fiche de révision du bac
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FICHE DE RÉVISION DU BAC LE COURS [Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche] – SÉRIES ES / L MATHÉMATIQUES LA CONVEXITÉ Prérequis Fonctions usuelles – dérivation – fonctions exponentielle et logarithme népérien – tangentes à la courbe Plan du cours 1. Notions de convexité et de concavité 2. Dérivées premières, dérivées secondes 3. Point d’inflexion 1. Notions de convexité et de concavité Définitions : Une fonction est convexe si sa courbe représentative est située au-dessus de ses tangentes. Une fonction est concave si sa courbe représentative est située en-dessous de ses tangentes. Exemples : La fonction exponentielle est convexe : La fonction logarithme est concave : Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés FICHE DE RÉVISION DU BAC LE COURS [Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche] – SÉRIES ES / L MATHÉMATIQUES LA CONVEXITÉ D’où l’inégalité suivante, valable pour tout a et pour tout x appartenant au domaine de définition de la fonction : si f est convexe si f est concave Propriété dite « de l’inégalité des milieux » : - Soit f convexe sur I et a et b deux réels appartenant à I. Alors - Soit f concave sur I et a et b deux réels appartenant à I. Alors Remarques : - Une fonction peut être convexe sur un intervalle, et concave sur un autre. Ex : la fonction cube. - On peut deviner la convexité d’une fonction à l’allure de sa courbe : si la courbe « sourit », elle est convexe, si elle « boude », elle est concave. - Attention : il n’y a pas de lien a priori entre convexité et sens de variation. Une fonction peut être convexe et croissante, convexe et décroissante, concave et croissante puis décroissante, etc. - Fonctions usuelles : les fonctions carrée et exponentielle sont convexes. Les fonctions racine carrée et logarithme népérien sont concaves. La fonction inverse est concave sur et convexe sur . Les fonctions affines sont à la fois convexes et concaves. Propriétés : Produit d’une fonction u par un réel k : Somme de deux fonctions u et v : k>0 u convexe ku convexe u concave ku concave u convexe k<0 ku concave ku convexe u concave v convexe u + v convexe On ne peut pas conclure v concave On ne peut pas conclure u + v concave Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés FICHE DE RÉVISION DU BAC LE COURS [Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche] – SÉRIES ES / L MATHÉMATIQUES LA CONVEXITÉ 2. Dérivées premières, dérivées secondes Propriétés : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f’ est croissante sur I alors f est convexe sur I. Si f’ est décroissante sur I alors f est concave sur I. Définition : La dérivée seconde d’une fonction est la dérivée de sa dérivée. Elle se note f’’. Ex : Rappel : si la dérivée est positive alors la fonction est croissante, si la dérivée est négative, alors la fonction est décroissante. D’où : Propriétés : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f’’ est positive sur I alors f est convexe sur I. Si f’’ est négative sur I alors f est concave sur I. Récapitulatif : f f’ f’’ convexe croissante positive concave décroissante négative 3. Point d’inflexion Définition : Un point d’inflexion est un point où la courbe change de convexité. Elle passe de concave à convexe ou de convexe à concave. Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés FICHE DE RÉVISION DU BAC LE COURS [Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche] – SÉRIES ES / L MATHÉMATIQUES LA CONVEXITÉ Propriétés : - Soit f une fonction définie sur I et a un réel appartenant à I. Si f’’(a) = 0 alors le point d’abscisse a est un point d’inflexion. - La tangente au point d’inflexion traverse la courbe. Exemple : La fonction cube a pour point d’inflexion O (0 ; 0). La tangente en ce point (d’équation y = 0) traverse la courbe. Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés FICHE DE RÉVISION DU BAC LE COURS [Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche] – SÉRIES ES / L MATHÉMATIQUES LA CONVEXITÉ Annales, corrigés et résultats du BAC à retrouver sur Studyrama.com © Studyrama – Tous droits réservés