Le mod`ele de croissance avec apprentissage par la

Transcription

Introduction
Conditions d’équilibre
Détermination de l’équilibre
Macroéconomie 1 (3/6)
Le modèle de croissance avec apprentissage par la
pratique (Romer, 1986)
Olivier Loisel
ensae
Automne 2016
Olivier Loisel, Ensae
Macroéconomie 1 (3/6) : le modèle de Romer (1986)
Automne 2016
1 / 47
Introduction
Aperçu général
Le modèle de Romer (1986) endogénéise le progrès technique du modèle de
Cass-Koopmans-Ramsey pour mieux expliquer la croissance à long terme.
Paul M. Romer : économiste américain, né en 1955 à Denver, professeur à
l’Université de New York depuis 2011.
Ce modèle repose sur deux concepts clefs :
l’apprentissage par la pratique,
la diffusion des connaissances.
Il endogénéise le taux d’épargne du modèle de Frankel (1962) de la même
façon que le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey endogénéise le taux
d’épargne du modèle de Solow-Swan.
Automne 2016
2 / 47
Introduction
Rendements privés et sociaux du capital
Ce modèle fait une distinction entre
les rendements privés du capital, strictement décroissants,
les rendements sociaux du capital, constants.
Il s’agit d’un “modèle AK” ≡ modèle dans lequel la fonction de production
agrégée peut être réécrite sous la forme Yt = At Kt où At est exogène.
La constance des rendements sociaux du capital va
générer de la croissance à long terme,
entraı̂ner l’absence de convergence conditionnelle.
L’écart entre les rendements privés et sociaux du capital va donner un rôle à
la politique économique.
Automne 2016
3 / 47
Introduction
Variables exogènes *
Ni flux ni stocks :
temps continu, indicé par t,
prix des biens ≡ numéraire = 1,
(grand) nombre d’entreprises I .
Flux :
offre de travail = 1 par tête.
Stocks :
capital agrégé initial K0 > 0,
population Lt = L0 e nt , où L0 > 0 et n ≥ 0,
paramètre de productivité At = A0 e gt , où A0 > 0 et g ≥ 0.
(Dans les pages dont le titre est suivi d’un astérisque,
en bleu : changements par rapport au chapitre 2.)
Automne 2016
4 / 47
Introduction
Variables endogènes *
Prix :
coût réel d’usage du capital zt ,
salaire réel wt ,
taux d’intérêt réel rt .
Quantités − flux :
production Yi,t de l’entreprise i,
demande de travail Ni,t de l’entreprise i,
production agrégée Yt ≡ ∑Ii =1 Yi,t ,
demande de travail agrégée Nt ≡ ∑Ii =1 Ni,t ,
consommation agrégée Ct .
Quantités − stocks :
capital Ki,t de l’entreprise i (sauf en t = 0),
capital agrégé Kt ≡ ∑Ii =1 Ki,t (sauf en t = 0),
montant réel agrégé des actifs Bt ,
paramètre de productivité At .
Automne 2016
5 / 47
Introduction
Bien, agents privés, marchés, conditions d’équil. général *
Les bien, agents privés et marchés sont identiques à ceux du chapitre 2. En
particulier, les marchés sont en concurrence pure et parfaite.
Chaque agent privé résout son problème d’optimisation : du fait que tous les
marchés sont en concurrence pure et parfaite,
à chaque date t ≥ 0, chaque entreprise i choisit (Yi,t , Ki,t , Ni,t ), en
fonction des prix (wt , zt , rt ) et de la productivité At qu’elle considère
comme donnés, de façon à maximiser son profit instantané,
t Bt
à la date 0, le ménage représentatif choisit ( C
Lt , Lt )t ≥0 , en fonction des
prix (wt , zt , rt )t ≥0 qu’il considère comme donnés, de façon à maximiser
son utilité intertemporelle (en anticipation parfaite) sous contraintes.
Les prix sont tels que chaque marché est équilibré à chaque date t ≥ 0 :
wt équilibre le marché du travail : Nt = Lt ,
zt équilibre le marché du capital,
rt équilibre le marché des prêts.
Automne 2016
6 / 47
Introduction
Plan du chapitre
1
Introduction
2
3
4
Sous-optimalité de l’équilibre
5
Conclusion
Automne 2016
7 / 47
Introduction
1
Introduction
2
Comportement des entreprises
Comportement des ménages
Equilibre des marchés
3
4
5
Conclusion
Automne 2016
8 / 47
Introduction
Comportement des ménages *
Les ménages sont modélisés exactement comme au chapitre 2, avec une
élasticité de substitution intertemporelle constante, égale à 1θ .
Leur comportement est donc caractérisé par les conditions d’équilibre
·
bt = wt + (rt − n )bt − ct (contrainte budgétaire instantanée),
·
ct
ct
=
lim
rt −ρ
θ
t →+∞
h
(équation d’Euler),
i
Rt
bt e − 0 (rτ −n)d τ = 0 (condition de transversalité),
où
t
ct ≡ C
Lt est la consommation par tête,
ρ le taux de préférence pour le présent (ρ > n > 0),
t
bt ≡ B
Lt le montant total des actifs en unités de bien par personne.
Automne 2016
9 / 47
Introduction
Fonction de production et efficacité du travail
Production de chaque entreprise i : Yi,t = F (Ki,t , At Ni,t ), où la fonction
de production F satisfait les mêmes propriétés qu’au chapitre 2.
K
i,t
t
Efficacité du travail dans chaque entreprise i : At = K
Lt (et non Ai,t = Ni,t ).
Cette spécification capture deux concepts définis par Arrow (1962) :
l’apprentissage par la pratique : plus le stock de capital par tête est
élevé, plus chaque travailleur est efficace,
la diffusion des connaissances (supposée instantanée) entre les
entreprises, en raison de la nature non-rivale et non-exclusive de ces
connaissances.
Automne 2016
10 / 47
Introduction
Non-rivalité et non-exclusion
Bien de nature non-rivale ≡ bien dont la consommation par un agent n’a
aucun effet sur la quantité disponible pour les autres agents.
Bien de nature non-exclusive ≡ bien dont chaque agent peut bénéficier
sans coût.
Dans le chapitre 4, nous considérerons un bien de nature non-rivale mais
exclusive (à savoir, la capacité ou le droit de produire un type de bien
intermédiaire, du fait d’un secret ou d’un brevet de fabrication).
Automne 2016
11 / 47
Introduction
Des nains sur les épaules de géants
t
L’efficacité du travail At = K
Lt est un stock.
Cela traduit l’idée que le savoir(-faire) s’accumule au cours du temps.
On dit que les agents privés sont “des nains sur les épaules de géants”.
La première trace écrite connue de cette expression se trouve dans de
Salisbury (1159) : “Bernard de Chartres used to say that we are like dwarfs
on the shoulders of giants, so that we can see more than they, and things at
a greater distance, not by virtue of any sharpness of sight on our part, or
any physical distinction, but because we are carried high and raised up by
their giant size.”
Automne 2016
12 / 47
Introduction
Arrow, de Salisbury, de Chartres
Kenneth J. Arrow : économiste américain, né en 1921 à New York,
professeur à l’Université de Stanford depuis 1979, co-lauréat (avec John R.
Hicks) du prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire
d’Alfred Nobel en 1972 “for their pioneering contributions to general
economic equilibrium theory and welfare theory ”.
Jean de Salisbury : philosophe et historien anglais, né vers 1115 à
Salisbury, mort en 1180 à ou près de Chartres.
Bernard de Chartres : philosophe français, né vers 1130, mort vers 1160.
Automne 2016
13 / 47
Introduction
Problème d’optimisation des entreprises *
Comme au chapitre 2, on suppose que
les entreprises louent leur stock de capital à chaque date,
il n’y a pas de coût d’ajustement du capital.
Donc, à chaque date t, l’entreprise i choisit Ki,t et Ni,t de façon maximiser
son profit instantané
F (Ki,t , At Ni,t ) − zt Ki,t − wt Ni,t
t
en considérant zt , wt et At = K
Lt comme donnés.
Automne 2016
14 / 47
Introduction
Conditions du premier ordre *
Comme au chapitre 2, en notant Fj la dérivée partielle de F par rapport à
son j ième argument pour j ∈ {1, 2}, on obtient les conditions du premier
ordre
F1 (Ki,t , At Ni,t )
= zt ,
At F2 (Ki,t , At Ni,t ) = wt .
Comme au chapitre 2, on en déduit que
le profit instantané est nul quels que soient Ki,t et Ni,t ,
Ki,t
Ni,t
Kt
ne dépend pas de i et vaut donc N
,
t
I
Yt ≡ ∑i =1 Yi,t = F (Kt , At Nt ).
Automne 2016
15 / 47
Introduction
Rendements sociaux du capital
t
En utilisant At = K
Lt , on obtient alors la fonction de production agrégée
Nt
Nt
Yt = Kt F 1,
≡ F S Kt ,
.
Lt
Lt
S la dérivée seconde de F S par rapport à son j ième argument
En notant Fj,j
pour j ∈ {1, 2}, on obtient
Nt
S
∀Kt > 0,
F1,1
Kt ,
= 0,
Lt
donc les rendements sociaux du capital sont constants.
Automne 2016
16 / 47
Introduction
Rendements privés du capital
La fonction de production individuelle de l’entreprise i est
Kt
Kt
Yi,t = F Ki,t ,
Ni,t ≡ F P Ki,t , Ni,t ,
.
Lt
Lt
P la dérivée seconde de F P par rapport à son j ième argument
En notant Fj,j
pour j ∈ {1, 2, 3}, on obtient
Kt
P
∀Ki,t > 0,
F1,1 Ki,t , Ni,t ,
< 0,
Lt
donc les rendements privés du capital sont strictement décroissants.
Automne 2016
17 / 47
Introduction
Coût d’usage du capital *
Comme au chapitre 2, on suppose que le capital se déprécie au taux δ.
Comme au chapitre 2, on suppose que les ménages peuvent
louer leurs biens comme capital aux entreprises,
prêter leurs biens aux autres ménages.
Donc, comme au chapitre 2, on obtient la condition d’équilibre
rt = zt − δ.
Automne 2016
18 / 47
Introduction
Equilibre des marchés *
Comme au chapitre 2, les conditions d’équilibre des marchés sont
Bt = Kt (marchés des actifs),
Nt = Lt (marché du travail),
·
Kt = Yt − Ct − δKt (marché des biens).
En utilisant Nt = Lt , on peut réécrire la fonction de production agrégée
comme Yt = F (1, 1)Kt , donc le modèle est un modèle AK.
Automne 2016
19 / 47
Introduction
1
Introduction
2
3
Conditions d’équilibre sur kt et ct
Détermination de kt et ct
Implications
4
5
Conclusion
Automne 2016
20 / 47
Introduction
Conditions d’équilibre sur kt et ct I *
En notant f (x ) ≡ F (x, 1) pour tout x > 0 et en dérivant F (Ki,t , At Ni,t ) =
K
At Ni,t f ( At Ni,t ) par rapport à Ki,t et Ni,t , on obtient
i,t
Ki,t
F1 (Ki,t , At Ni,t ) = f 0
,
At Ni,t
Ki,t
Ki,t 0
Ki,t
−
f
.
At F2 (Ki,t , At Ni,t ) = At f
At Ni,t
At Ni,t
At Ni,t
K
Kt
t
En utilisant Ni,t = N
, Nt = Lt , At = K
Lt ≡ kt et rt = zt − δ, on peut alors
t
i,t
réécrire les conditions du premier ordre du problème d’optimisation des
entreprises comme
rt = f 0 (1) − δ et wt = [f (1) − f 0 (1)]kt .
Automne 2016
21 / 47
Introduction
Conditions d’équilibre sur kt et ct II
Ces dernières conditions permettent de réécrire la contrainte budgétaire
instantanée des ménages comme
·
bt = [f (1) − f 0 (1)]kt + [f 0 (1) − (n + δ)]bt − ct .
En utilisant Bt = Kt , qui implique bt = kt , on obtient alors
·
kt = f (1)kt − ct − (n + δ)kt .
Cette équation différentielle s’interprète comme “variation du stock de
capital = épargne − dilution − dépréciation” (par tête) et implique
l’équilibre sur le marché des biens (conséquence de la loi de Walras).
Automne 2016
22 / 47
Introduction
Conditions d’équilibre sur kt et ct III
En utilisant rt = f 0 (1) − δ, on peut réécrire l’équation d’Euler comme
·
ct
f 0 (1) − ( δ + ρ )
=
.
ct
θ
En utilisant bt = kt et rt = f 0 (1) − δ, on peut réécrire la condition de
transversalité comme
lim
t →+∞
n
0
kt e −[f (1)−(n+δ)]t
o
= 0.
Automne 2016
23 / 47
Introduction
Conditions d’équilibre sur kt et ct IV
(kt )t ≥0 et (ct )t ≥0 sont donc déterminés par deux équations différentielles,
une condition initiale et une condition terminale :
·
kt = [f (1) − (n + δ)]kt − ct ,
·
f 0 (1) − ( δ + ρ )
ct
=
,
ct
θ
K
k0 = 0 ,
L0
n
o
−[f 0 (1)−(n+δ)]t
lim kt e
= 0.
t →+∞
Les autres variables endogènes sont déterminées résiduellement, à partir de
(kt )t ≥0 et (ct )t ≥0 , par les autres conditions d’équilibre.
Automne 2016
24 / 47
Introduction
Détermination de kt et ct I
·
L’équation différentielle en ct s’intègre pour donner
ct = c0 e
f 0 (1)−(δ+ρ)
t
θ
.
On se restreint aux valeurs des paramètres telles que
f 0 (1) > δ + ρ, de façon à ce que le taux de croissance de la
consommation par tête soit strictement positif,
θ 0
ρ − n > 1−
θ [f (1) − ( δ + ρ )], de façon à ce que l’utilité
intertemporelle prenne une valeur finie.
Automne 2016
25 / 47
Introduction
Détermination de kt et ct II
·
On peut alors réécrire l’équation différentielle en kt comme
·
kt = [f (1) − (n + δ)]kt − c0 e
f 0 (1)−(δ+ρ)
t
θ
.
Puis, en réarrangeant les termes et en multipliant par e −[f (1)−(n+δ)]t ,
·
kt − [f (1) − (n + δ)]kt e −[f (1)−(n+δ)]t = −c0 e − ϕt ,
où ϕ ≡ f (1) − (n + δ) −
f 0 (1)−(δ+ρ)
.
θ
Automne 2016
26 / 47
Introduction
Détermination de kt et ct III
On montre que ϕ > f (1) − f 0 (1) > 0 en quatre étapes :
1
2
En dérivant F (1, x ) = xf ( x1 ) par rapport à x ∈ R+ , on obtient
F2 (1, x ) = f ( x1 ) − x1 f 0 ( x1 ). Or F2 (1, 1) > 0, donc f (1) − f 0 (1) > 0.
on obtient ϕ − [f (1) − f 0 (1)] =
3
4
f 0 (1)−(δ+ρ)
,
θ
δ+ρ
θ −1 0
θ f (1) − (n + δ ) + θ .
En utilisant ϕ ≡ f (1) − (n + δ) −
θ 0
On réécrit la condition ρ − n > 1−
θ [f (1) − ( δ + ρ )]
θ −1 0
θ −1
comme θ f (1) > n − ρ + θ (δ + ρ).
On déduit des deux précédentes étapes que
ϕ − [f (1) − f 0 (1)] > n − ρ + θ −θ 1 (δ + ρ) − n − δ +
δ+ρ
θ
= 0.
Automne 2016
27 / 47
Introduction
Détermination de kt et ct IV
On peut donc intégrer l’égalité précédente pour obtenir
c
c
kt e −[f (1)−(n+δ)]t − k0 = 0 e − ϕt − 0
ϕ
ϕ
f 0 (1)−(δ+ρ)
c0
c
t
θ
.
puis kt = k0 −
e [f (1)−(n+δ)]t + 0 e
ϕ
ϕ
La condition de transversalité se réécrit alors
0
0
c
c
lim
k0 − 0 e [f (1)−f (1)]t + 0 e [f (1)−f (1)− ϕ]t = 0
t →+∞
ϕ
ϕ
et implique c0 = ϕk0 > 0 puisque ϕ > f (1) − f 0 (1) > 0 (comme au
chapitre 2, c0 s’ajuste pour satisfaire la condition de transversalité).
Automne 2016
28 / 47
Introduction
Détermination de kt et ct V
On obtient donc finalement
kt = k0 e
f 0 (1)−(δ+ρ)
t
θ
et ct = ϕk0 e
f 0 (1)−(δ+ρ)
t
θ
.
Croissent donc au même taux constant
le stock de capital par tête kt ,
la consommation par tête ct ,
la production par tête yt = f (1)kt .
f 0 (1)−(δ+ρ)
,
θ
et 1θ ,
Ce taux de croissance, égal à
dépend
positivement de f 0 (1)
négativement de δ et ρ,
ce qui s’interprète par l’équation d’Euler, comme au chapitre 2.
Automne 2016
29 / 47
Introduction
Détermination de kt et ct VI
Du fait des rendements sociaux constants du capital,
le taux de croissance à long terme dépend de f 0 (1), 1θ , δ et ρ,
la convergence vers l’état régulier est instantanée,
ce qui n’est pas le cas dans le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey, dans
lequel les rendements du capital sont décroissants.
Le niveau initial de la consommation par tête c0 = ϕk0 dépend
positivement de k0 , f (1), ρ et (si 1θ > 1) δ,
négativement de f 0 (1), n, 1θ et (si 1θ < 1) δ.
·
c0 et cctt réagissent en sens opposés à une variation de ρ, f 0 (1), 1θ ou (si
1 > 1) δ pour satisfaire la contrainte budgétaire intertemporelle.
θ
Automne 2016
30 / 47
Introduction
Faits stylisés de Kaldor (1961)
Le modèle de Romer (1986) rend donc compte non seulement des cinq
premiers faits stylisés de Kaldor (1961), comme le modèle de CassKoopmans-Ramsey à l’état régulier, mais aussi du 6ème :
·
1
2
la production par tête croı̂t : yytt =
le stock de capital par tête croı̂t :
f 0 (1)−(δ+ρ)
θ
·
kt
kt
=
≥ 0,
f 0 (1)−(δ+ρ)
θ
≥ 0,
3
le taux de rendement du capital est constant : rt = f 0 (1) − δ,
4
1
t
le ratio capital / production est constant : K
Yt = f ( 1 ) ,
5
les parts de rémunération du travail et du capital dans la production
f (1)−f 0 (1)
f 0 (1)
t Kt
=
sont constantes : wYt Lt t =
et zY
,
f (1)
f (1)
t
6
le taux de croissance de la production par tête varie entre les pays :
·
0
δ+ρ)
= f (1)−(
varie entre les pays lorsque les paramètres de
θ
préférence ρ et θ varient entre les pays.
yt
yt
Automne 2016
31 / 47
Introduction
Ni convergence absolue, ni convergence conditionnelle
On a ln(yt ) = ln(y0 ) +
f 0 (1)−(δ+ρ)
t,
θ
où y0 = f (1)k0 .
Il n’y a donc pas de convergence à long terme des ln(yt ) entre les pays ayant
des y0 différents, même s’ils ont les mêmes paramètres
de technologie f (.),
d’évolution du capital et du travail n, δ,
de préférence ρ, θ.
Le modèle ne prédit donc ni convergence absolue, ni convergence
conditionnelle des ln(yt ) entre les pays, contrairement aux modèles de
Solow-Swan et Cass-Koopmans-Ramsey.
L’absence de convergence conditionnelle est en désaccord avec les données
empiriques, comme l’a vu au chapitre 1.
Automne 2016
32 / 47
Introduction
Effet permanent des chocs
Un choc exogène non anticipé sur le stock de capital ne modifie pas la pente
du sentier de ln(yt ), mais modifie son ordonnée à l’origine.
Donc, suite à un tel choc, ln(yt ) ne “rattrape” pas sa trajectoire initiale : le
choc a un effet permanent.
Cette prédiction est en accord avec l’hypothèse, non rejetée par les données,
de racine unitaire dans les séries macroéconomiques.
Les modèles de Solow-Swan et Cass-Koopmans-Ramsey prédisent au
contraire qu’un tel choc n’a pas d’effet permanent sur ln(yt ) car il ne
modifie pas son sentier d’état régulier.
Automne 2016
33 / 47
Conclusion
1
Introduction
2
3
4
Externalité
Sous-optimalité sociale de l’équilibre concurrentiel
Rôle de la politique économique
5
Conclusion
Automne 2016
34 / 47
Conclusion
Externalité I
A Kj,t donnés pour j 6= i, une variation de Ki,t a simultanément
un effet direct sur Yi,t = F (Ki,t , At Ni,t ),
t
un effet indirect sur tous les Yj,t pour j ∈ {1, ..., I }, via At = K
Lt .
L’entreprise i ne prend en compte que le premier effet lorsqu’elle choisit Ki,t
car
elle ne prend pas en compte l’effet indirect sur les Yj,t pour j 6= i,
l’effet indirect sur Yi,t est négligeable par rapport à l’effet direct sur
Yi,t (I étant grand, une variation de Ki,t affecte peu Kt et At ).
On dit qu’il y a externalité de diffusion des connaissances entre les
entreprises.
Automne 2016
35 / 47
Conclusion
Externalité II
Une variation de Kt a deux effets simultanés sur Yt = F (Kt , At Nt ) :
un effet direct,
t
un effet indirect, via At = K
Lt .
Le planificateur omniscient, omnipotent et bienveillant P OOB prend en
compte les deux effets lorsqu’il choisit Kt , car ils sont du même ordre de
grandeur.
On dit que le P OOB internalise l’externalité de diffusion des
connaissances entre les entreprises.
On doit donc s’attendre à ce que, par rapport à l’équilibre concurrentiel, le
P OOB commande plus d’investissement.
Automne 2016
36 / 47
Conclusion
Sous-optimalité sociale de l’équilibre concurrentiel I
L’équilibre concurrentiel est socialement optimal si et seulement s’il coı̈ncide
avec l’allocation choisie par le P OOB .
Problème d’optimisation du P OOB : pour k0 > 0 donné,
"
max
(ct )t ≥0 ,(kt )t >0
L0
Z +∞
0
e
1− θ
−(ρ−n)t ct
−1
dt
1−θ
#
sous les contraintes
1
∀t ≥ 0, ct ≥ 0 (contrainte de positivité de la consommation),
2
∀t > 0, kt ≥ 0 (contrainte de positivité du capital),
3
∀t ≥ 0, kt = [f (1) − (n + δ)]kt − ct (contrainte de ressources).
·
Automne 2016
37 / 47
Conclusion
Sous-optimalité sociale de l’équilibre concurrentiel II
Hamiltonien associé au problème d’optimisation du P OOB :
c 1− θ − 1
H p (ct , kt , λpt ) ≡ t
+ λpt {[f (1) − (n + δ)]kt − ct }
1−θ
où λpt représente la valeur, mesurée en unités d’utilité à la date t, d’une
augmentation d’une unité de bien des ressources à la date t.
En appliquant la théorie du contrôle optimal, on obtient alors
λpt = ct−θ (condition du premier ordre sur la variable de contrôle),
·
λpt = [ρ + δ − f (1)]λpt (cond. d’évolution de la co-variable d’état),
·
kt = [f (1) − (n + δ)]kt − ct (contrainte de ressources),
h
i
lim kt λpt e −(ρ−n)t = 0 (condition de transversalité).
t →+∞
Automne 2016
38 / 47
Conclusion
Sous-optimalité sociale de l’équilibre concurrentiel III
On en déduit, par des calculs similaires à ceux du chapitre 2,
·
·
kt = [f (1) − (n + δ)]kt − ct (équation différentielle en kt ),
·
ct
ct
=
·
f (1)−(ρ+δ)
θ
(équation différentielle en ct ),
n
o
lim kt e −[f (1)−(n+δ)]t = 0 (condition de transversalité).
t →+∞
0
Ces trois conditions et k0 = K
L0 déterminent (kt )t ≥0 et (ct )t ≥0 .
·
L’équation différentielle en ct s’intègre pour donner ct = c0 e
f (1)−(δ+ρ)
t
θ
.
On se restreint aux valeurs des paramètres telles que
θ
ρ − n > 1−
θ [f (1) − ( δ + ρ )], de façon à ce que l’utilité intertemporelle
prenne une valeur finie.
Automne 2016
39 / 47
Conclusion
Sous-optimalité sociale de l’équilibre concurrentiel IV
·
On peut alors réécrire l’équation différentielle en kt comme
·
kt = [f (1) − (n + δ)]kt − c0 e
f (1)−(δ+ρ)
t
θ
.
Puis, en réarrangeant les termes et en multipliant par e −[f (1)−(n+δ)]t ,
·
p
kt − [f (1) − (n + δ)]kt e −[f (1)−(n+δ)]t = −c0 e − ϕ t ,
où ϕp ≡
θ −1
θ f
(1) − (n + δ ) +
δ+ρ
θ .
θ
p
De la condition ρ − n > 1−
θ [f (1) − ( δ + ρ )], on déduit que ϕ > 0.
Automne 2016
40 / 47
Conclusion
Sous-optimalité sociale de l’équilibre concurrentiel V
On peut donc intégrer l’égalité précédente pour obtenir
p
c
c
kt e −[f (1)−(n+δ)]t − k0 = 0p e − ϕ t − 0p
ϕ
ϕ
f (1)−(δ+ρ)
c0
c
t
θ
puis kt = k0 − p e [f (1)−(n+δ)]t + 0p e
.
ϕ
ϕ
La condition de transversalité se réécrit alors
p
c
c
lim
k0 − 0p + 0p e − ϕ t = 0
t →+∞
ϕ
ϕ
et implique c0 = ϕp k0 > 0 puisque ϕp > 0 (comme au chapitre 2, c0 est
choisi de façon à satisfaire la condition de transversalité).
Automne 2016
41 / 47
Conclusion
Sous-optimalité sociale de l’équilibre concurrentiel VI
On obtient donc finalement
kt = k0 e
f (1)−(δ+ρ)
t
θ
f (1)−(δ+ρ)
f (1)−(δ+ρ)
t
t
θ
θ
, ct = ϕp k0 e
et yt = f (1)k0 e
.
Ces résultats diffèrent de ceux obtenus précédemment, donc l’équilibre
concurrentiel n’est pas socialement optimal.
Plus précisément, l’équilibre concurrentiel est socialement sous-optimal
: U0 prend une valeur strictement plus faible à l’équilibre concurrentiel
qu’avec le P OOB .
Ce dernier point, qui se vérifie aisément par calcul, vient du fait que le
P OOB ne choisit pas l’allocation de l’équilibre concurrentiel alors qu’elle
satisfait les trois contraintes de son problème d’optimisation.
Automne 2016
42 / 47
Conclusion
Sous-optimalité sociale de l’équilibre concurrentiel VII
Le taux de croissance de kt , ct et yt est égal à
f (1)−(δ+ρ)
avec le P OOB ,
θ
f 0 (1)−(δ+ρ)
à l’équilibre concurrentiel.
θ
Or, du fait de l’externalité, le produit marginal social du capital, f (1), est
strictement supérieur au produit marginal privé du capital, f 0 (1).
Donc la croissance est plus élevée avec le P OOB : ce dernier, qui
internalise l’externalité, commande plus d’investissement.
Et, par conséquent, c0 est plus faible avec le P OOB :
f (1) − f 0 (1)
p
ϕ k0 = ϕ −
k0 < ϕk0 .
θ
Automne 2016
43 / 47
Conclusion
Rôle de la politique économique
Le fait que l’équilibre concurrentiel soit socialement sous-optimal donne un
rôle à la politique économique.
Le TD 4 montre qu’une autorité fiscale peut mettre en œuvre l’allocation du
P OOB dans un cadre décentralisé en
subventionnant l’investissement à un taux tel que le rendement
privé du capital soit égal à son rendement social,
finançant cette subvention par un impôt forfaitaire sur les
ménages, qui ne “distord” pas leurs choix,
ou bien, de manière alternative, en
subventionnant les revenus des actifs à un taux tel que le
rendement privé du capital soit égal à son rendement social,
finançant cette subvention par une taxe sur les revenus du
travail, qui ne “distord” pas les choix des ménages du fait de la nature
exogène de leur offre de travail.
Automne 2016
44 / 47
Conclusion
Conclusion
1
Introduction
2
3
4
5
Conclusion
Automne 2016
45 / 47
Conclusion
Principales prédictions du modèle
A court comme à long terme,
la croissance dépend des paramètres de technologie, de préférence,
d’évolution du capital, et seulement de ces paramètres,
les six faits stylisés de Kaldor (1961) sont obtenus.
L’effet de l’accumulation du capital sur la croissance ne disparaı̂t pas à long
terme grâce à la constance des rendements sociaux du capital.
Il y a ni convergence absolue ni convergence conditionnelle des niveaux de
production par tête (en logarithme) entre les pays.
L’équilibre concurrentiel est socialement sous-optimal, à cause de la présence
d’une externalité.
Des politiques économiques de subvention, financées par impôt forfaitaire,
peuvent mettre en œuvre l’équilibre socialement optimal.
Automne 2016
46 / 47
Conclusion
Principales limites du modèle
Le modèle correspond au cas spécial où les rendements sociaux du capital
sont constants car les effets d’apprentissage et de diffusion compensent
exactement la décroissance de ses rendements privés (le TD 4 montre à quel
point ce cas est spécial).
,→ Le chapitre 4 ne fait pas d’hypothèse “sur le fil du rasoir” concernant la
valeur d’un paramètre.
Le modèle explique la croissance de long terme par l’accumulation
involontaire et non rémunérée de la connaissance.
,→ Le chapitre 4 l’explique par l’accumulation volontaire et rémunérée de la
connaissance en introduisant la notion de brevet.
Automne 2016
47 / 47

Le mod`ele de croissance avec apprentissage par la

Transcription

Documents pareils

Le potentiel chimique - Le Repaire des Sciences

Université Paris I Panthéon Sorbonne Année universitaire 2011

Les mathématiques, au service de l`économie

TD6

Etude de la robustesse aux informations de structure et d

Les points de Lagrange

Concurrence en contrats - Paris School of Economics

Fusion bidimensionnelle d`un cristal de pics de ferrofluide

T.Tomala. HEC Majeure Economie Examen corrigé de théorie des

o 10 : Oscillateur harmonique (CCP 2006, MP)