• Statistique à deux variables régression linéaire

• Septembre 2008 •
• Statistique à
deux variables
régression
linéaire (p2-7)
exercice statistique réalisé
Un
à l’aide de la calculatrice
scientifique FX 92 Collège 2D
et la calculatrice graphique Graph 35+
• Offres
enseignants (p8)
Statistique à deux variables
Régression linéaire
A
la Mer du Nord, un job d’étudiant très convoité en été est la vente de glaces.
Un jobiste pense qu’il existe un lien entre la quantité de glace vendue et la
température extérieure. Il collecte les données suivantes:
Température extérieure (en °C)
21,3
28,8
24,6
22,4
29,1
25,8
27,9
23,0
Quantité de glace vendue (en litres) 57,8
74,7
64,8
59,9
75,1
68,3
71,2
59,9
1) Encoder les données en ordonnant les températures par ordre croissant tout en conservant la relation entre
la température et le nombre de litres de glace vendue.
2) Représenter le nuage de points et en déduire la possibilité d’un ajustement linéaire.
3) Déterminer l’équation de la droite d’ajustement appelée droite de Mayer:
a) Fractionner le nuage de points en deux sous-nuages égaux.
b) Calculer les coordonnées du point moyen G1 du premier sous-nuage.
c) Calculer les coordonnées du point moyen G2 du deuxième sous-nuage.
d) Déterminer l’équation de la droite G1 G2, appelée droite de Mayer.
e) Tracer la droite G1 G2.
f) Pour les températures données dans le tableau ci-dessus, déterminer la quantité de glace vendue
d’après le modèle de Mayer.
4) Déterminer l’équation de la droite d’ajustement dite de régression à l’aide de la calculatrice. Interpréter le
coefficient de corrélation.
5) Montrer graphiquement et numériquement que le modèle de Mayer et le modèle de régression sont de bons
ajustements linéaires des données.
6) La droite de régression est aussi appelée droite des moindres carrés. Son équation est déterminée de manière
à minimiser la somme des carrés des résidus, c’est-à-dire des distances verticales entre chaque point et la
droite. Vérifier que cette droite de régression est un meilleur modèle par rapport à la droite de Mayer en
comparant la somme des carrés des résidus pour chacune d’elle.
Extra: L’étudiant estime que chaque degré de plus au thermomètre implique une vente de deux litres de glace
supplémentaires. Que penser de cette affirmation?
Compléter le tableau suivant tout au long de l’exercice, en utilisant votre calculatrice le plus
efficacement possible, ainsi que le graphique avec les données et les droites trouvées:
Température
extérieure
classées par
ordre croissant
(en °C)
Quantité
correspondante
de glace
vendue
(en litres)
xi
yi
Comparaison
avec le
modèle de
Mayer
(yM)i
Comparaison
avec le
modèle de
régression
(yR)i
Résidus avec
le modèle de
Mayer
yi - (yM)i
Résidus avec
le modèle de
régression
yi - (yR)i
Carrés des
résidus avec
le modèle de
Mayer
Carrés des
résidus avec
le modèle de
régression
[yi - (yM)i ]²
[yi - (yR)i ]²
Somme =
Somme =
1
2
3
4
5
6
7
8
Coordonnées
de G1 =
Coordonnées
de G2 =
Equation de la droite de Mayer:
Equation de la droite de régression:
La fiche de travail à remplir par les étudiants est accessible sur le site www.cas-bel.com
Quantité de glace vendue (en litres)
Quantité de glace vendue en fonction de la température extérieure
température extérieure (°C)
Question 1: Encodage des données
FX 92 Collège 2D
Choisir le mode statistique à
deux variables, puis encoder
les couples ordonnés en
conservant la relation entre
la température et le nombre
de litres de glace vendue.
w
2: STAT
2: AX+B
21.3 l
Utiliser les flèches 
puis  pour encoder le y
correspondant
57.8 l
 pour encoder le x suivant
22.4 l
…
Remarque:
On peut aussi encoder tous
les x par ordre croissant, puis
utiliser les flèches  et 
pour placer le curseur à la
première ligne pour encoder
tous les y correspondants.
Graph 35 +
Encoder les données dans le
menu R: les températures
dans List 1 et les quantités
de glace vendues dans List 2.
Ordonner par ordre croissant la List 1. Les valeurs
correspondantes dans la List
2 seront automatiquement
ajustées.
q (SRT-A)
La calculatrice demande
combien de listes sont à
reclasser:
«How Many Lists?(H)»
2l
La calculatrice demande
quelle est la liste de base,
càd celle que l’on veut ordonner par ordre croissant:
«Select Base List(B)»
1l
La calculatrice demande
quelle est la liste contenant
les valeurs associées à la
première liste:
«Select Second List(L)»
2l
Question 2 (GRAPH 35+): Nuage de points
Choisir le menu w
Lp(SET UP) et surligner “Stat Wind”
q pour choisir une fenêtre de représentation automatique
d
q (GRPH)
u (SET) pour déterminer le type de graphe à représenter
Surligner “Graph Type” et choisir q (Scat)
Surligner “XList” et choisir q (List 1)
Surligner “YList” et choisir w (List 2)
d
q (GPH1) pour la représentation du nuage de points
En représentant le nuage de points, il semble clair qu’un modèle linéaire est approprié pour décrire la relation
entre les données.
Question 3: Détermination de
l’équation de la droite de Mayer
FX 92 Collège 2D
Afficher à nouveau le tableau
des données statistiques
L1: menu STAT
2: Data
Effacer les données des lignes
5 à 8 pour ne conserver que le
premier sous-nuage.
Se placer sur la ligne 5 dans la
colonne X et pousser sur P
quatre fois.
Demander la moyenne des x
pour le premier sous-nuage,
et la stocker dans A puis la
moyenne des y, et la stocker
dans B.
C: écran STAT
L1: menu STAT
5: Var
2:
l
LJ (STO) z (A)
L1: menu STAT
5: Var
5:
l
LJ (STO) X (B)
Graph 35 +
Séparer les 8 couples de points
en deux groupes de 4. Pour le
premier sous-nuage: dans le
menu R copier List 1 dans
List 3 et List 2 dans List 4.
Surligner l’en-tête « List 3 »
i
q (LIST)
q (List) 1 l
Surligner l’en-tête « List 4 »
i
q (LIST)
q (List) 2 l
dd pour sortir du sousmenu OPTN.
Supprimer les 4 derniers couples.
Se placer à la 5ième ligne et e
(DEL) pour effacer les 4 dernières
valeurs de List3 puis de List4.
Rechercher les valeurs moyennes
des List3 et List4.
Choisir le menu Q
i
q (LIST)
u()
e (Mean)
u (  )u (  )
q (List) 3)
b a f (A) l
u()
e (Mean)
u (  )u (  )
q (List) 4)
b a g (B) l
= 22,825 et
Encoder les données du
deuxième sous-nuage (càd les
données des lignes 5 à 8 du
premier tableau) en écrasant les
valeurs précédentes.
L1: menu STAT
2: Data
Dans la première colonne:
25.8 l
27.9 l
…
Dans la deuxième colonne:
68.3 l
71.2 l
…
Demander la moyenne des x
pour le deuxième sous-nuage, et
la stocker dans C
puis la moyenne des y, et la
stocker dans D.
C: écran STAT
L1: menu STAT
5: Var
2:
l
LJ (STO) a (C)
L1: menu STAT
5: Var
5:
l
LJ (STO) j (D)
= 60,6
Pour le deuxième sous-nuage:
dans le menu R, copier List 1
dans List 5 et List 2 dans List 6
puis supprimer les 4 premiers
couples.
Rechercher les valeurs moyennes
des List5 et List6.
Choisir le menu Q
i
q (LIST)
u()
e (Mean)
u (  )u (  )
q (List)5)
b a G (C) l
u()
e (Mean)
u (  )u (  )
q (List) 6)
b a h (D) l
= 27,9 et
= 72,325
La droite de Mayer passe donc par les points (A; B) = (22,825;60,6) et (C; D) = (27,9;72,325).
La droite de Mayer a pour équation:
Calculer le coefficient angulaire de la droite de Mayer:
et stocker le résultat dans E.
L’équation de la droite de Mayer devient:
ou encore
permet d’écrire:
Calculer
.
.
FX 92 Collège 2D
Graph 35 +
C
(Qj(D)QX(B))
M(Q
a(C)-Qz(A))
l
LJ (STO) k (E)
O
C
QX(B) Qk(E)Qz(A)
l
LJ (STO) l (F)
ag(B) -
(ah(D) ag(B)) M
(aG (C) af (A))
b aj(E) l
aj(E) af (A)
b ak (F) l
Une autre manière de déterminer les coefficients de la droite de Mayer:
L’équation de la droite de Mayer est y = mx + p. Les points (A; B) et (C; D) appartiennent à la droite, donc le coefficient
angulaire (m) et l’ordonnée à l’origine (p) sont les solutions du système
FX 92 Collège 2D
Choisir le menu EQN:
w
3: EQN
1: anX+bnY=cn pour choisir
Graph 35 +
Choisir le menu a
q (SIML)
q (2) pour préciser le nombre
d’inconnues
la résolution d’un système
de deux équations à deux
inconnues.
Encoder:
Q z (A) l
1l
Q X (B) l
Q a (C) l
1l
Q j (D) l
l
La calculatrice donne alors
comme solution à ce système
X=
n pour passer de l’écriture
fractionnaire à la notation
décimale 2,31034. Cette valeur
correspond au coefficient
angulaire m de la droite de
Mayer.
l pour obtenir l’ordonnée à
l’origine p
Y=
n 7,8664
La droite de Mayer a donc pour équation:
Encoder les coefficients:
En a1:af (A)l
En b1: 1 l
En c1:a g(B)l
En a2:aG (C)l
En b2: 1 l
En c2:a h(D)l
q (SOLV) pour lire les valeurs
de m et p:
m = 2,31034
p = 7,8664
Pour déterminer les prévisions concernant la quantité de glace vendue à l’aide du modèle de Mayer :
Encoder l’équation y = Ex + F et demander le calcul des images correspondant aux températures données dans le tableau.
FX 92 Collège 2D
w
1 : COMP
UpQk(E)I+
Ql (F)
r
l pour valider la valeur
de E
21.3l pour
encoder la première
température (X)
l pour valider la valeur
de F
La valeur de Y s’affiche sous
forme d’une fraction n
pour passer à la notation
décimale
r pour recommencer
le processus avec la
température suivante à
encoder …
Graph 35 +
Dans le menu i
Lp(SET UP)
Surligner “Variable : …”
w pour choisir une liste de
valeurs pour x
q pour la List 1 dans
laquelle se trouvent les
températures
d
Encoder l’équation de la
droite de Mayer en Y1 =…
aj(E) f
+ ak (F) l
u (TABL) pour demander
le tableau des valeurs
correspondantes
pour se déplacer
dans le tableau
Question 4: Détermination de
l’équation de la droite de régression
FX 92 Collège 2D
Choisir le mode statistique à
deux variables, puis encoder
les données ordonnées.
w
2 : STAT
2: AX+B
21.3 l
…
Demander les coefficients
A et B de la droite de
régression y = Ax + B :
C : écran STAT
L1 : menu STAT
7 : Reg
1:Al
L1 : menu STAT
7 : Reg
2:Bl
Pour obtenir le coefficient de
corrélation :
L1 : menu STAT
7 : Reg
3:rl
La droite de régression a donc pour équation
Graph 35 +
Dans le menu w
q (GRPH)
u (SET)
« Graph Type : … »
q pour Scatter
« XList : … » q (List 1)
« YList : … » w (List 2)
d
q (GPH1)
iq (PICT)q (STO)
q (Pic1) pour stocker
l’image du nuage de points
q (X)
Lire les coefficients de
l’équation de la droite de
régression :
a = 2,26795 et
b = 8,9415
(*) garder cet écran pour poursuivre avec la
question 5.
.
Le coefficient de corrélation r =0,9943, proche de 1, nous indique qu’il y a une forte liaison entre la quantité
de glace vendue et les températures extérieures. Les points du nuage sont donc très proches de la droite de
régression.
Question 5 (GRAPH 35+): Comparaison graphique et
numérique du modèle de Mayer et du modèle de régression
(*) à partir de l’écran précédent :
Enregistrer l’équation de la droite de régression dans le menu y
y (COPY)
N pour surligner Y2=…
l pour enregistrer cette équation en Y2
Dans le menu y,
u (DRAW)
iq (PICT) w (RCL)
q (Pic1) pour rappeler l’image du nuage de points en fond d’écran
Dans le menu i,
u (TABL)
pour se déplacer
dans le tableau
Graphiquement, les deux modèles « correspondent » au nuage de points avec peu de différence entre eux.
Question 6 (GRAPH 35+): Comparaison des
sommes des carrés des résidus pour les deux modèles
Choisir le menu w
Lp(SET UP)
N pour surligner “Resid List: …”
w (LIST)e (List3) pour demander la liste des résidus en List3
d
Représenter la droite de régression:
q (GRPH)
q (GPH1)
q (X)
u(DRAW)
d
Lire les résidus en List 3
Choisir le menu i
“Y2=“
q (SEL) pour désélectionner Y2
Lp(SET UP)
“Variable”:w (LIST)q (List1)
d
u (TABL) et placer le curseur dans la colonne Y2
i
q (LIST)
w (LMEM)
r (List4)
Choisir le menu w
Surligner l’en-tête “List5”
i
w (LIST) et taper q (List) 2- q (List)4 l
pour obtenir les résidus pour la droite de Mayer en List5
Calculer la somme des carrés des résidus pour la droite de régression dans le menu Q:
i
q (LIST)
u(  )u(  )
q (Sum) u(  ) q (List) 3 s
l
Calculer la somme des carrés des résidus pour la droite de Mayer dans le menu Q:
i
q (LIST)
u(  )u(  )
q (Sum) u(  ) q (List) 5 s
l
En conclusion, la droite de régression correspond bien à un ajustement linéaire tel que la somme des carrés
des résidus est minimale.
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149,99 ?
199,99 ?
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