Géométrie affine

Chapitre 1
Géométrie affine
Dans tout le chapitre la lettre K désignera un corps commutatif. Par exemple le corps des nombres réels R, le corps des
nombres complexes C ou un corps fini.
1.1
1.1.1
Généralités sur les espaces affines
Notion d’espace affine
Exemple 1.1.1.1. Considérons dans R2 , la droite affine D d’équation y = 2x + 1. Cette droite est l’ensemble des points
x
0
1
2
D=
∈ R ; y = 2x + 1 =
+R
.
y
1
2
L’équation y = 2x + 1 est une équation implicite de la droite D . L’écriture
0
1
D=
+R
.
1
2
est un paramétrage de la droite D .
On constate que cette droite peut être vue comme un point
0
1
au quel on “ajoute” la droite linéaire R
Pour tout point (x, y) ∈ D , on a y − b = 2(x − a)
x
a
1
=
+ (x − a)
y
b
2
Cette droite linéaire est unique, on l’appelle direction de la droite affine D son équation implicite est y = 2x.
Exemple 1.1.1.2. Considérons dans R3 le plan affine d’équation implicite
P : x + y + z = 1.
Un paramétrage de P est
 
  




0
1
0
 x

P =  y  ∈ R3 ; x + y + z = 1 =  0  + R  0  + R  1  .


z
1
−1
−1
 




0
1
0
Le plan affine P est la “somme” du point A =  0  avec le plan vectoriel R  0  + R  1  .
1
−1
−1
Ce plan vectoriel ne dépend pas du point, on l’appelle direction du plan affine et son équation implicite est
x + y + z = 0.
1
1
2
.
2
CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE
Exemple 1.1.1.3. L’ensemble des primitives de la fonction x → sin(x) + x2 est
1
1
{x 7→ −cos(x) + x3 +C | C ∈ R} = {x 7→ −cos(x) + x3 } + R
3
3
Cet ensemble est là encore un point de l’espace des solutions x 7→ −cos(x) + 13 x3 au quel on “ajoute” une droite linéaire.
Les solutions de l’équation y” = sin(x) + x2 sont
{x 7→ −sin(x) +
1 4
1
x +Cx + D | (C, D) ∈ R2 } = {x 7→ −sin(x) + x4 } + R2
12
12
1 4
Cet ensemble est là encore un point de l’espace des solutions x 7→ −sin(x) + 12
x au quel on “ajoute” un plan.
Définition 1.1.1.4 (Espace affine). On appelle K-espace affine un triplet (X, ~E, +) formé d’un ensemble non vide X (l’ensemble des points), d’un K-espace vectoriel ~E (l’espace des vecteurs) et d’une application +
+ : X × ~E →
X
(A,~u) 7→ A +~u
qui vérifie les propriétés suivantes :
1. ∀(A,~u,~v) ∈ X × ~E × ~E, (A +~u) +~v = A + (~u +~v)
2. ∀(A,~u) ∈ X × ~E, (A +~u = A ⇔ ~u = ~0)
3. ∀(A, B) ∈ X × X, ∃~u ∈ ~E, A +~u = B.
L’espace vectoriel ~E est appelé direction de l’espace affine (X, ~E, +).
Remarque 1.1.1.5. Si B = A +~u alors A = B −~u. On déduit cela de l’axiome 1 :
B −~u = (A +~u) −~u = A + (~u −~u) = A.
Proposition 1.1.1.6. Soit (X, ~E, +) un espace affine, A et B deux points. Si B = A +~u et B = A +~v alors ~u =~v.
Démonstration. En effet par ce qui précède et par les axiomes nous avons
A = B −~u = (A +~v) −~u = A + (~v −~u).
Par l’axiome 2 nous obtenons alors ~v = ~u.
Remarque 1.1.1.7. Les axiomes de cette définition traduisent le fait que l’application + est une action de groupe, transitive
et libre du groupe additif de l’espace vectoriel ~E sur l’ensemble X. Plus précisément, l’axiome 1 et la partie (⇐) de l’axiome
2 définissent l’application + : ~E × X → X comme une action de (~E, +) sur X. L’axiome 3 impose que l’action soit transitive
et la partie (⇒) de l’axiome 2 impose que l’action soit libre. Dans le cas présent, l’axiome 2 peut être remplacé par l’axiome :
{~u ∈ ~E | ∀A ∈ XA +~u = A} = {~0}.
Supposons qu’il existe ~u et un point A, tel que A = A +~u. Montrons que pour tout B on a B = B +~u, ce qui conduira à ~u = ~0.
En effet par transitivité il existe ~v tel que B = A +~v. Donc
B +~u = (A +~v) +~u = A + (~v +~u) = A + (~u +~v) = (A +~v) +~u = A +~u = B
On notera qu’on utilise de manière cruciale la commutativité de l’addition de ~E. Cet axiome est appelé fidélité de l’action.
Mise en garde 1. Fixons (X, ~E, +) un espace affine. Les “points” de l’espace affine sont les éléments de X. Les “vecteurs” de
l’espace affine sont les éléments de l’espace vectoriel ~E. Les points et les vecteurs sont donc des objets de nature différente
d’où l’emploi pédagogique des lettres différentes X et ~E. Toutefois, il est psychologiquement plus agréable de noter la
direction de l’espace affine ~X plutôt que ~E. Ceci n’est jamais qu’une notation et si on l’emploie il faudra faire attention à ne
pas confondre les points de X et les vecteurs de ~X.
1.1. GÉNÉRALITÉS SUR LES ESPACES AFFINES
3
Exemple 1.1.1.8. Un espace vectoriel E induit un espace affine (E, ~E = E, +) où l’opération + est la loi additive de l’espace
vectoriel. Dans cet exemple les éléments de E ont donc les deux sens “points” et “vecteurs” mais dans le premier cas il n’y
a pas d’origine fixée, alors que dans le deuxième, le vecteur nul ~0 est privilégié par la structure.
Exemple 1.1.1.9 (Solutions d’un système linéaire avec second membre). Considérons une matrice A de taille n. Soit B un
vecteur de K. On considère le système :
AX = B.
Notons que si B n’appartient pas à l’image de la matrice alors ce système n’a pas de solutions.
Si B appartient à l’image de la matrice, alors ce système a des solutions et l’ensemble de ses solutions est un espace affine
noté S dirigé par le noyau de la matrice ker A
+ : S × ker A → S
(S, X)
7→ S + X
Cette application est bien définie car
A(S + X) = AS + AX = B + 0 = B.
On vérifie immédiatement les axiomes précédents. L’unique chose à noter étant que pour deux solutions S1 et S2 leur différence appartient au noyau :
AS1 = B, AS2 = B ⇒ A(S1 − S2 ) = 0.
Proposition 1.1.1.10. Soit (X, ~E, +) un espace affine. Pour tout couple de points (A, B) de X, il existe un unique vecteur ~u
−
→
−
→
de ~E, tel que B = A +~u. Classiquement on notera ce vecteur AB. Les points A et B sont confondus si et seulement si AB = ~0.
Démonstration. Soit (A, B) un couple de points de X. Par définition d’un espace affine, l’axiome 3 certifie l’existence d’un
vecteur ~u ∈ E, tel que B = A +~u. Montrons que ce vecteur est unique. Pour cela considérons ~v ∈ ~E tel que B = A +~v.
Montrons que ~u =~v. En effet, par l’axiome 1 nous avons,
B −~v = (A +~v) −~v = A + (~v −~v) = A
et nous avons aussi
B −~v = (A +~u) −~v = A + (~u −~v),
donc
A = A +~u −~v
−
→
donc par l’axiome 2 nous avons ~u =~v. Supposons que les points A et B sont confondus, alors A = A + AB donc par l’axiome 2
−
→
−
→
(ou par ce qui précède) AB est nul. Réciproquement si AB est nul alors par définition de ce vecteur A et B sont confondus.
Proposition 1.1.1.11 (Relation de Chasles). Soit (X, ~E, +) un espace affine. Pour tout triplet (A, B,C) de points de X on a
−
→ −
→ −
→
AB + BC = AC.
Démonstration. Soit (A, B,C) un triplet de points de X. Par définition nous avons les relations suivantes :
−
→
−
→
C = B + BC, B = A + AB
donc par l’axiome 1 on a
−
→ −
→
−
→ −
→
C = (A + AB) + BC = A + (AB + BC).
−
→
Par ailleurs on a aussi C = A + AC, donc par la proposition précédente ou par l’axiome 2 on obtient l’identité de Chasles.
4
CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE
1.1.2
Vectorialisation
Mise en garde 2. Soit (X, ~E, +) un espace affine. On a précédement mis en garde sur la confusion entre “points” et
“vecteurs” qui ne sont pas de même nature. Néanmoins, si l’on fixe un point A de X, alors on peut se repérer par rapport au
point A que l’on considère comme origine. Ce procédé s’appelle vectorialisation.
Proposition 1.1.2.1. Soit (X, ~E, +) un espace affine. Soit A un point de X. L’application
ϕA : X → ~E
−
→
B 7→ AB
est une bijection de l’ensemble des points X sur l’ensemble des vecteurs ~E.
Démonstration. Remarquons tout d’abord que pour tout vecteur ~u de ~E nous avons ϕA (A +~u) = ~u. Pour montrer que l’application ϕA est une bijection, nous construisons une application inverse ψA : ~E → X et nous montrons que ϕA ◦ ψA = IdX et
ψA ◦ ϕA = Id~E . Il suffit de considérer l’application ψA (~u) = A +~u. En effet soit ~u ∈ ~E, on a
ϕA (ψA (~u)) = ϕA (A +~u) = ~u.
Réciproquement soit B un point de X on a
−
→
−
→
ψA (ϕA (B)) = ψA (AB) = A + AB = B.
Proposition 1.1.2.2 (Vectorialisation). Soit (X, ~E, +) un espace affine. Soit A un point de X. L’ensemble des points X a une
structure de K-espace vectoriel :
1. La loi interne que nous noterons +A est définie par
+A : X × X →
X
−
→ −
→
(B,C) 7→ B +A C := A + (AB + AC)
2. La loi externe que nous noterons .A est définie par
.A : K × X
(λ, B)
→
X
−
→
7
→
λ.A B := A + λAB
Cet espace vectoriel est appelé vectorialisé de X au point A, on le note XA .
Démonstration. Soit A ∈ X. On considère l’application,
Φ : X → ~E
−
→
B 7→ AB
Cette application est une bijection et permet de transporter la structure, en particulier
−
→ −
→
B +A C = Φ−1
A (AB + AC)
et
−
→
λ.A B = Φ−1
A (λ.AB).
Ainsi (X, +A , .A ) est un K espace vectoriel et ΦA est un isomorphisme entre (X, +A , .A ) et (~E, +, .).
→ On peut aussi vérifier les 8 axiomes :
• (X, +A ) est un groupe commutatif.
1.1. GÉNÉRALITÉS SUR LES ESPACES AFFINES
5
Commutativité. Par commutativité de la loi + de ~E on a pour tout point B et C de X
−
→ −
→
−
→ −
→
B +A C = A + (AB + AC) = A + (AC + AB) = C +A B
Associativité. Par associativité de la loi + de ~E on a
−
→ −
→
(B +A C) +A D = (A + (AB + AC)) +A D
−
→ −
→ −→
−
→ −
→ −→
−
→ −→
= A + ((AB + AC) + AD) = A + (AB + (AC + AD)) = B +A (A + (AC + AD)) = B +A (C +A D).
Neutre. On vérifie que A est élément neutre pour +A : pour tout B ∈ X
−
→ −
→
−
→
B +A A = A + (AB + AA) = A + AB = A = A +A B
−
→
Symétrique. On vérifie que C := A + BA est l’opposé de B pour la loi +A :
−
→ −
→
C +A B = B +A C = A + (AB + BA) = 0.
• Vérifions les axiomes de la loi externe .A : soit λ et µ deux scalaires et B et C deux points :
– En utilisant la distributivité de . sur + pour ~E on obtient la distributivité de .A sur +A :
−
→ −
→
−
→ −
→
−
→
−
→
λ.A (B +A C) = λ.A (A + (AB + AC)) = A + λ.(AB + AC) = A + λAB + λAC = λ.A B +A λ.AC.
– En utilisant l’axiome de ~E : (λ + µ)~u = λ~u + µ~u on obtient :
−
→
−
→
−
→
(λ + µ).A B = A + (λ + µ)AB = A + (λAB + µAB) = λ.A B +A µ.A B
– En utilisant l’axiome de ~E : (λµ)~u = λ(µ~u) on obtient
−
→
−
→
(λµ).A B = A + (λµ)AB = A + λ(µAB) = λ.A (µ.A B)
– En utilisant l’axiome de ~E : 1.~u = ~u on obtient
−
→
−
→
1.A B = A + (1.AB) = A + AB = B.
Par construction l’application ΦA est un morphisme, ce morphisme est aussi bijectif, c’est donc un isomorphisme.
Notation 1.1.2.3. Lorsque l’on choisit de privilégier un point A de X, on notera X (et on pensera à X) sous la forme
X = A + ~E.
En effet tout élément M de X s’écrit de manière unique sous la forme
−→
M = A + AM.
1.1.3
Dimension
Définition 1.1.3.1. La dimension d’un espace affine (X, ~E, +) est par définition celle de sa direction ~E.
6
CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE
1.1.4
Repères affines, coordonnées affines
Définition 1.1.4.1 (Repère affine). Soit (X, ~E, +) un espace affine. Un repère affine de X, noté R = (O, B ), est la donnée
d’un point O de X, appelé origine du repère, et d’une base B de la direction ~E.
Définition 1.1.4.2 (Coordonnées en dimension finie). Soit (X, ~E, +) un espace affine de dimension finie d muni d’un repère
affine R = (O, B ). Notons~e1 , . . .,~ed , les vecteurs de la base B . Pour tout point A de X, il existe un unique d-uplet de scalaires
(λi ) ∈ Kd , tel que
d
A = O + ∑ λi~ei .
i=1
Ces scalaires sont appelés coordonnées de A dans le repère R = (O, B ). On notera [A]R le vecteur des coordonnées de A
dans le repère R . Avec les notations précédentes [A]R = (λi ).
−
→
Remarque 1.1.4.3. Les coordonnées de A dans le repère R = (O, B ) sont aussi les coordonnées du vecteur OA dans la
−
→
base B. En effet nous avons d’une part A = O + OA et d’autre part A = O + ∑di=1 λi~ei , nous en déduisons donc l’égalité
−
→
OA = ∑di=1 λi~ei .
Remarquons que le fait que l’espace affine soit de dimension finie importe peu on peut donc généraliser :
Définition 1.1.4.4 (Coordonnées). Soit (X, ~E, +) un espace affine muni d’un repère affine R = (O, B ). Ecrivons la base B
sous la forme (~ei )i∈I . Pour tout point A de X, il existe une unique famille de scalaires (λi ) ∈ KI , telle que
d
A = O + ∑ λi~ei .
i∈I
Ces scalaires sont appelés coordonnées de A dans le repère R = (O, B ). Les coordonnées de A dans le repère R = (O, B )
−
→
sont aussi celles du vecteur OA dans la base B .
Formules de changement de repère Soit (X, ~E, +) un espace affine de dimension d, muni de deux repères affines R =
(O, B ) et R 0 = (O0 , B 0 ).
Soit A un point de X. Notons ~e1 ,..., ~ed , les vecteurs de la base B et ~f1 ,..., ~fd , les vecteurs de la base B 0 . Considérons les
coordonnées de A dans les repères R et R 0 :
d
A = O + ∑ xi~ei
i=1
et
d
A = O0 + ∑ y j ~f j .
j=1
Les formules de changement de repère permettent d’exprimer les coordonnées (xi ) de A dans le repère R en fonction des
coordonnées (yi ) de A dans le repère R 0 . L’idée étant de partir de l’expression de A dans le repère R 0 et de faire apparaître
le point O et les vecteurs (~ei ).
Notons tout d’abord que les vecteurs de la base B 0 s’expriment en fonction de ceux de la base B :
d
∀ j ∈ {1, . . . , d} ~f j = ∑ ai, j~ei .
i=1
Notons aussi que l’origine O0 du repère R 0 a comme tout point de X des coordonnées dans le repère R , nous les notons (o0i ) :
d
O0 = O + ∑ o0i~ei .
i=1
1.1. GÉNÉRALITÉS SUR LES ESPACES AFFINES
7
Par conséquent nous avons
A = O0 + ∑dj=1 y j ~f j
= (O + ∑di=1 o0i~ei ) + ∑dj=1 y j (∑di=1 ai, j~ei )
= (O + ∑di=1 o0i~ei ) + ∑dj=1 ∑di=1 y j ai, j~ei
= (O + ∑di=1 o0i~ei ) + ∑di=1 ∑dj=1 y j ai, j ~ei
= O + ∑di=1 ∑dj=1 o0i + y j ai, j ~ei
= O + ∑di=1 xi~ei
Par unicité 1.1.1.6, nous obtenons l’égalité des vecteurs :
d
d
d
∑ ( ∑ (o0i + y j ai, j )~ei = ∑ xi~ei .
i=1 j=1
i=1
Par unicité de la décomposition d’un vecteur sur une base nous obtenons :
d
∀ i ∈ {1, . . . , d}, xi =
∑ o0i + y j ai, j .
j=1
D’une manière bien plus maniable nous écrirons ces relations sous forme matricielle :






x1
.
.
.
xd


 
 
=
 
 
o01
.
.
.
o0d


 
 
+
 
 
a1,1 . . .
.
.
.
ad,1 . . .
a1,d
.
.
.
ad,d






y1
.
.
.
yd



.


Nous pouvons alors introduire quelques notations
Notations 1.1.4.5. Notons :
• [A]R le vecteur des coordonnées de A dans le repère R ; ci-dessus [A]R = (xi ).
• [A]R 0 le vecteur des coordonnées de A dans le repère R 0 ci-dessus [A]R 0 = (yi ).
• [B 0 ]B la matrice exprimant les vecteurs de la base B 0 dans la base B ; ci-dessus [B 0 ]B = (ai, j ).
La relation précédente s’écrit donc
[A]R = [O0 ]R + [B 0 ]B .[A]R 0 .
1.1.5
Points affinement libres, affinement générateurs, base affine
Proposition 1.1.5.1. Soit (X, ~E, +) un espace affine de dimension finie. Soit (Ai )i∈I une famille non vide de points de X. Les
propriétés suivantes sont équivalentes :
−−→
1. il existe i0 ∈ I tel que la famille (Ai0 Ai )i∈I\{i0 } soit libre (resp, génératrice, resp une base) dans ~E.
−−→
2. pour tout i0 ∈ I la famille (Ai0 Ai )i∈I\{i0 } est libre (respectivement génératrice, respectivement une base) dans ~E.
La famille (Ai )i∈I est alors dite affinement libre, respectivement affinement génératrice, respectivement base affine de X.
Démonstration. Le deuxième point implique le premier. Prouvons la réciproque.
8
CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE
−−→
• Supposons pour cela qu’il existe un élément i0 de I tel que la famille (Ai0 ai )i∈I\{i0 } soit libre. Fixons i1 ∈ I et montrons
−−→
que la famille (Ai1 ai )i∈I\{i1 } est libre. Pour cela considérons une famille de scalaires (λi )i∈I\{i1 } vérifiant
∑
−−→
λi Ai1 ai = 0,
i∈I\{i1 }
et montrons que pour tout i ∈ I \ {i1 }, le scalaire λi est nul. Utilisons la relation de Chasles pour faire intervenir
l’élément i0 , et ainsi l’hypothèse :
−−→
−−−→
−−→
∑i∈I\{i1 } λi Ai1 ai = ∑i∈I\{i1 } λi Ai1 Ai0 + ∑i∈I\{i1 } λi Ai0 Ai
−−−→
−−→
= − ∑i∈I\{i1 } λi Ai0 Ai1 + ∑i∈I\{i1 } λi Ai0 Ai
−−→
Par hypothèse la famille (Ai0 Ai )i∈I\{i0 } est libre donc nous obtenons que pour tout élément i de I \ {i0 , i1 }, le scalaire
−−→
λi est nul ainsi que la somme ∑i∈I\{i1 } λi . En particulier nous en tirons que λi0 est nul. La famille (Ai1 Ai )i∈I\{i1 } est
ainsi libre.
−−→
• Supposons qu’il existe un élément i0 de I tel que la famille (Ai0 Ai )i∈I\{i0 } soit génératrice. Fixons i1 ∈ I et montrons que
−−→
la famille (Ai1 Ai )i∈I\{i1 } est génératrice. Pour cela considérons un vecteur ~u de ~E, et montrons qu’il est combinaison
−−→
linéaire des vecteurs de la famille (Ai1 Ai )i∈I\{i1 } . Par hypothèse, ce vecteur est combinaison linéaire des vecteurs de la
−−→
famille (Ai0 Ai )i∈I\{i0 } , donc il existe une famille de scalaire (λi )i∈I\{i0 } telle que :
~u =
∑
−−→
λi Ai0 Ai .
i∈I\{i0 }
Par la relation de Chasles faisons intervenir l’élément i1 :
−−→
~u = ∑i∈I\{i0 } λi Ai0 Ai
−−→
−−−→
= ∑i∈I\{i0 } λi Ai1 Ai + ∑i∈I\{i0 } λi Ai0 Ai1
−−→
−−−→
= ∑i∈I\{i0 ,i1 } λi Ai1 Ai − ∑i∈I\{i0 } λi Ai1 Ai0
−−→
cette dernière égalité montre que le vecteur ~u est une combinaison linéaire de la famille (Ai1 Ai )i∈I\{i1 } .
• Une base de ~E étant par définition une famille à la fois libre et génératrice, l’assertion sur les bases résulte directement
des deux assertions précédentes.
1.1.6
Sous-espace affine
Définition 1.1.6.1. Soit (X, ~E, +) un espace affine. Soit Y une partie non vide de X. On dit que Y est un sous espace affine
de (X, ~E, +) si et seulement si il existe un point A ∈ Y tel que
−→
{AM | M ∈ Y }
est un sous espace vectoriel de ~E. En ce cas :
−→
Y = A + {AM | M ∈ Y } = A + sous espace vectoriel de ~E.
On notera que la première égalité est toujours vraie !
Proposition 1.1.6.2. Soit (X, ~E, +) un espace affine. Soit Y une partie non vide de X. Les assertions suivantes sont équivalentes :
1. Y est un sous espace affine de (X, ~E, +), autrement dit :
1.1. GÉNÉRALITÉS SUR LES ESPACES AFFINES
9
−→
il existe A ∈ Y tel que l’ensemble {AM ∈ ~E | M ∈ Y } est un sous espace vectoriel de ~E
−→
2. pour tout A ∈ Y , l’ensemble {AM ∈ ~E | M ∈ Y } est un sous espace vectoriel de ~E
−
→
−
→
3. il existe un point A de Y et un sous espace vectoriel FA de ~E tel que Y = A + FA
−
→
−
→
4. pour tout point A de Y , il existe un sous espace vectoriel FA de ~E tel que Y = A + FA .
Si Y est un sous espace affine de (X, ~E, +), alors pour tous points A et B de Y on a l’égalité de sous espaces vectoriels de ~E :
−→
−→
{AM | M ∈ Y } = {BM | M ∈ Y }
On note alors ~EY ce sous espace, et on l’appelle direction de Y . Pour tout point A de Y on a donc la décomposition : Y = A +
~EY . Muni de la loi + induite par la loi + de (X, ~E, +), le triplet (Y, ~EY , +) est un espace affine. Méthode ! Mettre des onglets méthode
Démonstration. Montrons l’équivalence des assertions. Pour cela on prouve une chaîne d’implications. Nous avons directement (4) ⇒ (3) et (2) ⇒ (1). Montrons alors (3) ⇒ (2) puis (1) ⇒ (4).
−
→
(3) ⇒ (2)Analyse du problème (au brouillon) Supposons qu’il existe un point A de Y et un sous espace vectoriel FA
−
→
−→
de ~E tel que Y = A + FA . Fixons un point B ∈ Y et montrons que l’ensemble {BM ∈ ~E | M ∈ Y } est un sous espace
vectoriel de ~E.
Par définition d’un sous espace vectoriel, il s’agit donc de montrer que pour tout point L, N de Y et pour tout scalaire
−
→ −→
−
→ −→ −
→
λ de K, λBL + BN il existe un point P de Y tel que λBL + BN = BP.
Raisonnons par condition nécessaire : si un tel point P existe alors
−
→ −→ −
→
λBL + BN = BP
équivaut à
Ainsi si on montre l’égalité :
−
→
−
→ −→ −
→
λBA + λAL + AN = AP.
→
~FA = {−
AM | M ∈ Y }
−
→
−
→ −→
−→
alors le vecteur λBA + λAL + AN ∈ {AM | M ∈ Y }, car ~FA est un sous espace vectoriel, ce qui fournit l’existence d’un
tel point P.
Synthèse (au propre) Montrons l’égalité
→
~FA = {−
AM | M ∈ Y }
Remarquons que l’on a par hypothèse
−→
Y = A + ~FA = A + {AM | M ∈ Y }
L’unicité de la décomposition point-vecteur permet de conclure.
−→
(En effet : si ~u ∈ ~FA , alors notons M le point A +~u appartenant à Y et par unicité ~u = AM ce qui montre l’inclusion
−
→
−
→
~FA ⊂ {AM | M ∈ Y }. Réciproquement pour tout point M de Y , M = A + AM, or par hypothèse Y = A + ~FA donc il
−→
existe un vecteur ~u ∈ ~FA tel que M = A +~u et par unicité on a AM = ~u d’où l’autre inclusion.)
−
→
−
→ −→
Soit B, L, N des points de Y et λ un scalaire, le vecteur −λAB + λAL + AN appartient à ~FA qui est un sous espace
−
→
vectoriel de ~E égal à {AM | M ∈ Y }, donc il existe un point P de Y tel que
−
→
−
→ −→ −
→
−λAB + λAL + AN = AP,
et on déduit par la relation de Chasles que pour tout point B de Y
−
→ −→ −
→
λBL + BN = BP,
et donc que pour tout point B de Y ,
est sous espace vectoriel de ~E.
−
→
{BL ∈ ~E | M ∈ Y }
10
CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE
−→
(1) ⇒ (4) Supposons qu’il existe A ∈ Y tel que l’ensemble ~V := {AM ∈ ~E | M ∈ Y } est un sous espace vectoriel de ~E.
Fixons un point B ∈ Y et montrons Y = B + ~V . On veut montrer une égalité entre deux ensembles, on procède donc
par double inclusion.
−→ −
→
−→
• Montrons Y ⊂ B + ~V . Soit C un point de Y . Nous avons C = B + BM et par Chasles C = B +~v avec ~v = AM − AB
qui appartient ~V car ~V est un espace vectoriel.
−→
• Montrons B + ~V ⊂ Y . Soit ~v un vecteur de ~V . Par définition il existe un point M de Y tel que ~v = AM. On a donc la
chaîne d’égalité
−→
−
→ −→
B +~v = B + AM = (A + AB) + AM.
−
→ −→
−
→ −→ −→
Le vecteur AB + AM appartenant à l’espace vectoriel ~V il existe un point N ∈ Y tel que AB + AM = AN. On conclut
par la chaîne d’égalités
−
→ −→
−→
B + ~V = A + AB + AM = A + AN = N ∈ Y.
Supposons que Y est un sous espace affine et montrons que l’espace vectoriel ~FA ne dépend pas de A. En effet soit B un autre
point de Y nous avons par la relation de Chasles
→
−→ −→ −
BM = AM − AB
−→
or ~FA est un espace vectoriel donc BM ∈ ~FA . Par conséquent nous ~FB ⊂ ~FA et par symétrie ~FA ⊂ ~FB .
Remarque 1.1.6.3. On retiendra qu’un sous espace affine (au même titre qu’un espace affine ) est totalement déterminé par
la donnée d’un point et de sa direction.
T
Proposition 1.1.6.4. Soit (X, ~E, +) un espace affine. Soit (Xi )i∈I une famille de sous espaces affines. L’intersection i∈I Xi
T
est soit l’ensemble vide, soit un sous espace affine de (X, ~E, +) dirigé par l’intersection i∈I ~EXi .
T
Démonstration. Supposons que l’intersection i∈I Xi est non vide. Considérons un point A dans cette intersection. Par la
−→
proposition précédente, pour tout i ∈ I, Xi = A + ~EXi où ~EXi est l’espace vectoriel {AM | M ∈ Xi }. Montrons alors l’égalité
\
i∈I
Xi = A +
\
~EXi .
i∈I
T
ceci prouvera par la proposition précédente que i∈I Xi est un sous espace affine.
Procédons par double inclusion. Montrons que A + ∩i∈I ~EXi ⊂ ∩i∈I Xi . En effet pour tout j ∈ I, nous avons
A + ∩i∈I ~EXi ⊂ A + ~EX j
donc
A + ∩i∈I ~EXi ⊂ ∩ j∈I (A + ~EX j ) = ∩ j∈I X j .
−→
Réciproquement, montrons l’inclusion ∩i∈I Xi ⊂ A + ∩i∈I ~EXi . Soit M ∈ ∩i∈I Xi nous avons M = A + AM. Pour tout point i ∈ I,
T
T
−→
−→
M appartient à Xi , par unicité de la décomposition AM appartient à ~EXi donc AM appartient à i∈I ~EXi . L’intersection i∈I ~EXi
est un sous espace vectoriel de ~E comme intersection de sous espaces vectoriels de E.
Remarque 1.1.6.5. L’union de deux sous espaces affines n’est en général pas un sous espace affine. C’est déjà le cas au
niveau des sous espaces vectoriels. On introduit donc la notion de sous espace engendré.
Définition 1.1.6.6 (Sous espace affine engendré). Soit (X, ~E, +) un espace affine. Soit Y une partie de X. On appelle sous
espace affine de (X, ~E, +) engendré par Y l’intersection de tous les sous espaces affines de (X, ~E, +) contenant Y . C’est le
plus petit sous espace affine de (X, ~E, +) dont l’espace des points contient Y .
Exemple 1.1.6.7. Soit (X, ~E, +) un espace affine. Soit (Ai )i∈I une famille (non vide) de points de X. L’espace affine engendré
par cette famille est égal à
−−→ −−→
Ai0 + Vect{Ai0 Ai | i ∈ I},
quelque soit le i0 choisi dans I.
En effet cet espace affine contient l’ensemble des points Ai , de plus la direction de tout sous espace affine contenant les
−−→
points Ai contient les vecteurs Ai0 Ai .
1.1. GÉNÉRALITÉS SUR LES ESPACES AFFINES
1.1.7
11
Parallélisme, intersection
Définition 1.1.7.1. Soit (X, ~E, +) un espace affine. Soit Y et Z deux sous espaces affines de direction ~EY et ~EZ . On dit que
ces sous espaces sont parallèles si l’on a ~EY = ~EZ . On dit que ces sous espaces sont faiblement parallèles si l’on a ~EY ⊂ ~EZ
ou ~EZ ⊂ ~EY .
Théorème 1.1.7.2. Soit (X, ~E, +) un espace affine.
1. Pour tout point A de X, pour tout sous espace affine Y , il existe un unique espace affine Z passant par A et parallèle à
Y.
2. Si deux sous espaces affines sont parallèles, ils sont disjoints ou confondus.
3. Si deux sous espaces affines sont faiblement parallèles alors l’un des deux est inclus dans l’autre ou ils sont disjoints.
Démonstration.
1. Soit A un point de X et fixons un sous espace affine Y de (X, ~E, +). Le sous espace affine A + ~EY passe
par A et est parallèle à Y . Si Z est un autre espace affine convenable alors, ~EY = ~EZ . En ce cas Z = A+ ~EZ = A+ ~EY = Y .
2. Considérons Y et Z deux sous espaces affines parallèles. Par conséquent ~EY = ~EZ . Supposons ces deux sous espaces
non disjoints. Soit A un point dans l’intersection nous avons donc Y = A + ~EY = A + ~EZ = Z.
3. Considérons Y et Z deux sous espaces affines faiblement parallèles. Par exemple ~EY ⊂ ~EZ . Supposons ces deux sous
espaces non disjoints. Soit A un point dans l’intersection nous avons donc Y = A + ~EY ⊂ A + ~EZ = Z.
Remarque 1.1.7.3. Dans un espace affine, par un point A passe une unique droite D 0 parallèle à une droite donnée D .
→
−
Démonstration. Si une telle droite existe, sa direction est celle de D , D et passant par A elle est entièrement déterminée :
→
−
D 0 = A + D . Réciproquement cette droite convient.
Théorème 1.1.7.4. Soit (X, ~E, +) un espace affine. Soit Y et Z deux sous espaces affines. Soit A ∈ Y et B ∈ Z. On a équivalence entre
1. Y ∩ Z 6= 0/
−
→
2. AB ∈ ~EY + ~EZ
Démonstration. Supposons que l’intersection Y ∩ Z soit non vide. Considérons un point M ∈ Y ∩ Z. Les points A et M
−→
−→
appartiennent à Y donc le vecteur AM appartient à ~EY , de même les points B et M appartiennent à Z donc le vecteur MB
−
→ −→ −→
appartient à ~EZ . Par la relation de Chasles AB = AM + MB ∈ ~EY + ~EZ .
−
→
Réciproquement supposons que le vecteur AB appartiennent à ~EY + ~EZ . Par conséquent il s’écrit sous la forme
−
→
AB = ~u +~v
Comme Y et Z sont deux espaces affines, notons N le point de Y défini par A +~u et M le point de Z défini par B −~v. Montrons
−→
−
→ −→ −→
−
→ −→ −−→ −→
−→
que M = N. Nous avons ~u = AN et ~v = MB ainsi que AB = AN + MB or par la relation de Chasles AB = AN + NM + MB,
−−→
donc NM = 0 donc les points N et M sont égaux donc l’intersection de Y et Z est non vide.
Remarque 1.1.7.5. En dimension 3 et pour deux droites non parallèles D1 = A + K~u et D2 = B + K~v on en déduit que
−
→ −−→
−
→
D1 ∩ D2 6= 0/ ⇔ AB ∈ Vect(~u,~v) ⇔ (AB,~u,~v) est liée.
Corollaire 1.1.7.6. Soit (X, ~E, +) un espace affine. Soit Y et Z deux sous espaces affines tels que ~EY et ~EZ soient deux sous
espaces supplémentaires de ~E. En ce cas Y ∩ Z est un point.
Démonstration. Considérons deux points A et B de Y et Z, les espaces ~EY et ~EZ sont deux sous espaces supplémentaires de
→
~E donc le vecteur −
AB appartient à ~EY + ~EZ donc par le théorème 1.1.7.4 l’intersection est non vide. Si A et B sont deux points
−
→
d’intersection alors AB appartient à l’intersection EY ∩ EZ qui est nulle car les espaces sont en somme directe. Les ensembles
Y et Z s’intersectent en un unique point.
Proposition 1.1.7.7. Soit (X, ~E, +) un espace affine de dimension finie. Soit Y et Z deux sous espaces affines.
12
CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE
1. Si Y ∩ Z 6= 0/ alors
dim < Y ∪ Z >= dimY + dim Z − dim(Y ∩ Z).
2. Si Y ∩ Z = 0/ alors
dim < Y ∪ Z >= dimY + dim Z − dim(~EY ∩ ~EZ ) + 1
où < Y ∪ Z > est l’ensemble des points de l’espace affine engendré par Y et Z.
Démonstration. Par définition la dimension dim < Y ∪ Z > est la dimension de la direction de < Y ∪ Z >. Nous devons donc
l’identifier.
• Si l’intersection est non vide, alors considérons un point M de l’intersection Y ∩ Z. On a donc Y = M + ~EY et Z = M + ~EZ .
Montrons que < Y ∪ Z >= M + ~EY + ~EZ .
On procède par double inclusion : tout d’abord nous avons
Y ⊂ M + ~EY + ~EZ et Z ⊂ M + ~EY + ~EZ ,
donc Y ∪ Z ⊂ M + ~EY + ~EZ , donc par définition, < Y ∪ Z >⊂ M + ~EY + ~EZ .
Réciproquement, si on note ~E<Y ∪Z> la direction de < Y ∪ Z >, alors
< Y ∪ Z >= M + ~E<Y ∪Z> .
Or Y = M + ~EY ⊂ M + ~E<Y ∪Z> donc ~EY ⊂ ~E<Y ∪Z> et de même ~EZ ⊂ ~E<Y ∪Z> , ce qui entraîne ~EY + ~EZ ⊂ ~E<Y ∪Z> . La formule
suit de la formule analogue en algèbre linéaire.
• Supponsons l’intersection vide. Considérons A ∈ Y , B ∈ Z et montrons que la direction de < Y ∪ Z > est
−
→
−−−−−−→ ~
< Y ∪ Z > = EY + ~EZ ⊕ KAB.
Si c’est le cas alors la formule suit.
−
→ −−−−−−→
−
→ −−−−−−→
−−−−−−→
−−−−−−→
Remarquons que ~EY ⊂ < Y ∪ Z >, ~EZ ⊂ < Y ∪ Z > et KAB ⊂ < Y ∪ Z > donc ~EY + ~EZ ⊕ KAB ⊂ < Y ∪ Z >.
−
→
Réciproquement A + ~EY + ~EZ + KAB est un sous espace affine de X, qui contient Y et Z donc qui contient par définition le
sous espace affine engendré < Y ∪ Z >. Ceci fournit donc l’égalité
−
→
−−−−−−→ ~
< Y ∪ Z > = EY + ~EZ + KAB.
−
→
Il reste à montrer que la somme est directe. Si le vecteur AB appartient à ~EY + ~EZ alors
−
→
AB = ~u +~v
avec ~u ∈ ~EY et ~v ∈ ~EZ . Par conséquent on a
−
→
A + (~u +~v) = A + AB = B
ce qui donne
A +~u = B −~v
/ contradiction.
or A +~u appartient à Y , B −~v appartient à Z et Y ∩ Z = 0,
1.2
1.2.1
Applications affines et groupe affine
Application affines
Définition 1.2.1.1. Soit (X, ~E, +) et (Y, ~F, +) deux espaces affines.
Une application f : X → Y est dite affine entre les espaces (X, ~E, +) et (Y, ~F, +) si elle vérifie l’une des deux assertions
équivalentes :
1.2. APPLICATIONS AFFINES ET GROUPE AFFINE
13
– il existe un point A ∈ X et une application linéaire ~f : ~E → ~F tels que
−→
∀M ∈ X, f (M) = f (A) + ~f (AM)
– il existe une application linéaire ~f : ~E → ~F telle que
∀A ∈ X, ∀~u ∈ ~E, f (A +~u) = f (A) + ~f (~u).
Si tel est le cas l’application ~f est uniquement déterminée par :
−−−−−−→
→
~f (−
AM) = f (A) f (M).
L’application linéaire ~f est appellée partie linéaire de l’application affine f .
Remarque 1.2.1.2. Avec les notations précédentes, s’il existe un point A de X tel que pour tout point M de X nous ayons
−→
f (M) = f (A) + ~f (AM),
alors pour tout couple de points (B, M) de X nous avons
−→
f (M) = f (B) + ~f (BM).
Une application affine est totalement déterminée par l’image d’un point et par sa partie linéaire.
Démonstration. En effet nous avons
nous avons alors
et par linéarité on obtient
−
→
f (B) = f (A) + ~f (AB)
−→
−
→
f (M) = f (B) + ~f (AM) − ~f (AB).
−→ −
→
−→
f (M) = f (B) + ~f (AM − AB) = f (B) + ~f (BM).
Proposition 1.2.1.3. Considérons (X, ~X, +), (Y,~Y , +) et (Z, ~Z, +) trois espaces affines, f : X → Y et g : Y → Z deux appli−−→
cations affines. L’application g ◦ f est une application affine de partie linéaire ~g ◦ ~f = g ◦ f .
Démonstration. Soit (A, M) un couple de point de X. Il s’agit de montrer que
−−→ −→
(g ◦ f )(M) = (g ◦ f )(A) + g ◦ f (AM).
→
− −→
Nous avons f (M) = f (A) + f (AM), en appliquant g nous obtenons
−→
−−→ −→
g( f (M)) = g( f (A)) +~g(~f (AM)) = (g ◦ f )(A) + g ◦ f (AM).
Proposition 1.2.1.4. Soit f : X → Y une application affine. L’application f est injective (respectivement surjective, respectivement bijective) si et seulement si ~f est injective (respectivement surjective, respectivement bijective).
Démonstration. Montrons l’équivalence pour l’injectivité. Fixons deux points A et B et un troisième point O. Nous avons
−→
−→
−→
−→
f (A) = f (O) + ~f (OA) et f (B) = f (O) + ~f (OB). Nous concluons alors que f (A) = f (B) si et seulement si ~f (OA) = ~f (OB)
donc f est injective si et seulement si ~f est injective.
Montrons l’équivalence pour la surjectivité. Soit B un point de Y . Fixons un point O de X. Il existe un point A de X tel
−−−−→
que f (A) = B si et seulement si il existe un vecteur ~u de ~X tel que f (O) + ~f (~u) = B c’est à dire ~f (~u) = f (O)B , en ce cas
−→
A = O +~u et ~u = OA. Ceci montre que f est sujective si et seulement si ~f est surjective.
L’équivalence pour la bijectivité provient des deux précédentes équivalences.
14
CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE
1.2.2
Point fixe
Soit f : X → X une application affine. Si l’application f a un point fixe A, alors pour tout point M de X nous avons
−→
−→
f (M) = f (A) + ~f (AM) = A + ~f (AM)
L’application f s’identifie alors avec ~f .
Théorème 1.2.2.1. Soit f : X → X une application affine où (X, ~X, +) est un espace affine de dimension finie. Si 1 n’est pas
valeur propre de ~f alors f a un unique point fixe.
Démonstration. Rappelons que “1 n’est pas valeur propre de ~f ” signifie que le noyau ker(~f − id) est réduit à {0} autrement
dit l’application ~f − id est injective. L’espace ~X étant de dimension finie, par le théorème du rang on en conclue que ~f − id
est une bijection.
Montrons l’existence d’un point fixe.
Analyse. Fixons une origine O de X. Supposons qu’un point A soit un point fixe. On a alors
−
→
−→
−→
A = O + OA, f (A) = f (O) + ~f (OA), et A = f (O) + ~f (OA)
−
→
donc A = O + O f~(O) + ~f (OA) c’est à dire par unicité
−−−−→
→ −→
~f (−
OA) − OA = −O f (O).
−−−−→
−
→
Si A est point fixe alors le vecteur OA est nécessairement un antécédent du vecteur −O f (O) par l’application ~f − id. L’endomorphisme ~f − id étant injectif par hypothèse est donc surjectif par le théorème du rang cet antécédent existe et il est unique.
Ceci nous donne un candidat.
Synthèse. Fixons une origine O de X. L’endomorphisme ~f − id étant injectif par hypothèse est donc surjectif par le
−−−−→
théorème du rang, il existe un unique vecteur ~u tel que ~f (u) − u = −O f (O). Notons A le point O +~u et montrons que
f (A) = A. En effet
−−−−→
f (A) = f (O +~u) = f (O) + ~f (~u) = f (O) + u − O f (O) = O +~u = A.
−
→
Montrons l’unicité du point fixe. Soit A et B deux points fixes montrons que A = B ou encore AB = 0. Nous avons alors
−
→
−
→
−
→
f (A) = A et f (B) = B. En particulier nous avons ~f (AB) = AB, donc AB appartient au noyau ker(~f − id) qui par hypothèse
−
→
est nul. Donc AB est nul et A est égal à B.
1.2.3
Translations et homothéties
Définition 1.2.3.1. Soit (X, ~E, +) un espace affine. Soit ~u un vecteur de ~E. On appelle translation de vecteur ~u notée t~u ,
l’application affine définie par
t~u (A) = A +~u
−→
Sa partie linéaire est l’identité id~E .
Remarque 1.2.3.2. Comme on l’a dit précédemment nous n’avons pas le choix pour la partie linéaire car :
−−−−−−→
→
~f (−
AB) = f (A) f (B)
−−−−−−→ −
−
→
−
→
−
→
→
or f (A) = A +~u = B +~u + AB = f (B) + AB donc ~f (AB) = f (A) f (B) = AB.
1.2. APPLICATIONS AFFINES ET GROUPE AFFINE
15
Proposition 1.2.3.3. Soit (X, ~E, +) un espace affine. L’ensemble des translations muni de la composition d’applications
affines est un groupe isomorphe au groupe additif (~E, +).
Démonstration. En effet on vérife que pour deux vecteurs ~u et ~v de ~E on a
t~u+~v = t~u ◦ t~v .
L’application ~u 7→ t~u est alors un isomorphisme.
Définition 1.2.3.4. Soit (X, ~E, +) un espace affine. Soit λ ∈ K∗ un scalaire non nul et O un point de X. On appelle homothétie
de centre O et de rapport λ l’application affine définie par :
f (O +~u) = O + λ~u
→
−
Sa partie linéaire est donc ~f = λ id . En particulier O est point fixe et on a pour tout point A,
−→
f (A) = O + λOA.
Proposition 1.2.3.5. Soit ( f , ~f ) : (X, ~E, +) → (X, ~E, +) une application affine.
1. f est une translation si et seulement si ~f = ~id.
2. f est une homothétie distincte de l’identité si et seulement si ~f = λ~id avec λ 6= 1.
Démonstration. Soit f une application affine de partie linéaire ~id. Fixons un point O de X. Pour tout point A on a f (A) =
−→
f (O) + OA donc
−−−−→ −→
−−−−→
f (A) = O + f (O)O + OA = A + f (O)O.
−−−−→
L’application affine f est donc la translation de vecteur f (O)O.
Soit f une application affine de partie linéaire λ~id. Par le théorème 1.2.2.1 il existe un unique point fixe de f noté O.
−
→
−→
Pour tout point A on a f (A) = f (O) + λOA = O + λOA. Ce qui montre que f est une homothétie.
Les autres implications résultent des définitions des translations et homothéties.
La partie linéaire d’une homothétie et d’une translation étant une homothétie linéaire on en déduit :
Proposition 1.2.3.6. L’image par une translation ou une homothétie d’un sous espace affine est un sous espace affine qui
lui est parallèle.
Proposition 1.2.3.7. Soit (X, ~E, +) un espace affine. L’ensemble
{t~u , | ~u ∈ ~E} ∪ {hΩ,λ | (Ω, λ) ∈ X × K},
est un sous groupe de GA(X, ~E), appelé groupe des homothéties-translations.
1.2.4
Groupe affine
Soit (X, ~E, +) un espace affine. Rappelons que pour une application affine f : (X, ~E) → (X, ~E), l’application f est
bijective si et seulement si sa partie linéaire ~f est inversible.
Définition 1.2.4.1. Soit (X, ~E, +) un espace affine. L’ensemble des applications affines inversibles muni de la loi de composition forme un groupe que l’on appelle groupe affine. On le note GA(X, ~E).
Proposition 1.2.4.2. L’application partie linéaire
GA(X, ~E) → GL(~E)
f
7→ ~f
est surjective, son noyau est le groupe des translations isomorphe au groupe additif (~E, +).
16
CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE
Démonstration. Montrons la surjectivité. Soit ~f une bijection linéaire de ~E. Fixons un point O de X et considérons l’application
−→
f (A) := O + ~f (OA).
L’application ( f , ~f ) est une application affine de partie linéaire ~f .
Par la remarque ci-dessus montrons que l’application ~f → f ainsi définie est un morphisme. Considérons deux isomorphismes ~f et ~g, considérons f : A 7→ O + ~f (OA) et g : A 7→ O +~g(OB) et montrons que pour tout point A de X,
−→
(g ◦ f )(A) = O + (~g ◦ ~f )(OA).
−−−−→
−→
Remarquons que le point O est fixe par f et par g et de plus pour tout A, O f (A) = ~f (OA). Faisons le calcul nous avons
−−−−→
−→
g( f (A)) = g(O) +~g(O f (A)) = O +~g(~f (OA))
ce qui est le résultat souhaité.
Montrons l’injectivité. Considérons deux vecteurs ~u et ~v, si pour tout point A (remarquons qu’ici il en suffit d’un) nous
avons t~u (A) = t~v (A) alors A +~u = A +~v donc par unicité ~u =~v.
Remarque 1.2.4.3. On résume la proposition précédente en disant que l’on a la suite exacte :
−
→
{0} → ~E →
0 7→ 0
~u 7→
t
→
t~u
( f , ~f )
(.)
GA(X, ~E) → GL(~E) → {1}
7→
~f
~f
7→
1
Autrement dit l’image d’un morphisme est le noyau du morphisme successif.
Dans la preuve précédente en fixant un point O nous avons exhibé un morphisme
sO : GL(~E) → GA(X, ~E)
−→
~f
7→ (A 7→ O + ~f (OA), ~f )
on dit que la suite exacte est scindée et le morphisme sO est appellé section 1 .
Dans ce cas on dévisse le groupe affine comme produit semi-direct du groupe (~E, +) par le groupe linéaire GL(~E) : Nous
avons l’isomorphisme
ΦO : (~E × GL(~E), ∗) → GA(X, ~E)
(~u,~ϕ)
7→ t~u ◦ sO (~ϕ)
Nous allons montrer la surjectivité, l’injectivité, puis nous munirons le produit ~E × GL(~E) de la bonne loi ∗ pour que l’application devienne un morphisme .
−−−→ :
• Montrons que l’application est surjective : soit ( f , ~f ) une application affine, composons f avec la translation t−
O f (O)
−−−−→
A 7→ A + O f (O) nous obtenons alors une application affine avec O comme point fixe :
−−−−→
−−−→ ◦ f )(O) = f (O) − O f (O) = O.
(t−−
O f (O)
1. Attention ce n’est pas toujours le cas, la section ensembliste existe toujours (axiome du choix) mais ce n’est pas toujours un morphisme de
groupes.
1.2. APPLICATIONS AFFINES ET GROUPE AFFINE
17
Ainsi pour tout point A nous avons
−−−→ ◦ f )(A) = O + ~f (A), donc t −−−−→ ◦ ( f , ~f ) = sO (~f )
(t−−
O f (O)
−O f (O)
donc
−−−→ ◦ sO (~f ).
( f , ~f ) = t−
O f (O)
• Montrons que l’application est injective. En effet soit ~u,~v deux vecteurs, et ~ϕ,~ψ deux isomorphismes tels que
t~u ◦ sO (~ϕ) = t~v ◦ sO (~ψ)
par conséquent nous avons
t~u ◦ t~v = sO (~ψ) ◦ sO (~ϕ)−1 ,
donc
t~u−~v = sO (~ψ ◦~ϕ−1 ).
→
−
→
−
Considérant les parties linéaires nous obtenons ~ψ ◦~ϕ−1 = id donc ψ = ϕ, et donc t~u−~v = id donc ~u = ~v (on aurait aussi pu
dire que le point O est fixe donc la translation est forcément l’identité) 2 .
Ainsi nous avons une décomposition unique (relativement au point O) de f :
−−−→ ◦ sO (~f ).
( f , ~f ) = t−
O f (O)
• Examinons la loi de composition ∗ à mettre sur le produit le produit ~E × GL(~E) pour que l’application ΦO devienne
un morphisme :
Analyse Nous avons les égalités :
−−−−−−→ ◦ sO (~
(g ◦ f ,~g ◦ ~f ) = t−
g ◦ ~f )
O(g◦ f )(O)
−−−→ ◦ sO (~
−−−→ ◦ sO (~f ))
= (t−
g)) ◦ (t−
Og(O)
O f (O)
−−−→ ◦ (sO (~
−−−→ ◦ sO (~
= t−
g) ◦ t−
g)−1 ) ◦ sO (~g) ◦ sO (~f )
Og(O)
O f (O)
−−−→ ◦sO (~
Calculons alors le produit sO (~g)◦t−
g)−1 . Remarquons tout d’abord que sa partie linéaire est la composée des parties
O f (O)
linéaires, c’est donc l’identité, donc par la caractérisation des homothéties et des translations (proposition 1.2.3.5), c’est une
translation. Pour déterminer le vecteur il suffit de regarder l’image d’un point, par exemple celle du point O. On a donc :
−−−→ ◦ sO (~
−−−→ (O)
sO (~g) ◦ t−
g)−1 (O) = sO (~g) ◦ t−
O f (O)
O f (O)
= sO (~g)( f (O))
−−−−→
= O +~g(O f (O))
Ainsi 3
−−−→ ◦ sO (~
−−−→ .
sO (~g) ◦ t−
g) = t~g(−
O f (O)
O f (O))
Revenons au calcul :
−−−−−−→ ◦ sO (~
(g ◦ f ,~g ◦ ~f ) = t−
g ◦ ~f )
O(g◦ f )(O)
−−−→ ◦ (sO (~
−−−→ ◦ sO (~
= t−
g) ◦ t−
g)−1 ) ◦ sO (~g) ◦ sO (~f )
Og(O)
O f (O)
−−−→ ◦ t −−−−→ ) ◦ sO (~
= (t−
g ◦ ~f )
Og(O) ~g(O f (O))
→
−
2. L’unicité de l’écriture vient du fait : t(~E) ∩ sO (GL(~E)) = {(id, id )}.
3. Ce type de formule est général en géométrie et théorie des groupes et porte le nom de “principe de conjugaison” : la conjuguée d’une translation
−−−−→
−−−−→
de vecteur O f (O) par l’application affine sO (~g) est la translation de vecteur ~g(O f (O)).
18
CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE
Il reste à vérifier l’égalité :
−−−−−−→ = t−−−−→ ◦ t −−−−→
t−
O(g◦ f )(O)
Og(O) ~g(O f (O))
autrement dit l’égalité vectorielle :
−−−−−−−→ −−−−→
−−−−→
O(g ◦ f )(O) = Og(O) +~g(O f (O))
Pour cela calculons :
(g ◦ f )(O) =
=
=
=
=
−−−−−−−→
O + O(g ◦ f )(O)
g( f (O))
−−−−→
g(O + O f (O))
−−−−→
g(O) +~g(O f (O))
−−−−→
−−−−→
O + Og(O) +~g(O f (O))
Par unicité 1.1.1.6 on obtient l’égalité.
Synthèse Cette analyse nous a montré la loi de composition ∗ sur le produit cartésien E × GL(E) pour que notre bijection
ΦO soit un morphisme :
(~v,~g) ∗ (~u, ~f ) := (~v +~g(~u),~g ◦ ~f )
On vérifie par le calcul que cette loi est associative, que le neutre est l’élément (~0, ~id) et que l’inverse d’un élément (~u, ~f )
est (−~f −1 (u), ~f −1 ). Ainsi (E × GL(E), ∗sO ) est un groupe et par l’analyse précédente et son principe de conjugaison, notre
bijection est un morphisme.
On note ~E n GL(E) le groupe (~E × GL(~E), ∗) on l’appelle produit semi-direct du groupe ~E par le groupe GL(~E). L’isomorphisme ΦO montre que l’on peut dévisser le groupe affine comme produit de deux groupes plus simples, mais avec une
loi de composition tordue
GA(X, ~E) ' ~E n GL(E).
Remarquons que ces isomorphismes ne sont pas canoniques, ils dépendent du choix du point O.
1.2.5
Applications affines, repères affines, matrice d’une application affine
Théorème 1.2.5.1. Soit (X, ~E, +) et (Y, ~F, +) deux espaces affines. Soit (A, (~ei )i∈I ) un repère affine de l’espace affine
(X, ~E, +). Soit B un point de Y et (~ui )i∈I une famille de vecteurs de ~F. Il existe une unique application affine f telle que
f (A) = B et pour tout i ∈ I, ~f (~ei ) = ~ui .
Démonstration. Supposons qu’un tel f existe et montrons son unicité. En effet pour tout point M de X, on décompose le
−→
vecteur AM sur la base (~ei )i∈I :
−→
AM = ∑ xi~ei .
i∈I
−→
De l’égalité M = A + AM = A + ∑i∈I xi~ei nous obtenons
f (M) := f (A) + ~f (∑ xi~ei ) = f (A) + ∑ xi f (~ei ) = B + ∑ xi ui .
i∈I
i∈I
i∈I
Réciproquement une application f définie par la dernière égalité vérifie les conditions d’où l’existence.
Remarque 1.2.5.2. Nous rappelons qu’une application linéaire est totalement définie par l’image des vecteurs d’une base.
Une application affine est totalement définie par l’image d’un point et par la donnée de sa partie linéaire.
Corollaire 1.2.5.3. Soit (X, ~E, +) et (Y, ~F, +) deux espaces affines. Soit (Ai )i∈I une base affine de X et (Bi )i∈I une famille
de points de Y . Il existe une unique application affine f : (X, ~E, +) → (Y, ~F, +) tel que pour tout i ∈ I, f (Ai ) = Bi .
1.2. APPLICATIONS AFFINES ET GROUPE AFFINE
19
−−→
Démonstration. En effet fixons i0 un élément de I, par définition d’une base affine (Ai0 , (Ai Ai0 )i∈I\{i0 } ) est un repère affine.
Par le théorème précédent il existe une unique application affine ( f , ~f ) qui envoie le point Ai0 sur le point Bi0 , dont la partie
−−→
−−→
linéaire envoie la base (Ai Ai0 )i∈I\{i0 } sur la famille de vecteurs (Bi Bi0 )i∈I\{i0 } . Pour tout point i ∈ I, on obtient
−−→
−−→
−−→
f (Ai ) = f (Ai0 + Ai0 Ai ) = f (Ai0 ) + ~f (Ai0 Ai ) = Bi0 + Bi0 Bi .
L’application ( f , ~f ) convient. Réciproquement, si deux applications linéaires ( f , ~f ) et (g,~g) conviennent elles coincident
−−→
en Ai0 et leur partie linéaire coincident sur la base (Ai Ai0 )i∈I\{i0 } , par le théorème précédent, les applications affines sont
égales.
Corollaire 1.2.5.4. L’image d’un repère affine par un élément du groupe affine est un repère affine. L’image d’une base
affine par un élément du groupe affine est une base affine.
Démonstration. Ceci provient du fait que l’image d’une base par une application linéaire inversible est une base.
Matrice d’une application affine Soit (X, ~E, +) un espace affine de dimension m et (Y, ~F, +) un espace affine de
dimension n. Soit f : (X, ~E, +) → (Y, ~F, +) une application affine. Fixons RA,B→
u1 , . . . ,~um )) un repère affine de
− = (A, (~
E
~
~
(X, E, +) et RB,B→
v1 , . . . ,~vn )) un repère affine de (Y, F, +). On écrit tout point M de X en coordonnées dans le repère
− = (B, (~
F
RA,~u :
m
−→
M = A + AM = A + ∑ x j~u j
j=1
On écrit ensuite son image par f dans le repère RB,~v :
m
−→
f (M) = f (A) + ~f (AM) = f (A) + ∑ x j ~f (~u j ).
j=1
− , B→
− ). Nous obtenons alors pour tout j ∈ {1, . . . m}
Ecrivons (ai, j ) la matrice de ~f dans les bases (B→
E
F
n
~f (~u j ) = ∑ ai, j~vi
i=1
Décomposons :
f (M) =
f (A) + ∑mj=1 x j (∑ni=1 ai, j~vi )
=
f (A) + ∑ni=1 (∑mj=1 x j ai, j )~vi
−−−→
= B + B f (A) + ∑ni=1 (∑mj=1 x j ai, j )~vi
= B + ∑ni=1 ci~vi + ∑ni=1 (∑mj=1 x j ai, j )~vi
−−−→
où les ci sont les coordonnées du vecteur B f (A) dans la base B~F (ou encore les coordonnées du point f (A) dans le repère
RB,B→
− ). Ainsi nous obtenons :
F
m
n
m
n
f (A + ∑ x j~u j ) = B + ∑ (ci + ∑ x j ai, j )~vi = B + ∑ yi~vi .
j=1
i=1
j=1
i=1
Matriciellement nous avons






y1
.
.
.
yn


 
 
=
 
 
a1,1 . . .
.
.
.
an,1 . . .
a1,m
.
.
.
an,m






x1
.
.
.
xm


 
 
+
 
 
c1
.
.
.
cn






20
CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE
que nous pouvons écrire sous la forme








y1
.
.
.
yn
1


 
 
 
=
 
 
 


x1
a1,m c1


.
. 
 . 


.
.  . 



.
. 
 . 


xm 
an,m cn
1
0
1
a1,1 . . .
.
.
.
an,1 . . .
0 ...
Cette dernière matrice est la matrice de l’application affine f dans les repères RA,B→
− et RB,B→
−.
E
F
1.2.6
Formes affines et sous-espaces affines
Définition 1.2.6.1. Soit (X, ~E, +) un espace affine sur un corps K. On appelle forme affine toute application affine à valeurs
dans K. Sa partie linéaire est donc une forme linéaire.
Remarque 1.2.6.2. Si l’espace affine est de dimension finie égale à n et (A, (~ei )) est un repère affine alors une forme affine
sécrit en coordonnées sous la forme suivante :
n
n
n
x = A + ∑ x j ~e j 7→ f (A) + ∑ x j ~f (~e j ) = a + ∑ x j b j .
j=1
j=1
j=1
Définition 1.2.6.3. Soit (X, ~E, +) un espace affine de dimension finie d et f une forme affine non constante (autrement dit
~f est non nulle). Le lieu des zéros de f est un espace affine de codimension 1. Ce lieu de zéros est appelé hyperplan affine,
sa direction est un hyperplan vectoriel de ~E et une 4 de ses équations est f = 0.
Démonstration. En effet notons Z( f ) l’ensemble des zéros de f et fixons un point A ∈ Z( f ) vérifions que
Z( f ) = A + ker ~f .
−→
En effet tout point M de X s’écrit M = A + AM, et son image par f s’écrit
−→
−→
f (M) = f (A) + ~f (AM) = ~f (AM).
−→
Par conséquent f (M) = 0 si et seulement si le vecteur AM ∈ ker ~f , d’où l’égalité. Ainsi le lieu des zéros de f est un sous
espace affine dirigé par le noyau de ~f . Le noyau d’une forme linéaire non nulle est un sous espace vectoriel de codimension
1, c’est à dire qu’il admet un supplémentaire de dimension 1. En effet, la forme est non nulle donc il existe un vecteur ~u ne
l’annulant pas, supposons en particulier f (u) = 1 et vérifions alors que le noyau de ~f et la droite engendré par le vecteur ~u
sont supplémentaires. Leur intersection est nulle car ~f ne s’annule par sur ~u. Montrons que pour tout vecteur ~v, il existe un
vecteur ~w du noyau ker ~f et un scalaire λ tel que ~v = ~w + λ~u.
Analyse Supposons la décomposition trouvée, alors en appliquant ~f on obtient : ~f (~v) = λ car ~f (~w) = 0 et ~f (~u) = 1 et
nécessairement on a ~w =~v − f (~v)~u.
Synthèse Tout vecteur ~v se décompose en
~v = (~v − f (~v)~u) + f (~v)~u
avec ~v − f (~v)~u ∈ ker ~f , car ~f (~w) = 0 et ~f (~u) = 1.
Dans K3 une droite est donnée par deux équations :
ax + by + cz = d
a0 x + b0 y + c0 z = d 0
a b c
tel que la matrice
soit de rang 2. Plus généralement on a :
a0 b0 c0
4. En effet l’équation d’un hyperplan affine n’est pas unique, chercher des exemples.
1.2. APPLICATIONS AFFINES ET GROUPE AFFINE
21
Théorème 1.2.6.4. Soit (X, ~E, +) un espace affine de dimension n. Considérons Y une partie de X. On a alors l’équivalence
entre
1. Y est l’ensemble des points d’un sous espace affine de dimension p,
2. Y est l’intersection de n − p hyperplans affines dont les parties linéaires des équations sont linéairement indépendantes.
Démonstration. Supposons que Y soit un sous espace affine de dimension p. Notons ~F sa direction, c’est un sous espace de
~E de dimension p. Considérons une base (~e1 , . . . ,~e p ) de ~F. Par le théorème de la base incomplète, on complète cette base en
une base (~e1 , . . . ,~en ) de ~E. On considère la base duale ~ϕ1 , . . . ,~ϕn . Par définition, les ~ϕi sont des formes linéaires ~ϕi : ~E → K
vérifiant ~ϕi (~e j ) = δ(i, j) où δ est le symbole de Kronecker, avec δ(i, j) = 0 si i 6= j et δ(i, i) = 1. Par conséquent
~F = ∩ni=p+1 ker~ϕi .
Fixons un point A de Y et considérons les formes affines pour i ∈ {p + 1, . . . , n}, ( fi , ~fi ) définie par fi (A) = 0 et ~fi = ~ϕi .
Notons que les parties linéaires ~f p+1 , . . . , ~fn sont linéairement indépendantes. Ainsi nous avons
Y = A + ~F = A + ∩ni=p+1 ker ~fi
or par définition fi (A) = 0 donc
Y = ∩ni=p+1 {M ∈ X | fi (M) = 0}.
Ceci montre que Y est intersection de n − p hyperplans affines dont les parties linéaires des équations sont linéairement
indépendantes.
Réciproquement supposons que Y est une intersection de n− p hyperplans affines d’équations fi = 0 avec i ∈ {1, .., n− p}
et dont les parties linéaires forment une famille libre. Montrons que Y est un espace affine de dimension p.
Analyse Fixons un point A dans X et une base (~e1 , . . . ,~en ) de ~E. Tout point M de X s’écrira alors
n
M = A + ∑ λi~ei
i=1
et son image par f j pour j ∈ {1, . . . , n − p}
n
f j (M) = f j (A) + ∑ λi ~f j (~ei )
i=1
Nous souhaitons déterminer les points M tels que f j (M) = 0 il est donc primordial de considérer une base (~ei ) adaptée à
l’évaluation sur les (~f j ). On utilise comme ci-dessus la notion de base duale.
Synthèse La famille (~f1 , . . . , ~fn−p ) étant libre on la complète en une base du dual de ~E notée (~f1 , . . . , ~fn ), puis on prend
(~e1 , . . . ,~en ) comme base anté-duale de (~f1 , . . . , ~fn ). Par conséquent pour tout (i, j) ∈ {1, . . . , n}2 , ~f j (~ei ) = δ(i, j). Fixons un
point A dans X. Tout point M de X s’écrira alors sous la forme
n
M = A + ∑ λi~ei
i=1
et son image par f j pour j ∈ {1, . . . , n − p}
n
f j (M) = f j (A) + ∑ λi ~f j (~ei ) = f j (A) + λ j .
i=1
Ainsi M ∈ Y si et seulement si pour tout j ∈ {1, . . . , n − p} on a λ j = − f j (A). Par conséquent
o
n n−p ~
n
p
Y=
A − ∑i=1 fi (A)~ei + ∑i=n−p+1 λi~ei (λi )i∈{n−p+1,...,n} ∈ K
est un espace affine de dimension p.
22
CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE
1.3
1.3.1
Barycentre
Notion de barycentre
Théorème 1.3.1.1. Soit (X, ~E, +) un espace affine (Ai )i∈I une famille finie de points de X et (λi )i∈I une famille de scalaires
telle que ∑i∈I λi 6= 0. Il existe un unique point G ∈ X tel que
−−→
∑ λi GAi = ~0.
i∈I
Ce point est appellé barycentre du système (Ai , λi ).
Démonstration. Fixons une origine O de l’espace affine.
Analyse Si un tel point existe alors par la relation de Chasles on a
−→
−→
(∑ λi )GO + ∑ λi OAi = ~0,
i∈I
i∈I
Nécessairement on a donc
−→
OG =
1
−→
(∑ λi OAi ).
∑i∈I λi i∈I
Synthèse Fixons une origine O de l’espace affine et considérons le point G défini par
G = O+
1
∑i∈I λi
−→
(∑ λi OAi ).
i∈I
−−→
On vérifie la relation ∑i∈I λi GAi = ~0. L’analyse précédente prouve l’unicité d’un tel point.
−−→
Remarque 1.3.1.2. Si l’on a ∑i λi = 0, alors on vérifie aisément que la somme ∑i∈I λi MAi ne dépend pas de M.
Proposition 1.3.1.3. Soit (X, ~E, +) un espace affine et G le barycentre d’un système de points (Ai , λi )i∈I . Pour tout point M
de X on a la relation
−−→
−−→
(∑ λi )MG = ∑ λi MAi .
i∈I
i∈I
Démonstration. Il suffit d’appliquer la relation de Chasles à la définition de G.
Théorème 1.3.1.4 (Associativité des barycentres). Soit (X, ~E, +) un espace affine et G le barycentre d’un système de points
(Ai , λi )i∈I . Considérons une partition de I :
I = I1 t · · · t Il
et supposons que pour tout j ∈ {1, . . . , l}, la somme des poids ∑i∈I j λi est non nulle, on la notera µ j . On peut donc considérer
le barycentre du système de points (Ai , λi )i∈I j , on le note G j et on l’appelle barycentre partiel. Le point G est le barycentre
du système (G j , µ j ).
−−→
Démonstration. A montrer ∑lj=1 µ j GG j = ~0. En effet par définition des µ j nous avons
l
−−→
∑ µ j GG j =
j=1
l
−−→
∑ ( ∑ λi )GG j
j=1 i∈I j
Par la proposition qui précède on a
l
−−→
∑ µ j GG j =
j=1
l
−−→
∑ ( ∑ λi GAi )
j=1 i∈I j
Comme la famille I j est une partition de I (chaque élément de I apparaît une fois et une seule) on a
l
−−→
−−→
∑ µ j GG j = ∑ λi GAi = ~0.
j=1
i∈I
1.3. BARYCENTRE
23
Définition 1.3.1.5 (Isobarycentre). Soit (X, ~E, +) un espace affine et (Ai )i∈I une famille de points de A. Si le cardinal de I est
non nul dans le corps des scalaires K (ce qui est toujours le cas si K = Q, R, C, mais ne l’est plus si par exemple K = Z/5Z)
alors on appelle isobarycentre de la famille de points (Ai )i∈I le barycentre du système {(Ai , 1), i ∈ I}.
Définition 1.3.1.6 (Milieu de deux points). Soit (X, ~E, +) un espace affine. Supposons la caractéristique du corps K différente de 2. Le milieu de deux points distincts A et B est le barycentre du système {(A, 1), (B, 1)}.
Définition 1.3.1.7 (Médiane d’un triangle). Supposons dans cette définition que la caractéristique du corps de base est
différente de 2 et 3. On considère un espace affine (X, ~E, +) et trois points A, B et C non alignés. Par hypothèse sur le corps
K, les milieux des côtés du triangle ABC existent ainsi que le centre de gravité G isobarycentre des points A, B et C. On
appelle médiane toute droite passant par un sommet du triangle et par le milieu du côté opposé. Ces médianes concourent au
point G.
Démonstration. En effet notons A0 le milieu de BC. Par associativité du barycentre, le point G est barycentre des points
{(A, 1), (A0 , 2)} ce qui montre qu’il appartient à la médiane. L’assertion suit.
Remarque 1.3.1.8. Si le corps K est de caractéristique 3, par exemple K = Z/3Z alors les trois médianes du triangle ABC
−→ −→ −→
sont parallèles ! En effet si on appelle A0 le milieu de BC, B0 le milieu de AC et C0 celui de AB on a AA0 = BB0 = CC0 . Par
exemple :
−→ −
−→
→ −
→
−
→ −
→ −
→
2AA0 = AB + AC = 3AB + BA + BC = 2BB0
−→ −→
par la relation de Chasles et par le fait que 3 est nul dans K, et l’on obtient l’égalité AA0 = BB0 car 2 est inversible dans K.
1.3.2
Barycentres, sous-espaces affines, applications affines
Cette partie montre que la notion de barycentre est l’invariant fondamental de la géométrie affine. La longueur est
l’invariant fondamental de la géométrie euclidienne, l’angle est l’invariant fondamental de la géométrie conforme, et le
birapport est l’invariant fondamental de la géométrie projective.
Théorème 1.3.2.1 (Les barycentres caractérisent les applications affines). Considérons f : X → Y une application affine.
L’image par f du barycentre d’un système (Ai , λi ) est le barycentre du système ( f (Ai ), λi ). Réciproquement, toute application
f qui respecte ainsi la notion de barycentre est une application affine.
Démonstration. En effet notons G le barycentre du système (Ai , λi ). A montrer
−−−−−−→
∑ λi f (G) f (Ai ) = ~0
i∈I
−−→
En effet on applique ~f à la relation ∑i∈I λi GAi = ~0 par linéarité on obtient
−−→
∑ λi ~f (GAi ) = ~0
i∈I
−−−−−−→
−
→
puis on utilise le fait que pour tout couple de points A, B, ~f (AB) = f (A) f (B).
Considérons une application f : X → Y tel que pour tout barycentre G d’un système de points (Ai , λi ), f (G) est le
barycentre du système de points ( f (Ai ), λi ). Montrons que l’application f est affine. Montrons qu’il existe une application
−−−−−−→
−
→
linéaire ~f telle que pour tout couple de points A, B, ~f (AB) = f (A) f (B).
Fixons pour cela un point O de X, considérons un vecteur ~u de ~E et posons
−−−−−−−−−→
~f (~u) := f (O) f (O +~u)
−−−−−−→
−−→
En particulier pour tout point M, on a ~f (OM) = f (O) f (M). Montrons qu’un tel ~f est linéaire. Soit λ un scalaire et~v un autre
vecteur. Montrons que
~f (λ~u +~v) = λ~f (~u) + ~f (~v)
24
CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE
c’est à dire
−−−−−−−−−−−−−→
−−−−−−−−−→ −−−−−−−−−→
f (O) f (O + λ~u +~v) = λ f (O) f (O +~u) + f (O) f (O +~v)
Nécessairement f (O) doit être le barycentre du système
{( f (O + λ~u +~v), −1), ( f (O +~u), λ), ( f (O +~v), 1)}.
c’est le cas, car f conserve le barycentre et O est le barycentre du système
{(O + λ~u +~v, −1), (O +~u, λ), (O +~v, 1)}.
Remarquons enfin que par la relation de Chasles ceci entraîne que pour tout couple de points A, B,
−−−−−−→
→
~f (−
AB) = f (A) f (B).
Théorème 1.3.2.2 (Les barycentres caractérisent les sous espaces affines). Soit (X, ~E, +) un espace affine et Y une partie de
X. L’ensemble Y est un sous espace affine de (X, ~E, +) si et seulement si tout barycentre de système de points de Y appartient
à Y.
Démonstration. En effet supposons que Y soit un sous espace affine de (X, ~E, +). Considérons G le barycentre du système
(Ai , λi )i∈I où les Ai appartiennent à Y . Montrons que G appartient à Y . Fixons un point O dans Y , on a alors
−→
OG =
1
∑i∈I λi
−→
(∑ λi OAi ),
i∈I
ce qui montre que G appartient à Y .
Réciproquement, supposons Y stable par barycentrage. Fixons un point O de Y . Montrons que pour tout couple (A, B) de
−
→ −→
Y pour tout scalaire λ le point O + λOA + OB appartient à Y . Notons G un tel point on a
−→
−→ −→
−OG + λOA + OB = 0
ce qui se réécrit par la relation de Chasles
−→
−→ −→
λOG + λAG + BG = 0
et montre que le point G est le barycentre du système de points {(O, −λ), (A, λ), (B, 1)} ce qui par hypothèse montre que le
point G appartient à Y .
1.3.3
Coordonnées barycentriques
Définition 1.3.3.1. Soit (X, ~E, +) un espace affine de dimension n. Soit (Ai )i∈{0,...,n} une base affine. Pour tout point M de
X il existe une unique famille de scalaires (λi )i∈{0,...,n} tel que M soit le barycentre du système (Ai , λi ) avec la condition
∑ni=0 λi = 1. La famille (λi )i∈∈{0,...,n} est appelée coordonnées barycentriques du points M par rapport aux points (Ai ).
−−→
−−→
Démonstration. Montrons l’existence. Par définition la famille (A0 Ai )i∈{1,...,n} est une base de ~E, donc le vecteur A0 M se
décompose sur cette base :
n
−−→
−−→
A0 M = ∑ αi A0 Ai .
i=1
Par la relation de Chasles on obtient alors
n
−−→ n −−→
(1 − ∑ αi )MA0 + ∑ αi MAi = ~0,
i=1
i=1
1.4. LES THÉORÈMES FONDAMENTAUX
25
ce qui montre que M est le barycentre du sysème
n
{A0 , λ0 = 1 − ∑ αi } ∪ {(Ai , λi = αi ), i ∈ {1, ..., n}},
i=1
avec ∑ni=0 λi = 1.
Montrons l’unicité. Supposons que l’on ait deux familles convenables de scalaires (λi )i∈{0,...,n} et (λ0i )i∈{0,...,n} . Montrons que
ces familles sont égales. Nous avons les relations
n
−−→
∑ λi MAi = ~0, et
i=0
n
−−→
∑ λ0i MAi = ~0.
i=0
Par la relation de Chasles on fait intervenir l’élément 0 et on obtient :
n
−−→ n −−→
( ∑ λi )MA0 + ∑ λi A0 Ai = ~0
i=0
et
i=1
n
−−→ n −−→
( ∑ λ0i )MA0 + ∑ λ0i A0 Ai = ~0.
i=0
∑ni=0 λi
i=1
∑ni=0 λ0i
En utilisant le fait que
=
= 1, en faisant la différence de ces deux expressions, puis en utilisant le fait que la
−−→
famille (A0 Ai )i∈{1,...,n} est libre on obtient que pour tout i ∈ {1, ..., n}, λi = λ0i . Ceci induit par ailleurs
n
n
i=1
i=1
λ0 = 1 − ∑ λi = 1 − ∑ λ0i = λ00 .
1.4
Les théorèmes fondamentaux
−
→ −
→
Notation 1.4.0.2. Considérons trois points alignés A, B, C d’un espace affine (X, ~E, +). Les vecteurs AB et AC sont donc
−
→
−
→
−
→
colinéaires : il existe un unique scalaire λ ∈ K, tel que AB = λAC. On notera ce scalaire AB
−
→.
AC
Commençons par le cas du plan
Théorème 1.4.0.3 (Thalès-Plan). Dans un plan affine on considère deux droites concourantes D et D 0 en un point noté O.
On considère deux points distincts A et B et deux points distincts A0 et B0 sur D 0 . Si les droites (AA0 ) et (BB0 ) sont parallèles
alors on a les égalités
−→0
−→ −→0
OA OA
AA
−→ = −−→0 = −→0 .
OB OB
BB
Réciproquement, si
−→ −→0
OA OA
−→ = −−→0
OB OB
0
0
alors les droites (AA ) et (BB ) sont parallèles.
Démonstration. En effet si les deux droites sont parallèles considérons l’homothétie centrée 0 qui envoie le point A sur B.
L’image d’une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle. Par conséquent l’image de la droite (AA0 ) est la
−→
droite passant par B et parallèle à (AA0 ) c’est donc (BB0 ). Donc l’image du point A0 est le point B0 et celle du vecteur AA0 est
−→0
BB . Les trois rapports sont donc égaux au rapport de l’homothétie. Réciproquement considérons l’homothétie centrée en O
qui envoie le point A sur B. Si l’on a l’égalité
−→ −→0
OA OA
−→ = −−→0
OB OB
0
0
alors l’image de A est le point B et l’image de la droite (AA0 ) est (BB0 ), elles sont donc parallèles.
26
CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE
Théorème 1.4.0.4 (Thalès). Soit (X, ~E, +) un espace affine. Considérons trois hyperplans affines parallèles H , H 0 , H 00 et
deux droites affines D et D0 non parallèles à ces hyperplans. Chaque droite coupe les hyperplans en un unique point. Notons
alors
A = H ∩ D, B = H 0 ∩ D, C = H ” ∩ D
et
A0 = H ∩ D 0 , B0 = H 0 ∩ D 0 , C0 = H ” ∩ D 0 .
Alors on l’égalité des rapports :
−
→ −−→
AB A0 B0
−
→ = −−→
AC A0C0
−→
Démonstration. L’idée est de se ramener au cas plan. Pour cela on considère la translation de vecteur AA0 . Ce vecteur
appartient à la direction commune des trois hyperplans parallèles, qui de fait sont stables sous cette translation. L’image de
la droite D est la droite parallèle à D passant par A0 on la note D ”. Elle coupe H 0 en un point B” et H ” en un point C”. Par
−
→ −−→ −
→ −−→
translation nous obtenons les égalités AB = A0 B” et AC = A0C” d’où l’égalité des rapports
−
→ −−→
AB A0 B”
−
→ = −−→ .
AC A0C”
Ceci prouve le théorème dans le cas où les droites D et D 0 sont parallèles, c’est à dire D 0 = D ”. Si ce n’est pas le cas
alors notons P le plan affine engendré par les droites D 0 et D ”. Par la formule de la dimension ce plan affine coupe chaque
→
− →
−
hyperplan en une droite, les droites obtenues sont parallèles de direction H ∩ P . Le théorème de Thalès dans un plan affine
fournit alors le résultat.
Théorème 1.4.0.5 (Pappus - forme affine). On considère dans un plan affine deux droites D et D 0 munies chacune de trois
points A, B, C et A0 , B0 , C0 . On suppose que les droites (AB0 ) et (BC0 ) sont parallèles, et les droites (A0 B) et (B0C) sont
parallèles. Les droites (AA0 ) et (CC0 ) sont parallèles.
Démonstration. Supposons les droites D et D 0 concourantes en un point O. Considérons l’homothétie h centrée en O qui
envoie A sur B et l’homothétie notée h0 centrée en O qui envoie B sur C. Les droites (AB0 ) et (BC0 ) étant parallèles on en
déduit que l’image par h du point B0 est le point C0 . Les droites (A0 B) et (B0C) étant parallèles on en déduit que l’image par
h0 du point A0 est le point B0 . La composée h0 ◦ h est une homothétie envoyant A sur C. Notons que l’on a h0 ◦ h = h ◦ h0 , donc
l’image de A0 par h0 ◦ h est C0 . Ainsi l’image de la droite (CC0 ) est la droite (AA0 ). Ces droites sont donc parallèles.
Si les droites D et D 0 sont parallèles alors on a deux parallélogrammes BCB0 A0 et ABC0 B0 on en déduit donc les relations
vectorielles
−
→ −
→ −
→ −−→ −−→ −−→
AC = AB + BC = B0C0 + A0 B0 = A0C0 .
Par conséquent ACC0 A0 est un parallélogramme donc les droites AA0 et CC0 sont parallèles.
Théorème 1.4.0.6 (Desargues). Soit ABC et A0 B0C0 deux triangles d’un espace affine sans sommets communs. Si les droites
AB et A0 B0 sont parallèles, ainsi que les droites AC et A0C0 et les droites BC et B0C0 alors les droites AA’, BB’ et CC’ sont
concourantes ou parallèles.
Démonstration. Supposons que ces droites ne sont pas parallèles, montrons qu’elles sont concourantes. Supposons par
exemple que les droites AA0 et BB0 ne sont pas parallèles. Les droites AB et A0 B0 étant parallèles les quatres points A, B,
A0 et B0 appartiennent à un même plan affine. Les droites AA0 et BB0 étant non parallèles elles sont concourantes en un
point O. Considérons alors l’homothétie centrée en O qui envoie le point A sur A0 . Elle envoie le point B sur le point B0 .
Montrons que l’image du point C par h est le point C0 , ceci montrera que les droites AA0 , BB0 et CC0 concourent en O. En
effet l’image h(C) est l’intersection de la droite h(AC) et de la droite h(BC). Ces droites passent respectivement par A0 et B0
et sont respectivement parallèles à AC et BC, ce sont donc A0C0 et B0C0 , d’où h(C) = C0 .
Théorème 1.4.0.7 (Théorème fondamental de la géométrie affine). On suppose ici que le corps de base est R. Soit f : X → Y
une bijection entre espace de points de deux espaces affines de même dimension plus grande que 2. Si cette bijection conserve
l’alignement alors c’est une application affine.