Equilibrage dynamique roue_matlab 2012

EQUILIBAGE DYNAMIQUE d'un solide en rotation
On considère un solide S de forme quelconque (sans symétrie de révolution) en rotation autour d'un axe fixe par
rapport à un bâti.
L'objectif est de mettre en évidence d'une part les actions mécaniques développées dans la liaison pivot entre le
solide en rotation et le bâti fixe, et d'autre part d'équilibrer dynamiquement ce solide de façon à annuler ces
actions mécaniques.
Les notions d'équilibrage dynamique sont rappelées dans le Document Ressource.
Etape
1 Ouvrez avec SolidWorks le fichier roue du répertoire Caractéristiques d'inertie/ Equilibrage
dynamique/fichiers SW
2
Propriétés de masse de la roue :
Observez la roue selon la vue de face : sur
Dans le menu déroulant Outils, sélectionnez Propriétés de masse et observez la position du centre de
gravité de l'ensemble roue = {jante + pneu}.
Zoomez autour du centre de gravité G et de l'origine du Système de coordonnées 1 (cf. figure b de droite
ci-dessous).
Observez l'alignement du centre de gravité G avec l'axe X du Système de coordonnées 1.
Dans la fenêtre Propriétés de masse choisissez comme Système de coordonnées de sortie : Système
de coordonnées 1
Complétez ensuite le Document Réponse 3 en relevant :
- l'abscisse* du centre de gravité G dans le Système de coordonnées 1.
- la masse* m de la roue
- les produits d'inertie* D et E de la matrice d'inertie de la roue, calculés dans le Système de coordonnées 1,
au centre de ce repère (point O).
* : 4 chiffres significatifs suffisent.
a
G
point O :
origine du Système de coordonnées 1
et centre de la liaison pivot
3
figure b
figure a
Fermez sans enregistrer le fichier roue.
Ouvrez le fichier Assemblage avec roue non équilibrée du répertoire Caractéristiques d'inertie/
Equilibrage dynamique/fichiers SW.
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Lancement de l'étude mécanique :
Cliquez sur l'onglet méca3D :
Lancez la construction automatique du mécanisme :
avec le bouton droit de la souris sur
et choisissez Construction automatique.
Vérifiez que la liaison identifiée entre le bâti et la roue est bien une liaison pivot.
Lancez une l'étude mécanique du mécanisme :
avec le bouton droit sur
et choisissez Calcul mécanique :
Une 1ère fenêtre apparaît, vérifiez que la mobilité d'un mécanisme est bien de 1 (elle correspond à la
possibilité de rotation de la roue / bâti) et qu'il est également isostatique (les composantes de l'action
mécanique -résultante et moment résultant- dans la liaison pivot pourront donc être toutes calculées).
sur Suivant : la fenêtre ci-dessous apparaît.
Définissez les paramètres suivants liés à une étude dynamique :
- vitesse de rotation de la roue / bâti de 3500 trs/min
- étude dynamique pour 50 positions
- durée de l'étude : 30 ms
sur Calcul puis sur Fin une fois les calculs achevés.
5
Consultation des résultats :
avec le bouton droit sur Résultats et choisissez
Courbes/Simples…
sur l'onglet Liaisons.
Activez si besoin la case Liaison (doit être rouge).
sur le nom de liaison Pivot1 dans l'arbre de
modélisation de méca3D.
Sélectionnez comme Type de résultat :
Effort (base pièce référence).
Activez la case Pièce de référence.
sur le nom de pièce bâti dans l'arbre de
modélisation de méca3D.
sur type de composante
pour obtenir la
résultante de l'action mécanique dans la liaison
entre le bâti et la roue.
sur Consulter pour afficher les résultats.
successivement sur les onglets Fx(N), Fy(N),
Fz(N) et Norme (N).
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Questions :
- que peut-on dire de l'intensité de la résultante de l'action mécanique de la liaison entre le bâti et la roue ?
- quelle est la valeur de cet effort dans cette liaison (norme de la résultante) ?
- complétez le Document réponse 3 avec la valeur calculée de l'intensité de la résultante.
sur
pour sortir de la fenêtre des résultats.
Recommencez en prenant comme nouvelle Pièce de référence la roue.
Questions :
- que peut-on dire de la direction de la résultante de l'action mécanique de la liaison entre le bâti et la roue ?
- par quel vecteur unitaire du Système de coordonnées 1 est-elle portée ?
sur type de composante
pour obtenir le moment résultant (au point O, centre de la liaison
pivot) de l'action mécanique de la liaison entre le bâti et la roue.
Reprenez comme Pièce de référence le bâti.
sur Consulter pour afficher les résultats.
successivement sur les onglets Mx(N.m), My(N.m), Mz(N.m) et Norme (N.m).
Questions :
- quelle est la valeur du moment résultant dans cette liaison (norme du moment) ?
- complétez le Document réponse 3 avec la valeur calculée de l'intensité du moment résultant.
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BILAN :
Vous venez de mettre en évidence les actions mécaniques dans la liaison pivot entre la roue et le bâti,
efforts dynamiques dus à la seule rotation de la roue non équilibrée par rapport au bâti.
La conséquence de ces efforts de direction variable par rapport au bâti est qu'ils vont engendrer des
vibrations.
Ces vibrations sont néfastes dans le cas par exemple de la rotation d'une roue de voiture.
C'est la raison pour laquelle on procède à l'équilibrage dynamique des roues par l'ajout de 2 petites
masses additionnelles (masses d'équilibrage) fixées sur la jante, qui permettront d'annuler ces efforts
de direction variable par rapport au bâti.
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Conditions d'équilibrage dynamique :
En dynamique vous mettrez donc (ou avez mis en évidence) les conditions d'équilibrage dynamique qui
permettent d'annuler ces efforts (cf. Document Ressource) :
- 1ère condition : le centre de gravité G' de l'ensemble en rotation doit être sur l'axe de rotation.
- 2ème condition : l'axe de rotation doit être principal d'inertie. Ici étant donné que l'axe de rotation est
l'axe Z, les produits d'inertie D et E doivent être nuls et la matrice d'inertie de l'ensemble
en rotation doit donc être de la forme suivante :
 A' − F' 0 
I ( O,S') = − F' B' 0  avec R (O, X, Y, Z) : Système de coordonnées 1
 0
0 C' R
L'équilibrage se fait par l'ajout de 2 masses fixées sur la jante : sur le rayon extérieur de la jante (plus
grand rayon) et sur les bords droit et gauche de celle-ci.
La mise en équation du nouvel ensemble en rotation S' [constitué de la jante, du pneu et des 2 masses
additionnelles (ou d'équilibrage)] conduit au système d'équations suivant :
 m.a + m1 .r. cos θ1 + m 2 .r. cos θ 2 = 0

m1.r. sin sθ1 + m 2 .r. sin θ 2 = 0


l
l
 D + m1 .r. sin θ1 . − m 2 .r. sin θ 2 . = 0
2
2

l
l

E + m1.r. cos θ1. 2 − m 2 .r. cos θ 2 . 2 = 0
avec :
m : masse de la roue (jante et pneu).
m1 : masse de la masse d'équilibrage 1.
m2 : masse de la masse d'équilibrage 2.
D : produit d'inertie de la roue non équilibrée / plan (O,X,Y).
E : produit d'inertie de la roue non équilibrée / plan (O,X,Z).
r : rayon extérieur de la jante.
l : largeur de la jante.
θ1 : position angulaire de la masse d'équilibrage 1 par rapport à l'axe (O,X)
θ 2 : position angulaire de la masse d'équilibrage 2 par rapport à l'axe (O,X)
X : vecteur unitaire du Système de cordonnées 1,
l'axe X passe par le centre de gravité G de la roue sans les masses d'équilibrage.
a : position du centre de gravité G suivant la direction X (roue sans les masses) par rapport à
l'axe rotation (cf. figure b précédente).
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Résolution du système d'équation :
Ouvrez le fichier resolution_systeme_avec_matlab
Définissez les valeurs numériques suivantes relevées sous SolidWorks (*):
m : masse de la roue (non équilibrée)
D_roue : produit d'inertie D ( D = Iyz sous SW)
E_roue : produit d'inertie E ( E = Ixz sous SW)
a : position du centre de gravité G de la roue non équilibrée ( a = X , abscisse de G sous SW)
Suivez les indications du fichier et lancez les calculs sous Matlab
Consultez les résultats et relevez les valeurs des masses m1 et m2 et leur position angulaire θ1 et θ2 (on
ne retiendra que les valeurs positives des masses proposées)
Complétez le Document Réponse 3 avec les valeurs des masses et positions calculées.
* : Rappel : Pour relever ces valeurs numériques : ouvrez le fichier roue, dans le menu déroulant Outils
sélectionnez Propriétés de masse et choisissez comme Système de coordonnées de sortie : Système de
cordonnées 1.
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Définition des masses m1 et m2 :
Ouvrez avec SW le fichier masse1 du répertoire Caractéristiques d'inertie/ Equilibrage dynamique/
fichiers SW.
Dans le menu déroulant Outils sélectionnez Propriétés de masse et relevez la valeur de la masse m1.
Double cliquez sur le dessin de la masse m1 pour faire apparaître toutes ses dimensions et notamment
son épaisseur (repérée en bleu).
Vous noterez que les valeurs de l'épaisseur et de la masse sont proportionnelles (d'un facteur 10). Cela a
été rendu possible par la définition d'une masse volumique appropriée.
Modifiez la valeur de l'épaisseur pour obtenir comme valeur de masse m1 celle calculée avec Matlab.
pour reconstruire la géométrie du modèle.
Faîtes de même avec la masse m2. Vous remarquerez que pour la masse m2 les valeurs de l'épaisseur et
de la masse sont identiques.
centre de
gravité de m1
masse m1 (vert clair)
10 Définition de la position angulaire des masses m1 et m2 :
masse m2 (jaune)
Ouvrez avec SW le fichier jante du répertoire Caractéristiques d'inertie/ Equilibrage dynamique/
fichiers SW.
Dans l'arbre de construction de la jante, double cliquez sur l'esquisse
pour faire apparaître
l'angle θ1
Double cliquez sur la cote associée à l'angle et modifiez sa valeur,
Remarque : si la valeur de l'angle θ1 calculée avec Matlab est positive,
vous pouvez la saisir directement, sinon saisissez 360 + θ1 .
pour reconstruire la géométrie du modèle.
Faîtes de même avec l'esquisse
et l'angle θ 2 calculé avec Matlab.
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11 Etude mécanique et consultations des résultats :
Ouvrez avec SW le fichier roue avec masses d'équilibrage du répertoire Caractéristiques d'inertie/
Equilibrage dynamique/ fichiers SW.
Observez les masses d'équilibrage m1 et m2 placées sur la jante :
Pour cela faîtes tourner la roue et n'hésitez par à zoomer
Observez la roue selon la vue de face : sur
Zoomez autour de l'origine du Système de coordonnées 1 .
Remarque : si le Système de coordonnées 1 ne s'affiche pas : dans le menu déroulant Affichage,
sélectionnez Système de coordonnées.
Dans le menu déroulant Outils, sélectionnez Propriétés de masse et observez la position du nouveau
centre de gravité G' de l'ensemble S' = { roue = jante + pneu , m1, m2}.
Toujours dans la fenêtre Propriétés de masse choisissez comme Système de coordonnées de sortie :
Système de coordonnées 1.
Observez les nouvelles valeurs des produits d'inertie D et E, et les nouvelles coordonnées du centre de
gravité.
Questions :
- que peut-on dire de la position du nouveau centre de gravité G' de l'ensemble des solides en mouvement
par rapport à l'axe de rotation (O, Z) ?
- quelles sont les nouvelles valeurs des produits d'inertie D' et E', et que peut-on dire de l'axe de rotation (O, Z) ?
Ouvrez le fichier Assemblage avec roue équilibrée du répertoire Caractéristiques d'inertie/
Equilibrage dynamique/fichiers SW.
Relancez l'étude mécanique puis la consultation des résultats (étapes 4 et 5 précédentes) et observez la
très sensible réduction des efforts dans la liaison pivot entre la roue et le bâti.
Questions :
- relevez les nouvelles valeurs (sur le Document réponse 3) de l'intensité de la résultante et du moment
résultant de l'action mécanique dans la liaison pivot entre la roue et le bâti.
- évaluez (pourcentage) la réduction de l'intensité de la résultante et du moment résultant : complétez le
Document Réponse 3.
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DOCUMENT RESSOURCE : Equilibrage dynamique d'un solide en rotation
Nature du problème :
L'équilibrage des solides tournant autour d'un axe est nécessaire afin d'éviter la naissance de vibrations
mécaniques dues à la création d'une action mécanique dans la liaison pivot entre le bâti et le solide en rotation
(ayant pour origine la seule rotation du solide). Ces vibrations peuvent engendrer une détérioration rapide des
paliers (roulements à billes réalisant le guidage en rotation) par phénomène de fatigue, ou plus simplement
créer une gêne à l'utilisation du matériel, dont le bruit.
1. Modélisation
bâti (S0) auquel est lié repère galiléen
R 0 (O, x 0 , y 0 , z 0 ) .
solide (S), de masse m, de centre d'inertie G,
en liaison pivot sans frottement d'axe (O, z 0 )
avec (S0).
repère R (O, x , y, z) lié à (S) choisi de telle façon
que le plan (O, x , z 0 ) contienne le centre de
gravité G.
paramétrage : θ = ( x , x 0 ) , OG = a.x + c.z 0
matrice d'inertie du solide (S) :
 A − F − E
I ( O,S) =  − F B − D 
− E − D C  R
car solide (S) de forme quelconque.
Action Mécanique de liaison exercée par (S0) sur (S) :
L S0 / S 
X
 R S0 / S   S0 / S

{T S0/S} = 
=  YS0 / S M S0 / S  car LS0/S : pivot d'axe (O,z)
m O (S0/S)  
Z
0  R
O  S0 / S
2. Application du PFD au solide en rotation
Enoncé du PFD : {D S/R0} = {T S /S}
a) Résultante et du moment au point O des AM exercées sur (S) :
L S0 / S 
X
 R S0 / S   S0 / S

{T S /S} = {T S0/S} = 
=  YS0 / S M S0 / S 
m O (S0/S)  
Z
0  R
O  S0 / S
b) Expression de la résultante dynamique et du moment dynamique au point O du mouvement de (S)/R0 :
− m.a.θ' 2 − E.θ' '+ D.θ' 2 
m.Γ(G ∈ S / R 0 ) 
2
{D S/R0} = 
=  m.a.θ' ' − D.θ' '− E.θ' 
 δ O (S / R 0 )  

0
C.θ' '
R
O
c) Equations scalaires issues du PFD.
X SO / S = − m.a.θ' 2 (1)  L SO / S = −E.θ' '+ D.θ' 2 (4)


2
 YSO / S = m.a.θ' ' (2) M SO / S = − D.θ' '− E.θ' (5)

ZSO / S = 0
(3) 
N SO / S = C.θ' '
(6)


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3. Conditions d'équilibrage dynamique
Pour éviter les vibrations, il faut rendre l'action mécanique dans la liaison entre (S) et (S0), due à la seule
rotation de S/S0, nulle, donc indépendante du mouvement de (S) / (S0), c'est à dire de θ' et θ''
D'après les équations précédentes, on peut déduire les conditions d'équilibrage dynamique, notamment la :
a) position du centre de gravité G qui doit être sur l'axe de rotation : a = 0 , et la
b) particularité de l'axe de rotation : axe de rotation (O, z) principal d'inertie : D = E = 0 .
4. Réalisation pratique de l'équilibrage dynamique
On remplace (S), par un solide (S') constitué de
(S) et de 2 solides (S1) et (S2) de masse m1 et m2,
assimilables à des points matériels, tel que (S')
soit dynamiquement équilibré.
Soit mi, la masse de (Si) ( i = 1, 2) placée au point
Mi de coordonnées xi, yi, zi dans le repère R.
On note G', le centre de gravité de (S'), D' et E'
les produits d'inertie de (S') par rapport aux axes
du repère R
(S') est dynamiquement équilibré si G' est sur
l'axe (O, z 0 ) et si D' = 0 et E ' = 0
Traduction des conditions d'équilibre dynamiques :
a) Le point G' est sur l'axe de rotation (O, z = z 0 ) ce qui se traduit par 2 équations en projection sur les
axes x et y du repère R :
0 = m.a + m1 .x1 + m 2 .x 2
(1)


(m + m1 + m 2 ).OG ' = m.OG + m1 .OM1 + m 2 .OM 2
0 = 0 + m1 .y1 + m 2 .y 2
(2)

(m + m + m ).z = m.c + m .z + m .z
1
2
G'
1 1
2 2

b) La nullité des produits d'inertie D' et E' :
se traduit par 2 équations dans lesquelles interviennent les paramètres D, E, m1, x1, y1, z1, m2, x2, y2, z2 :
0 = D' = D + m1 .y1 .z1 + m 2 .y 2 .z 2 (3)
I ( O,S') = I ( O,S) + I (O,S1) + I (O,S2)

 0 = E' = E + m1 .x 1.z1 + m 2 .x 2 .z 2 (4)
On dispose de 4 équations (1), (2), (3) et (4) pour déterminer 8 inconnues :
- valeurs des masses 1 et 2 : m1, m2
- position des masses : coordonnées x1, y1, z1, x2, y2, z2
Dans le cas de l'équilibrage d'une roue de voiture, les masses sont fixées sur le bord de la jante (de rayon
maxi r et largeur l ) et de chaque côté de celle-ci. En notant Hi, la projection orthogonale du point Mi sur
l'axe (O, z 0 ) et en posant : θi = ( x , HiMi) et ri = HiMi . On est donc ramené à un nouveau système de 4
équations à 4 inconnues (valeurs des masses m1, m2 et leur position angulaire θ1 et θ2) :
0 = m.a + m1.r. cos θ1 + m 2 .r. cos θ 2
(1' )

x1 = r. cos θ1 x 2 = r. cos θ 2

0 = 0 + m1 .r. sin θ1 + m 2 .r. sin θ 2
( 2' )


y
r
.
sin
θ
y
r
.
sin
θ
=
=
 1

1
2
2
 z = l/2
 0 = D' = D + m1 .r. sin θ1 .l / 2 + m 2 .r. sin θ 2 .(− l / 2) (3' )
z 2 = −l / 2
 1
0 = E' = E + m1.r. cos θ1.l / 2 + m 2 .r. cos θ 2 .(− l / 2) (4' )
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DOCUMENT REPONSE : Equilibrage de la roue en rotation
Roue non équilibrée
Roue équilibrée
Dans le Système de coordonnées 1:
Masse et position des masses d'équilibrage :
Position du centre de gravité G :
Masse de m1 :
a = X G = …………….. mm
m1 = …………….. g
Masse de la roue :
Position angulaire de m1 :
m = …………….. g
θ1 = …………….. deg.
Produit d'inertie / plan (O,Y,Z) :
Masse de m2 :
D = Iyz = …………………….. g.mm
2
m 2 = …………….. g
Produit d'inertie / plan (O,X,Z) :
E = Ixz = …………………….. g.mm
Position angulaire de m2 :
2
θ 2 = …………….. deg.
Efforts dans la liaison pivot entre la roue et le bâti :
Efforts dans la liaison pivot entre la roue et le bâti :
Intensité de la résultante :
Intensité de la résultante :
Fbâti / roue = …………….. N
Fbâti / roue = …………….. N
Réduction de l'intensité l'effort = …..… %
Intensité du moment résultant (*):
M bâti / roue (O) = …………….. N.m
Intensité du moment résultant (*):
M bâti / roue (O) = …………….. N.m
* : le point d'expression du moment est le centre O
de la liaison pivot entre le bâti et la roue,
également origine du Système de coordonnées 1.
Réduction de l'intensité du moment = …..… %
côté bâti
masse m1 verte (côté opposé au bâti)
masse m2 jaune (côté du bâti)
côté opposé au bâti
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