Calls binaires (quelques calculs) 1. Le delta d`un call binaire de prix

Calls binaires
(quelques calculs)
1. Le delta d’un call binaire de prix d’exercice K et dont le pay-off consiste en un paiement de cash de 1 –C
est donné par la formule
d2
1
1
2
√
∆callbin = e−rτ √ e− 2
sσ
τ
2π
où s est une valeur de S, τ = T − t, le temps restant à l’échéance, et
d2 =
o
1 n
s
√ log
+ (r − 12 σ 2 )τ .
K
σ τ
2. Lorsque l’option est à la monnaie, s = K et la formule pour d2 devient
d2 =
o
1 n
√ (r − 12 σ 2 )τ =
σ τ
1
σ
n
√ o
(r − 12 σ 2 ) τ .
Lorsque τ tend vers 0, d2 aussi et par conséquent
(r− 1 σ 2 )τ
2
1
1
√ = +∞.
lim ∆callbin = lim e−rτ √ e− 2σ2
τ →0
τ →0
sσ
τ
2π
2
s 2
3. Lorsque s 6= K et τ → 0 on a d22 ∼ σ12 τ log K
→ +∞ et par conséquent limτ →0 e−d2 /2 = 0. Par
√
2
croissance comparée e−d2 (τ ) /2 tend vers 0 plus rapidement que τ , donc
lim ∆callbin = 0.
τ →0
4. Pour couvrir un call binaire, on l’approche par une quantité de 1/h spreads verticaux (haussiers) de prix
d’exercice K1 = K et K2 = K + h où h représente le tick minimum imposé par la Bourse(*). Le pay-off
terminal est dessiné ci-dessous :
1
K K+h
Ainsi, le call K binaire est répliqué en prenant une position longue sur 1/h calls K vanille et une position
courte sur 1/h calls K + h vanille. Si une règle de tick minimum n’est pas présente sur le marché, cette
réplication est en réalité une approximation du call binaire.
(*) si cette règle de tick existe bien sur ce marché ; par définition, si le prix du sous-jacent à la date t est St , le
prix à l’instant suivant t + δt ne peut être que St+δt = St + ih où i est un entier relatif
2002-2007 michel miniconi
version du 19 novembre 2007