1. Nombres entiers et décimaux

COLLÈGE CHARLES III
MONACO
Chapitre I
Nombres entiers et décimaux
Objectifs de ce chapitre :
Connaître et utiliser la valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l'écriture d'un entier ou
d'un décimal.
Associer diverses désignations d’un nombre décimal : écriture à virgule, fractions décimales.
Un Mathématicien :
!
Les Égyptiens de l'Antiquité utilisaient un système de numération décimal mais dans
lequel zéro n'existait pas. Chaque ordre de grandeur (unités, dizaines, centaines, etc.) possédait un
signe répété le nombre de fois nécessaire. C'est donc un système additionnel.
1
!
10
100
1 000
La numération égyptienne n'est pas une numération de position. Autrement dit, le
nombre :
, et le nombre,
sont un seul et même nombre, 12.
!
Le hiéroglyphe indique donc l'ordre de grandeur qu'il code par son tracé même et non pas
par sa position dans l'écriture du nombre : l'inconvénient de cette numération se fait apparent si on
songe à l'écriture du nombre 9 999 999 par exemple, qui n'exige l'écriture que de sept chiffres dans
notre numération de position, alors qu'il en faudrait soixante-trois en numération égyptienne.
Arts et mathématiques :
!
En topologie, le ruban de Möbius est une surface
compacte dont le bord est homéomorphe à un cercle.
Autrement dit, il ne possède qu'une seule face
contrairement à un ruban classique qui en possède deux.
Cette surface a été décrite indépendamment en 1858 par les
mathématiciens August Ferdinand Möbius (1790-1868) et
Johann Benedict Listing (1808-1882). Le nom du premier fut
retenu grâce à un mémoire présenté à l'Académie des
sciences à Paris. On trouve également les dénominations de
« bande », « anneau » ou « ceinture » de Möbius, et on écrit
parfois « Mœbius » ou « Moebius ».
!
Il est facile de visualiser la bande de Möbius dans
l'espace : un modèle simple se réalise en faisant subir une
torsion d'un demi-tour à une longue bande de papier, puis
en collant les deux extrémités.
Le ruban de Möbius II (xylogravure - 1963) - M.C. Escher
PAGE 1 SUR 4
6ème
COLLÈGE CHARLES III
MONACO
I. Les nombres
Définition :!
!
Un chiffre est un caractère destiné à l’écriture des nombres, de même que les
lettres sont des caractères destinés à l’écriture des mots.
!
Il existe des chiffres romains écrits avec des lettres majuscules ( I V X L C D M)
et dix chiffres arabes que nous utilisons (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ).
!
Un nombre est composé d’un ou plusieurs chiffres.
Exemple : 145 est un nombre composé de trois chiffres
!
5 est à la fois un chiffre, et un nombre composé d’un chiffre
Définition :
!
L'écriture d’un nombre décimal se compose de deux parties séparées par une
virgule.
!
La partie à gauche de la virgule est la partie entière.
!
La partie à droite de la virgule est la partie décimale.
Exemple : 234,89 est un nombre décimal
!
la partie entière est 234
!
la partie décimale est 0,89
Remarque : Un nombre entier est un nombre décimal dont la partie décimale est nulle.
Définition :
!
Dans l'écriture décimale d’un nombre, la valeur d’un chiffre dépend de sa
position.
!
La position du chiffre s’appelle aussi le rang du chiffre.
PAGE 2 SUR 4
centièmes
0
2
5
0
6
0
0
0
0
1
4 ,
dixmillièmes
dixièmes
4
1
millièmes
unités
2
dizaines
9 ,
centaines
1
Partie décimale
unités de
mille
dizaines de
mille
centaines de
mille
unités de
millions
Partie entière
0
6ème
COLLÈGE CHARLES III
MONACO
Exemple : Dans le nombre 1 509,24
Le chiffre des centaines est 5
Le nombre de centaines est 15
Remarque : Pour facilité la lecture des nombres, on met un espace entre chaque groupe de
trois chiffres à partir de la virgule.
Définition :
!
Les zéros placés devant la partie entière ou après la partie décimale sont
inutiles.
!
On peut les ajouter ou les retirer sans changer le nombre.
Exemples : !
!
!
16 000 Il n’y a pas de zéro inutile
014,020 = 14,02 Il y a deux zéro inutile
II. Autres écritures des nombres décimaux
A. Ecriture en lettres
Définition :
!
Pour écrire des nombres en lettres il faut respecter quelques règles :
• on place un trait d’union entre chaque nombre.
• ils sont invariables sauf vingt et cent quand ils sont multipliés et qu’ils ne sont suivis
d’aucun adjectif numéral.
• mille est un adjectif numéral toujours invariable.
• million et milliard ne sont pas des adjectifs numéraux mais des noms, ils s’accordent
donc toujours et laissent place à l’accord.
Exemples :
!
300 094 621 trois-cents-millions-quatre-vingt-quatorze-mille-six-cent-vingt-et-un
!
84 000 000 280 quatre-vingt-quatre-milliards-deux-cent-quatre-vingts
B. Ecriture décomposée
Propriétés :
!
L’écriture décomposée tient compte du rang de chacun des chiffres du nombre.
Exemple : 1509, 24 = (1 × 1000 ) + ( 5 × 100 ) + ( 9 × 1) + ( 2 × 0,1) + ( 4 × 0,01)
PAGE 3 SUR 4
6ème
COLLÈGE CHARLES III
MONACO
C. Ecriture fractionnaire
Propriétés :
!
Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme de fraction décimale.
Il en existe plusieurs écritures.
!
Le dénominateur doit être 10, 100, 1000 ...
Exemples :
67 670 6700
6,7 =
=
=
!
10 100 1000
!
on lit 67 dixièmes, ou 670 centièmes, ou 6700 millièmes
4765
765
= 4+
1000
1000
!
7
6
5
= 4+
+
+
10 100 1000
4,765 =
4765 millièmes, ou 4 unités et 765 millièmes
ou 4 unités, 7 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes
PAGE 4 SUR 4
6ème