Fiche n 3. Suites numériques.

Université du Littoral Côte d’Opale
Mathématiques
GACO, 2ème année
Année 2015-2016
Fiche n◦ 3. Suites numériques.
1. Suites arithmétiques
Exercice 1. Soit (un ) la suite de terme général un = 7 − 3n.
(1) Calculer u0 , u1 et u2 .
(2) Vérifier que (un ) est une suite arithmétique et déterminer sa raison.
(3) Calculer la somme des 50 premiers termes.
Exercice 2. Soit (un ) une suite telle que u100 = 90 et u1000 = 900. On suppose que (un ) soit
arithmétique. Quelle est nécessairement sa raison ?
2. Suites géométriques
Exercice 3. La population actuelle augmente de 1% par an. En 2015, elle est de 7.3 milliards.
On note (un ) la population mondiale en l’année 2015 + n.
(1) La suite (un ) est-elle arithmétique ou géométrique ? Préciser son premier terme et sa raison.
(2) Exprimer un en fonction de n.
(3) En supposant que le taux d’accroissement se maintienne, estimer la population mondiale en
2025.
(4) En utilisant la calculatrice, estimer en quelle année les 9 milliards d’habitants seront atteints.
Exercice 4. Un loueur de DVD a, cette année, 1000 abonnés. Chaque année il perd 20% de ses
abonnés mais gagne 900 nouveaux abonnés. On pose u0 = 1000 et un le nombre d’abonnés après
n années.
(1) Calculer u1 , u2 et u3 .
(2) Exprimer un+1 en fonction de un .
(3) On pose vn = un − 4500. Vérifier que la suite (vn )n∈N est géométrique de raison 0.8 et
donner son premier terme.
(4) En déduire l’expression de vn en fonction de n puis montrer que un = 4500 − 3500 × 0.8n.
(5) Calculer le nombre d’abonnés au bout de 10 années.
(6) Quel est, approximativement, le nombre d’abonnés au bout d’un grand nombre d’années ?
Exercice 5. (Passerelle 2014) On considère deux urnes U1 et U2 contenant des boules noires et
blanches. L’urne U1 contient des boules blanches en proportion 13 et l’urne U2 contient des boules
blanches en proportion 51 . On effectue N ≥ 1 tirages successifs avec remise de la boule dans l’urne
d’où elle provient, avec le protocole suivant : on choisit l’urne au hasard au 1er tirage ; si la boule
est blanche, on tire la boule suivante dans la même urne et si elle est noire, on tire la boule suivante
dans l’autre urne.
Pour tout n ∈ {1, . . . , N }, on appelle An l’événement ”le n-ième tirage est effectué dans l’urne
U1 ” et Bn l’événement ”on tire une boule blanche lors du n-ième tirage. On pose pn := P (An ) et
qn := P (Bn ).
(1) Calculer p1 , q1 , p2 et q2 .
1
7
(2) Pour tout n ∈ {2, . . . , N }, montrer que pn = apn−1 + b avec a = − 15
et b = 45 .
(3) Soit l tel que l = al + b. Montrer que la suite (pn − l)n≥1 est géométrique de raison a.
(4) Pour tout n ∈ {1, . . . , N }, déterminer pn et qn en fonction de n.
Exercice 6. (Passerelle 2005) Dans un conte, on parle d’un pays où tous les habitants mentent
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avec la probabilité 10
. Une information vraie est transmise à une personne par l’intermédiaire de
n habitants. On note Ek l’événement ”l’information transmise par la k-ième personne est vraie”
et pk la probabilité de Ek .
(1) Justifier que p1 =
7
10 et
∗
montrer que pour tout k ∈ N∗ , pk+1 =
3
10
+ 25 pk .
(2) (a) Pour tout k ∈ N , on pose uk = pk − 12 . Montrer que la suite (uk ) est géométrique de
raison 25 .
(b) En déduire pn en fonction de n.
(3) Déterminer et interpréter limn→∞ pn .
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