MATHEMATIQUES

EPREUVE COMMUNE
Nom et prénom :
Classe :
Février 2016
MATHEMATIQUES
Classe de seconde
Durée de l’épreuve : 1 heure
L’utilisation de la calculatrice est autorisée
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans
l’appréciation des copies.
Le sujet comporte 6 pages numérotée de 1 à 6.
Le sujet comporte une annexe relative à l’exercice 1 en page 6.
Vous pouvez à tout moment admettre le résultat d’une question que vous n’auriez pas su démontrer pour pouvoir
continuer à traiter l’exercice en cours à condition de le mentionner clairement sur votre copie.
Devoir commun 2nd
Mathématiques
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1
Exercice 1 Lectures graphiques… (10 points)
Dans cet exercice, on considère la fonction f définie sur   3 ; 4  dont la courbe représentative est tracée en page 6.
1. Répondre à chacune des questions suivantes en cochant la bonne réponse, une bonne réponse rapporte 0,5
points, une mauvaise réponse enlève 0,5 points. L’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Aucune justification n’est demandée.
Si la note finale pour cette séquence de questions est négative, elle est ramenée à 0. ..…/3 pts
.Question 1.
L’image de 2 par f est 3.
Vrai ▢
Faux ▢
.Question 2.
Parmi les propositions suivantes valables sur   3 ; 4  une seule est vraie, laquelle ?
a. L’image de  2 par f est positive ▢
b. 3 a une infinité d’antécédents par f ▢
c. f   3  1 ▢
d. 0 et 2 sont les seules solutions de l’équation f  x   3 ▢
.Question 3.
L’équation f  x   0 admet 3 solutions sur   3 ; 4  :
Vrai ▢
Faux ▢
Vrai ▢
Faux ▢
Vrai ▢
Faux ▢
Vrai ▢
Faux ▢
.Question 4.
L’ensemble des solutions de l’inéquation f  x   0 est S    1; 4  .
.Question 5.
Pour tout x appartenant à   3 ; 4  , on a  1,5  f  x   8 .
.Question 6.
Le maximum de f sur   3 ; 2  est supérieur à 4,5.
2. Donner les solutions de l’inéquation f  x   3 . .…/0,5 pts
3. Dresser le tableau de signes de f.
x
.…/0,75 pts
f  x
4. Dresser le tableau de variations de f. .…/1 pt
x
f
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2
5. On considère la fonction g définie sur   3 ; 4  par g  x    0,5  x  2  x  3
a. Montrer que pour tout réel x appartenant à   3 ; 4  , g  x    0,5 x 2  0,5 x  3 . ..…/0,5 pts
b. Déterminer par le calcul la ou les solutions de l’équation g  x   3 . ..…/1,5 pts
c. Remplir le tableau de valeurs suivant (arrondir les résultats au dixième) pour la fonction g puis tracer sa courbe
représentative  C g  sur   3 ; 4  dans le même repère que celui donné pour la fonction f en page 6. .…/2 pts
x
3
 2,5
2
 1,5
1
 0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
g  x
d. Résoudre graphiquement, avec le degré de précision autorisé par le graphique, l’inéquation f  x   g  x  .…/1 pt
Exercice 2 Géométrie repérée et probabilités… (6 points)
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé  O ; I , J  ,
on considère les points A 1; 2  , B  4 ; 3 et C  2 ; 4  .
1. Faire une figure dans le repère ci-contre.
.…/0,5 pts
2. Montrer que le triangle ABC est rectangle. ..…/1,5 pts
3. Démontrer que le triangle ABC est inscrit dans un cercle dont on déterminera le rayon et les coordonnées du centre.
..…/1 pt
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3
4. On considère une urne contenant 4 bouts de papier indiscernables au toucher sur lesquels on a écrit des nombres.
 Les papiers n°1 et n°2 contiennent le nombre 5
 Le papier n°3 contient le nombre 10
 Le papier n°4 le nombre 15
On tire au hasard, successivement et sans les remettre, trois papiers de l’urne.
a. Faire un arbre modélisant cette expérience aléatoire. ..…/1 pt
b. Quelle est la probabilité que les nombres écrits sur les trois papiers tirés soient les mesures des côtés d’un
triangle isocèle ? ..…/0,5 pts
c. Quelle est la probabilité que les nombres écrits sur les trois papiers tirés soient les mesures des côtés d’un
triangle rectangle ? ..…/1,5 pts
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4
Exercice 3 Algorithmique… (2,5 points)
Variables
On considère l’algorithme ci-contre.
1. Donner sans justification le résultat fourni par cet
algorithme si l’utilisateur rentre n  15 en début de
programme ? ..…/1,5 pts
n et C sont des nombres entiers
Demander n à l’utilisateur
C prend la valeur 0
Tant que n est différent de 2 faire
Si n est pair
n prend la valeur
Traitement
Fin Si
Sinon
n prend la valeur
2. Que se passe-t-il si l’utilisateur rentre n  1 en début
de programme ? ..…/1 pt
Sortie
n
1
2
n 1
2
Fin Sinon
C prend la valeur C  1
Fin Tant que
Afficher C
Exercice 4 Exercice ouvert…(1,5 points)
4
3
Dessiner un repère orthonormé (O ; I , J) dans lequel la droite (𝑫) ci-dessous a pour équation y   x  1 .
On positionnera clairement les points O, I et J.
(𝑫)
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5
ANNEXE DE L’EXERCICE 1
𝑪𝒇
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6