Feuille de TD 4

UVSQ
L2 S3 MA350
/
TD 4
Mathématiques assistées par ordinateur
Matrices.
Lancer Firefox et aller sur sagemath.ens.uvsq.fr. Se connecter sur Sage, et créer une nouvelle feuille sous le
nom habituel. Commencer par rentrer la commande automatic_names(True).
Vous devez mettre des commentaires pour indiquer tout ce qu’on fait.
Exercice 1.
Expliquez ce que font les commandes suivantes.
var('a,b,c,d,delta')
A=matrix(2,2,[a,b,c,d]);A
AA=matrix([[a,b],[c,d]]);AA
bool(A==AA)
det(A)
determinant(A)
A.det()
A.determinant()
Puis construisez l’inverse de A avec la commande inverse (essayez aussi avec A^(-1),A^-1), et nommez-le
Ainv. Testez, commentez et comparez les commandes suivantes
A*Ainv
(A*Ainv).simplify_rational()
puis
Ainv=A^-1.simplify_rational()
Ainv=(A^-1).simplify_rational()
A*Ainv
(A*Ainv).simplify_rational()
et enfin,
Ainv.subs_expr(det(A)==delta)
Ainv.apply_map(lambda x: x.subs_expr(det(A)==delta))
Exercice 2.
Les réponses à cet exercice doivent être différentes de celles des autres étudiants.
2.1
Donner un exemple de 2 matrices carrées d’ordre 2 qui ne commutent pas.
2.2
Donner un exemple de 2 matrices carrées d’ordre 3 qui ne commutent pas.
Exercice 3.
Expliquer ce que font les commandes suivantes.
matrix(2,2)
matrix(2,2,0)
matrix(2,2,1)
identity_matrix(2)
matrix(2,2,-1/3)
Exercice 4.
Soit la matrice
M=
cos t
− sin t
sin t
cos t
4.1
Calculer le déterminant de M . Le simplifier au maximum.
4.2
Est-ce que M est inversible ? Pourquoi ?
4.3
Calculer l’inverse de M . La simplifier au maximum.
1
4.4
Calculer la transposée de M .
4.5
Que répond bool(inverse(M)==transpose(M)) ?
4.6
Montrer pourtant avec Sage que M −1 = M t .
4.7
Comment s’appellent les matrices vérifiant cette propriété ?
4.8
Que vaut leur déterminant et pourquoi ?
Exercice 5.
Expliquer ce que font les commandes suivantes.
A2=copy(A);A2
A2[0,1]=5;A2
A
Quel est l’intérêt de la commande copy ?
Exercice 6.


2x + 3z = 1
−x + 4y + z = 0 .

3x − 5y + z = 2


 
2
0 3
1
2. Définissez, dans Sage, la matrice M =  −1 4 1  et le vecteur v =  0 , et calculez le produit
3 −5 1
2
M^(-1)*v. Comparez avec la question précédente.




2 3 1
1 1 1
3. Calculez le déterminant des matrices M 1 =  1 2 3  et M 2 =  1 1 1 , et expliquez en quoi
1 2 0
2 4 1
c’est relié aux résultats obtenus dans l’exercice 7 du TD1.


1 −2
6
(a) Testez la commande rank sur M 1 et M 2 et M 3 =  2 −4 12 . Pour M 1 et M 2, comparez
−4 8 −24
avec les résultats de la question précédente.

x + y + z = b1

x + 2y + 3z = b2 avec (b1 , b2 , b3 )
(b) Que pouvez-vous dire sur les solutions d’un système de la forme

2x + 4y + z = b3
quelconques.

 2x + 3y + z = b1
x + y + z = b2 , et
(c) Faites plusieurs essais, judicieux si possibles, de systèmes de la forme

x + 2y = b3
décrivez les solutions possibles.

x − 2y + 6z = b1

2x − 4y + 12z = b2 .
(d) Même question avec les systèmes de la forme

−4x + 8y − 24z = b3
1. Résolvez avec Sage le système
(e) En conclusion, expliquez les solutions possibles d’un système linéaire de 3 équations à 3 inconnues,
selon le rang de la matrice 3 par 3 associée.
1 1 1
1 −2 6
4. Définissez les matrices M M =
et N N =
.
1 2 3
−1 2 −6
(a) Calculez le rang de M M et N N .
(b) Comme
dans les questions 4.c et
4.d ci-dessus, décrivez les solutions possibles des systèmes de la
x + y + z = b1
x − 2y + 6z = b1
forme
et
.
x + 2y + 3z = b2
−x + 2y − 6z = b2
(c) En conclusion, expliquez les solutions possibles d’un système linéaire de 2 équations à 3 inconnues,
selon le rang de la matrice 2 par 3 associée.
5. Définissez les matrices tMM=transpose(MM) et tNN=transpose(NN).
(a) Calculez le rang de tM M et tN N .
2
(b) Comme ci-dessus, décrivez les solutions possibles des systèmes de la forme


x−y
−2x + 2y

6x − 6y


x+y
x + 2y

x + 3y
= b1
= b2
= b3
et
= b1
= b2 .
= b3
(c) En conclusion, expliquez les solutions possibles d’un système linéaire de 3 équations à 2 inconnues,
selon le rang de la matrice 3 par 2 associée.
6. Pouvez-vous rédiger (rigoureusement) quelles sont les solutions possibles d’un système linéaire de m équations à n inconnues, selon le rang de la matrice m par n associée (le rang peut varier de 1 à |m − n|).
Peut-être vous faudra-t-il séparer les cas m > n, m = n et n < m...
Exercice 7.
On peut également travailler avec des matrices qui ne sont pas carrées.
m11 m12 m13
n11 n12
1. Construisez les matrices M =
et N =
, puis testez M*N et N*M.
m21 m22 m23
n21 n22
2. Créez, avec la commande list, la liste [[1,2,3,4],[11,12,13,14]]. A partir de la liste précédente,
créez en une seule commande la matrice
1 2 3 4
M1 =
11 12 13 14
3. De la même manière que ci-dessus (avec deux commandes pour chaque

 
1

M2 = 0 1 ,
M3 =  4  et M4 = 

9
matrice), créez les matrices

0 1 2
1 2 3 
 .
2 3 4 
3 4 5
Si vous n’y arrivez pas, créez-les à la main.
4. Ecrivez une fonction qui prend 2 matrices X et Y , et qui renvoie le produit XY lorsque la multiplication
est possible, et qui renvoie 'On ne peut pas multiplier ces matrices' sinon.
5. Testez votre fonction et indiquez quels sont les produits possibles parmi les 4 matrices de la question 2.
6. Essayez maintenant d’améliorer votre fonction, pour qu’elle prenne 2 matrices X et Y , qu’elle indique
quelle(s) possibilité(s) de multiplication existe(nt), et qu’elle affiche le(s) résultat(s).
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