Surface - Volume

CH V) Surface - Volume :
I)
Surfaces et aires :
Activité N° 1 :
Les deux figures ont des formes différentes mais leurs aires sont identiques. Prouvez
le !
J
Les surfaces sont différentes, les mesures de ces surfaces que l’on appelle aires
sont identiques.
Dans les deux cas, calculer les aires des figures (L’unité sera le carreau ) .
II)
Unités d’aires - Conversions :
Activité N° 2 :
Dans un carré de 3 cm de côté que vous quadrillez tous les cm. Combien y a-t-il de
carrés ?
Même question avec un carré de 5 cm de côté.
Combien y aura-t-il de carrés de 1 cm de côté dans un carré qui fait 10 cm de côté ?
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Les unités d’aire sont obtenues à partir des unités de longueur.
L’unité principale est le m2, c’est l’aire d’un carré de 1 m de côté.
On obtient une aire en multipliant une longueur par une autre longueur.
1) Conversion :
On utilise un tableau du même type que pour convertir des longueurs, la différence est
que l’on met 2 chiffres par colonne.
J On met autant de chiffres par colonne que le propose l’exposant de l’unité.
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
Exemple 1 : Convertir 27,2 hm2 en dm2.
À On place la valeur 27,2 hm2 dans le tableau. Le chiffre juste avant la virgule se place
dans la colonne correspondant à l’unité (ici hm2), dans la partie droite de celle-ci puisque
l’on met 2 chiffres par colonne . La virgule se situe toujours sur la droite de la colonne
correspondant à l’unité.
km2
hm2
27
dam2
,
m2
dm2
cm2
mm2
2
Á Pour convertir, on déplace la virgule jusqu’à l’unité demandée (ici dm2).
km2
hm2
dam2
27
2
m2
dm2
cm2
mm2
cm2
mm2
,
 On complète les cases vides avec des zéro.
km2
hm2
dam2
m2
dm2
27
20
00
00
,
à On peut supprimer la virgule car dans ce cas elle ne sert à rien.
27,2 hm2 = 27 200 000 dm2
Exemple 2 : Convertir 325 dm2 en hm2
À
km2
hm2
dam2
m2
dm2
3
25
cm2
mm2
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Á
km2
Â
km2
hm2
dam2
m2
dm2
0
00
03
25
hm2
dam2
m2
dm2
00
03
25
0
,
cm2
mm2
cm2
mm2
325 dm2 = 0,000 325 hm2.
Exercice : Convertir :
54 525 m2
824 m2
0,39 km2
53 400 dm2
=
=
=
=
km2
cm2
dam2
hm2
8 238 000 mm2
54 000 000 m2
0,052 4 hm2
82,35 dm2
=
=
=
=
m2
km2
m2
mm2
m2
m2
m2
dm2
12 hm2
5 000 m2
1 500 dm2
278 m2
=
=
=
=
km2
dam2
dam2
hm2
Exercice : Convertir :
0,04 km2
=
2
790 000 cm =
120 000 mm2 =
0,02 hm2
=
2) Les unités de mesures agraires :
Les aires des terrains sont souvent exprimées en unités particulières appelées unités de
mesure agraire.
L’unité principale est l’are ( a).
1 a = 1 dam2
1 ha = 1 hm2
1 ca = 1 m2
km2
hm2
ha
dam2
a
m2
ca
dm2
65 200 m2
438 ca
4 385 m2
=
=
=
cm2
mm2
Exercice : Convertir :
7 235 a
425 m2
53,2 ha
=
=
=
ha
a
hm2
ha
m2
ha
3) Aire des figures usuelles :
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a) Aire du carré :
c
Aire = côté x côté
A = c2
Exemple : Calculer l’aire d’un carré de 5
cm de côté .
c
b) Aire du rectangle :
L
Aire = côté x côté
A=Lxl
Exemple : Calculer l’aire du rectangle
L = 26 dm
l = 1,3 m
l
c) Aire du parallélogramme :
Un parallélogramme a ses côtés parallèles
deux à deux.
Aire = Base x Hauteur
A=BxH
Exemple : Calculer l’aire du parallélogramme
B = 120 cm H = 10 dm
Hauteur
Base
B
d) Aire du losange :
Un losange a ses diagonales perpendiculaires
qui se coupent en leur milieu.
Aire = Grande Diagonale x petite diagonale
2
A=Dxd
2
D
A
H
F
C
B
E
G
C
A
J C’est en fait la moitié de l’aire du rectangle
dans lequel est inscrit le losange.
E
D
H
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D
A
J C’est dans ce cas également la moitié de
l’aire du rectangle dans lequel est inscrit le
triangle.
Base
B
H
B
C
C
E
hauteur
f) Aire du trapèze :
Aire = (Grande Base + petite base) x hauteur
2
A = (B + b) x h
2
Dans l’exemple ci-contre :
A = (AD + BC) x h
2
E
Hauteur
e) Aire du triangle :
Aire = Base x Hauteur
2
A=BxH
2
A
H
D
F
J C’est la moitié de l’aire du parallélogramme
dans lequel est inscrit le trapèze.
g) Aire du disque :
Aire = Rayon x Rayon x pi
A = π . R2
R
On prendra souvent π = 3,14
4) Exercices :
Exercice N° 1:
Une pièce rectangulaire mesure 5,45 m de longueur et 3,20 m de largeur. Quelle est son
aire en m2 ?
Exercice N° 2 :
Un champ ayant la forme d’un parallélogramme a une base mesurant 105 m et une hauteur
mesurant 64 m .Quelle est son aire en ha ?
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Exercice N° 3 :
Quelle est l’aire en m2 d’un tapis ayant la forme d’un losange dont les diagonales
mesurent 1,40 m et 90 cm ?
Exercice N° 4 :
Un jardin de forme triangulaire a une base mesurant 37 m et une hauteur mesurant
25 m . Quelle est son aire en m2 ? Convertir la réponse en ca .
Exercice N° 5 :
Un champ ayant la forme d’un trapèze a les mesures suivantes : grande base = 120 m ;
petite base = 85 m et hauteur = 62 m. Quelle est son aire en ha ?
Exercice N° 6 :
Quelle est l’aire en cm2 d’un disque de 40 cm de rayon ? ( prendre π = 3 ,14)
III)
Volumes :
1) Activité :
1 dm
1 dm
1 dm
1
1
1
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A partir des deux dessins de la page précédente, quelle relation pouvez-vous faire entre
le cm3 et le dm3 ?
Que peut-on en déduire entre le m3 et le dm3 ?
2) Unités de volume :
Les unités de volume sont obtenues à partir des unités de longueur. L’unité principale est
le m3 ( C’est le volume d’un cube d’un mètre d’arête.)
Il existe une unité particulière pour les mesures de volume du bois de chauffage : le
stère (st) . Le stère de bois peut avoir plusieurs équivalences sachant que le stère
équivaut normalement à 1 m3 de bois : (Source O.N.F.)
1 st = 1 m3 si le bois est coupé en longueurs de 1 m.
1 st = 0,8 m3 si le stère de bois est coupé en longueurs de 0,5 m.
1 st = 0,7 m3 si le stère de bois est coupé en longueurs de 0,4 m.
3) Conversions :
On utilise un tableau du même type que pour convertir des longueurs, la différence est
que l’on met 3 chiffres par colonne.
J On met autant de chiffres par colonne que le propose l’exposant de l’unité.
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
m3
dm3
cm3
mm3
dm3
cm3
mm3
dm3
cm3
mm3
Exemple : Convertir 2 720 m3 en hm3.
À
km3
hm3
dam3
2
Á
km3
hm3
dam3
,
Â
km3
hm3
0
,
2
720
m3
720
dam3
m3
002
720
Exercice : En utilisant un tableau du même style que ci-dessus, convertir :
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1,2 m3
9,4 dm3
376 dm3
4,102 dm3
dm3
cm3
m3
mm3
=
=
=
=
17 845 dm3 =
0,04 cm3
=
3
85 mm
=
3
125 000 cm =
m3
mm3
cm3
m3
4) Volumes et capacités :
Il existe une relation entre les volumes et les capacités, ce qui permet de créer un seul
tableau avec les deux types d’unités.
1 dm3
=
1L
3
1m
=
1 000 L
3
1 cm
=
1 mL
km3
hm3
dam3
m3
dm3
hL daL L
cm3
dL cL mL
mm3
Exercice : Convertir :
7,5 dm3
2,4 m3
7 cm3
=
=
=
L
L
mL
7 500 L
0,4 m3
9,5 dm3
=
=
=
m3
L
mL
5) Volumes usuels :
a) Le cube :
Volume = arête x arête x arête
V = a3
( a x a = a2 est la base du cube, a peut aussi
être considéré comme la hauteur du cube.)
Donc V = aire de la base x hauteur
b) Le parallélépipède rectangle :
Volume = Longueur x largeur x hauteur
V=Lxlxh
V = aire de la base x hauteur puisque l’aire
de la base = L x l.
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c) Le cylindre droit :
Volume = aire de la base x hauteur
V = π .R2 x h
d) Le prisme droit à base triangulaire :
Volume = aire de la base x hauteur
6) Exercices :
Exercice N°1 : Un pilier d’ancrage en béton a la forme d’un cube de 1,3 m d’arête . Quel
est en m3, le volume de béton nécessaire à sa réalisation ?
Exercice N°2 : Chez un vigneron, une cuve à vin mesure 3,2 m de long sur 2,6 m de large
et 3,5 m de haut. Quelle est sa capacité en hL ?
Exercice N°3 : Une boîte de conserve 4/4 a un rayon de 4,7 cm et 11 cm de hauteur.
Quel est en cm3 son volume (arrondir à l’unité par excès) ?
Exercice N°4 : Un poteau cylindrique a nécessité un volume de béton de 0,314 m3. Sa
base a une aire de 0,125 6 m2. Quelle est en m la hauteur de ce poteau ?
Vous pouvez vous entraîner également sur :
:
Les nombres (Des maths de niveau I sur logedu.com logiciel payant)
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