) sont parallèles et confondues donc que A, B et C sont alignés.
Exemple 7 Alignement
On donne A(−2; 4), B(−1; 2) et C(3; −6) A, B et C sont-ils alignés ?
* Solution:
(
→ = xB − xA = −1 − (−2) = 1
x−
AB
→ = yB − yA = 2 − 4 = −2
y−
AB
−−→
donc AB(1; −2)
(
→ = xC − xA = 3 − (−1) = 4
x−
AC
→ = yC − yA = −6 − 2 = −8
y−
AC
−→
donc AC(5; −8)
→ × y−→ − y−→ × x−→ = 1 × (−8) − (−2) × 4 = −8 + 8 = 0
x−
AB
AC
AB
AC
−−→ −→
donc les vecteurs AB et AC sont colinéaires
donc les A, B et C sont alignés.
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