I.Théor`eme d`Amp`ere - Fil et cylindre indéfinis II. Théor`eme d`Amp`

Pr. SDAQ Abdallah
Magnétostatique dans le vide
UNIVERSITÉ IBN ZOHR
Faculté des Sciences d’Agadir
Département de Physique
AGADIR
Année 2008-2009
Solution TD N◦ 2 ”Electricité 2”
Sections SMP3-SMC3
Théorème d’Ampère, théorème de Maxwell & Induction électromagnétique
I.Théorème d’Ampère - Fil et cylindre indéfinis
1)
I
→
~−
B
d` = µ0
C
B(r) =
X
I
C est un cercle centré sur le fil
±
µ0 I
2πr
µ0 J
~
2) a) • A l’intérieur du cylindre : r < R =⇒ B(r)
=
r ~eθ
2
µ0 JR2
~
=
~eθ
• A l’extérieur du cylindre : r > R =⇒ B(r)
2r
Z ZZ ~
µ0 I
J dV
~
b) A(M) =
4π
r
V
µ0 J 2
~
R − r2 ~ez
• A l’intérieur du cylindre :r < R =⇒ A(r)
=
4
µ0 JR2 R
~
ln ~ez
• A l’extérieur du cylindre :r > R =⇒ A(r) =
2
r
c) Tracer de B(r) & A(r)
II. Théorème d’Ampère - Solénoı̈de infini et nappe de courant
1) Nappe de courant : B =
µ0 i
2
2) Solénoı̈de infini :
• A l’intérieur du solénoı̈de : B = µ0 nI
• A l’extérieur du solénoı̈de : B = 0
III. Théorème de Maxwell
1) a) φ =
b µ0 nIa ln 1 +
2π
x0
µ0 niIa
ln
b) W =
2π
b !
x1
b
1+
x0
1+
1
Pr. SDAQ Abdallah
Magnétostatique dans le vide
c) Fx = −
ab
µ0 niI
=⇒ Application numérique Fx = 6.67 10−5 N
2π x0 (x0 + b)
2) a)
→
−
• F (O0 )

ab2
µ0 niI


=
F
cos
θ
−
F
=
−
F

x
CD
AB

2π x0 (x20 + b2 )


µ0 niI ab
Fy = FCD sin θ =


2π x20 + b2




Fz = 0
→
−
=⇒ Module de F (O’) : F =
q
µ0 niI
ab
AN
p
Fx2 + Fy2 =
= 9 10−5 N
2π x0 x20 + b2
µ0 niI abx0 AN
' 6 10−4 mN
2
2
2π x0 + b
p
µ0 nIa
x20 + b2 AN
ln
φπ/2 =
' 4.46 10−6 W eb
2π
x0
p
µ0 niIa
x20 + b2 AN
ln
' −1.17 10−5 W eb
W = i(φπ/2 − φ0 ) =
2π
x0 + b
• MF~CD (O0 ) =
b)
c)
IV. Induction mutuelle. Solénoı̈des coaxiaux
µ0 πN 21 R21
1) L1 =
;
`1
µ0 πN 22 R22
L2 =
;
`2
µ0 πN1 N2 R21
M =−
;
`1
R1
k=−
R2
r
`2
`1
Application numérique : L1 ' 32 mH ; L2 ' 24.2 mH ; M ' −21.3 mH et k ' −0.77
~ ext = −µ0 N2 i2 ~ex
~ int = µ0 N1 i1 − N2 i2 ~ex et B
2) Soint B
`1
`2
`2
1
2
2
W =
(Bint
Vint + Bext
Vext )
2µ0
1
= (L1 i21 + L2 i22 + 2M i1 i2 )
2
Par identification : L1 =
µ0 πN 21 R21
;
`1
L2 =
µ0 πN 22 R22
;
`2
M =−
µ0 πN1 N2 R21
`1
V. Induction électromagnétique - Loi de lenz
1) dφ = −B0 `vdt
B0 `v(t)
e
dφ
= B0 `v(t) =⇒ i =
=
2) e = −
dt
R
R
Z
~ ∧B
~ = id`
~ 0 = i`B0 ~ex
3) F
2 2
4) l’équation différentielle est :
−B 0 ` t
B 2 `2 v
mgR
dv
+ 0
= g =⇒ v(t) = 2 2 (1 − e mR )
dt
mR
B0 `
2