géométrie affine - MPSI-1

GÉOMÉTRIE AFFINE
MPSI 1–Lycée Thiers
Année 2008-2009
Table des matières
A Barycentres
A.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . .
A.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.2 Propriétés connues et moins connues
A.2 Segments et parties convexes . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
2
3
B Quelques notions générales valables en toute dimension (éléments de géométrie affine réelle)
B.1 Conventions et notations pour entrer dans le monde affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Sous-espaces affines d’un espace vectoriel de dimension finie, la notion générale . . . . . .
B.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.2 Parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.3 Intersection de deux sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3 Repères cartésiens (généralités) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.1 Repères cartésiens d’un sous-espace affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.2 Changement de repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.3 Équations et paramétrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
4
4
5
5
6
6
6
7
C Applications affines
C.1 Les définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
9
D Isométries du plan affine euclidien
D.1 Autour des déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.2 Quelques propriétés des réflexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
11
E Similitudes directes du plan affine euclidien
E.1 Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
12
F Isométries de l’espace affine euclidien
F.1 Autour des déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F.2 Classification des isométries directes de E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F.3 Quelques propriétés des réflexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
13
14
15
G Compléments de géométrie dans l’espace
G.1 Autour des droites et des plans . . . . . . . . . .
G.2 Sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G.2.1 Équation cartésienne d’une sphère . . . .
G.2.2 Intersection d’une sphère et d’une droite
G.2.3 Intersection d’une sphère et d’un plan . .
G.2.4 Intersection de deux sphères . . . . . . .
16
16
16
17
17
17
18
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Mathématiques
page
chapitre : géométrie affine
2
A Barycentres
On se donne un entier naturel non nul r.
La notion de barycentre est une notion totalement affine : la présence d’une structure euclidienne n’est pas
nécessaire. E désigne ici le plan affine ou l’espace affine de dimension 3 (note 1 ) tels qu’on les connait depuis la
terminale.
A.1
Définition et propriétés
A.1.1
Définition
Soient A1 ,...,Ar des points de E, et (λ1 ,...,λr ) ∈ Rr tel que
Il existe un unique point G de E tel que
i=1
λi 6= 0.
−−→
λi GAi = ~0 ; en effet, en faisant intervenir un point particulier, O par
i=1
exemple :
r
X
r
P
r
P
−−→
λi GAi
~0 ⇔
=
i=1
r
X
i=1
³−−→ −−→´
λi GO + OAi = ~0 ⇔
−−→
1
¶
OG = µ r
P
λi
⇔
i=1
r
X
Ã
r
X
i=1
−−→
λi OAi puisque
i=1
G est ainsi défini de façon unique par la relation
r
P
λi
Ã
!
r
−−→ X −−→
λi OAi
OG =
r
X
i=1
i=1
λi
!
6= 0 ⇔ G = O + µ
−−→
λi GAi = ~0.
r
X
−−→
1
¶
λi OAi (∗)
r
P
λi i=1
i=1
i=1
Remarque 1 A propos de la dernière notation (∗) : on y revienda un peu plus loin ( B.1 ) , mais on peut dors et
r
P
−−→
1
¶
déjà comprendre que cela signifie que G est le translaté de O de vecteur µ r
λi OAi
P
λi i=1
i=1
Définition 1 Soient A1 ,...,Ar des points de E, et (λ1 ,...,λr ) ∈ Rr tel que
G de E tel que
r
P
r
P
i=1
λi 6= 0. L’unique point
−−→
→
−
λi GAi = 0 est appelé barycentre du système (A1 ,λ1 ) ,..., (Ar ,λr ) et est noté
i=1
Bar ((A1 ,λ1 ) ,..., (Ar ,λr )) (ou Bar (Ai ,λi ) pour gagner du temps).
Rem1 Le système (A1 ,λ1 ) ,..., (Ar ,λr ) est un système de points pondérés (ou massiques).
Rem2 L’isobarycentre de A1 ,...,Ar est par définition le barycentre de (A1 ,1) ,..., (Ar ,1).
Rem3 L’isobarycentre de deux points est appelé milieu de ces deux points.
A.1.2
Propriétés connues et moins connues
Il pourra être bon de montrer en exercice les propriétés connues que nous allons maintenant rappeler.
Proposition 1 Soient A1 ,...,Ar , G des points de E, et (λ1 ,...,λr ) ∈ Rr tel que
r
P
λi 6= 0. Pour tout λ 6= 0, Bar (Ai ,λλi ) = Bar (Ai ,λi ).
i=1


λi 
Rem1 Comme Bar (Ai ,λi ) = Bar Ai , P
on peut toujours se ramener à étudier des barycentres Bar (A i ,λ0i )
r
λi
i=1
avec
r
P
i=1
λ0i = 1.
Rem2 Lorsque les λi sont tous égaux (non nuls) Bar (Ai ,λi ) = Bar (Ai ,1) est l’isobarycentre de (A1 ,...,Ar ).
1. E pourrait être un R-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗ quelconque que l’on considère du point de vue affine -cf le paragraphe
suivant de compléments de géométrie affine-.
Mathématiques
page
chapitre : géométrie affine
Proposition 2 Soient A1 ,...,Ar , G des points de E, et (λ1 ,...,λr ) ∈ Rr tel que
équivalences :
−→
G = Bar (Ai ,λi ) ⇐⇒ ∀ω ∈ E,ωG =
1
µ
r
P
i=1
λi
¶
r
X
i=1
−−→
−−→
λi ωAi ⇐⇒ ∃ω0 ∈ E,ω0 G =
r
P
i=1
λi 6= 0. On a les
1
µ
r
P
3
i=1
λi
¶
r
X
−−−→
λ i ω0 A i
i=1
Rem On peut noter ici qu’avec cette expression, il est fort clair que les coordonnées dans un repère (Ω,B) de
G = Bar (Ai ,λi ) s’expriment comme on le sait en fonction des coordonnées de A 1 ,...,Ar et de λ1 ,...,λr (dans
la propriété on prend ω = Ω) ; en dimension 3 par exemple, avec des notations classiques :
xG =
r
P
r
P
λi x i
i=1
r
P
i=1
λi
yG =
r
P
λi yi
i=1
r
P
λi
λi z i
i=1
r
P
zG =
i=1
λi
i=1
Proposition 3 Soient A1 ,...,Ar des points de E, et (λ1 ,...,λr ) ∈ Rr . Soit f l’application de E
r
P
−−−→
dans E (appelée fonction vectorielle de Leibniz) : ∀M ∈ E,f (M ) =
λi A i M .
i=1
On a :
r
P
λi = 0, alors f est constante ;
si
si
i=1
r
P
i=1
λi 6= 0, alors, G désignant Bar (Ai ,λi ) : ∀M ∈ E,f (M ) =
µ
r
P
i=1
¶
−−→
λi GM .
Proposition 4 (Associativité du barycentre) Soit I un ensemble fini, (A i )i∈I ∈ E I et
I
(λi )i∈I ∈ RP
. Soit J1 ,....,Jr une partition de I. On suppose que pour tout k = 1,...,r le
réel αk =
λi n’est pas nul de sorte que Gk = Bar (Ai ,λi )i∈Jk est défini (les Gk sont
i∈Jk
appelés barycentres partiels associés à la partition (J k )k=1,...,r ).
On a Bar (Ai ,λi )i∈I = Bar (Gk ,αk )k=1,...,r .
Cette dernière propriété permet de calculer (ou de simplifier le problème le concernant) le barycentre d’une famille
de points pondérés en les regroupant judicieusement.
Exemples 1 Le centre de gravité du triangle.
Proposition 5 Lien entre barycentres et sous-espaces-affines.
1. Soient A,B sont deux points distincts de E. La droite (AB) est exactement l’ensemble
des barycentres de A et B . (note a ).
2. Soient A,B,C trois points non alignés de E. Le plan (ABC) est exactement l’ensemble
des barycentres de A,B et C(note b ).
a C’est-à-dire
b C’est-à-dire
A.2
que l’on a l’équivalence : M est une barycentre de A et B ssi M appartient à la droite (AB).
que l’on a l’équivalence : M est une barycentre de A, B et C ssi M appartient au plan (ABC).
Segments et parties convexes
Définition 2 Soient A et B des points de E. Le segment, noté [AB], est l’ensemble des barycentres
de A,B affectés de coefficients positifs ou nuls (ce qui équivaut à : de même signe).
De façon immédiate :
M
∈
[AB]
⇐⇒
par définition
2
∃ (α,β) ∈ (R+ ) ,α + β > 0,M = Bar ((A,α) , (B,β))
−−→
−−→
⇐⇒ ∃λ ∈ [0; 1] ,M = Bar ((A,1 − λ) , (B,λ)) ⇐⇒ ∃λ ∈ [0; 1] ,AM = λAB
Définition 3 Soit C une partie de E. On dit que C est convexe lorsque pour tout A,B ∈ C on a
[AB] ⊂ C.
Mathématiques
chapitre : géométrie affine
page
4
Caractérisations à l’aide (directe) des barycentres :
Proposition 6 Soit C une partie de E. C est convexe ssi tout barycentre à coefficients positifs
de deux points de C est élément de C ssi tout barycentre à coefficients positifs d’une famille
finie de points de C est élément de C.
Preuve. Le premier ssi est immédiat (par définition du segment), le second est immédiat aussi dans un sens (si
c’est vrai pour un nombre fini de points c’est vrai pour deux points) et l’autre sens se démontre en ramenant le
barycentre d’un nombre fini de points au barycentre de deux points grâce aux barycentres partiels (on peut alors,
pour s’appliquer, procéder par récurrence sur le nombre de points).
B Quelques notions générales valables en toute dimension (éléments de
géométrie affine réelle)
E désigne un R-ev de dimension finie. Pour notre pratique géométrique, il sera de dimension 2 ou 3.
B.1
Conventions et notations pour entrer dans le monde affine
C’est l’introduction des conventions qui suivent qui vont permettre de considérer E de dimension finie du point
de vue affine :
– Points, vecteurs, conventions. Les éléments de E seront appelés points ou vecteurs suivant le contexte. Habituellement on notera les points en lettres majuscule (A,B,...) et les vecteurs en lettres minuscules (x,y,...)
ou flêchées.
−−→
−−→
– La notation AB. Si A et B sont deux points de E, on note AB le vecteur B − A (cette notation -addition de
points- sera plus tard à éviter). .
De façon immédiate, on a :
−−→
– AB = 0 ssi A = B
−−→
−−→
– AB = −BA
−−→ −−→ −→
– AB + BC = AC (relation de Chasles -note 2 -)
−
−
−
– La notation A + →
u . Si A est un point de E et →
u est un vecteur de E, on note A + →
u l’unique point B tel que
−−→ →
−
→
−
3
AB = u . B est le translaté de A par le vecteur u (note )De façon immédiate, on a :
→
−
−
−
– A+→
u = A ssi →
u = 0
−
−
– A+→
u =B+→
u ssi A = B
→
−
→
−
−
−
−
−
– A + ( u + v ) = (A + →
u)+→
v noté A + →
u +→
v
– Par convention, on ne s’autorise pas à ajouter des points. Ainsi A + B n’a pas de sens (tout cela est formel).
B.2
Sous-espaces affines d’un espace vectoriel de dimension finie, la notion générale
B.2.1
Définitions
Définition 4
1. Soit A un point de E, F un sous-espace vectoriel de E. On note A + F l’ensemble (sousensemble de E) :
n
o
−−→
A + F = {A + x,x ∈ F } = M ∈ E,AM ∈ F
2. On appelle sous-espace affine (abrégé sea) de E une partie W de E de la forme A + F où A
est un point de E et F un sev de E (i.e. W sea de E ssi existent A point de E et F sev de E
tels que W = A + F ).
Rem1 A + F est l’ensemble des translatés de A par des vecteurs de F .
2. Michel Chasles (1793-1880) : né à Épernon, Chasles entra à l’École polytechnique en 1812, fut mobilisé , en 1814, pour la défense de Paris
et accepté dans le corps du génie. Il y renonça pour se consacrer aux études. De 1841 à 1851, il enseigna à l’École polytechnique. Une chaire de
géométrie supérieure fut créée pour lui, en 1846, à la Sorbonne. Il était membre de l’Académie des sciences depuis 1851. (Extrait de : Abrégé
d’histoire des mathématiques, Jean Dieudonné.)
3. Cette terminologie sera cohérente avec la notion de translation cf le paragraphe consacré aux applications affines.
Mathématiques
chapitre : géométrie affine
page
5
Rem2 Dessin (droites). L’écriture de W sous-la forme A + F n’a aucune raison d’être unique (et nous allons voir
qu’elle ne l’est pas) ; c’est l’objet de l’étude qui suit.
Rem3 L’ensemble vide est dans certaines littératures considéré comme espace affine. Rien ne justifie a priori ce
choix mis à part la considération des espaces affines comme ensemble de solutions d’équations f (x) = b.
Proposition 7 Soient A,B deux points de E, F et G deux sev de E.
1. On a :
2. On a :
−−→
A + F ⊂ B + G ssi F ⊂ G et AB ∈ G
−−→
A + F = B + Gssi F = G et AB ∈ F (= G)
Rem En conséquence ( A chercher pour s’amuser ):
–
–
–
–
A+F
A+F
A+F
A+F
−−→
= B + F ssi AB ∈ F .
= A + G ssi F = G.
= F ssi A ∈ F .
est un sev ssi 0 ∈ A + F ssi A ∈ F ssi A + F = F (ce sev est donc F ).
Ainsi, W étant un sea donné, la proposition 7 nous permet de déduire l’unicité de l’espace vectoriel F tel que
W = A + F . De plus :
Proposition 8 (et définitions) Soit W un sous-espace affine de E, W = A + F .
1. Le sous-espace F est déterminé de façon unique et est appelé direction de W . On a
de plus :
o
o n−−→
n−−→
F = CD, (C,D) ∈ W 2 = AB,B ∈ W
On dit que W est le sous-espace affine de direction F passant par A.
2. La dimension de W est par définition la dimension de F .
3. Les éléments non nuls de F sont appelés vecteurs directeurs de W .
Remarque 2
1. Si W est de direction F , pour tout M ∈ W , W = M + F .
2. Sev sont des sea, (réciproque fausse , vu plus haut), de direction lui même. En particulier E est un sea de
direction E.
3. Singletons: ce sont les sea de dim 0.
4. Si F est une droite (i.e. de dimension 1), W est appelé droite affine. W = A + Ru A point de E, u vecteur de
E.
Si A et B sont deux points distincts, il existe une unique droite affine contenant A et B, c’est la droite A +
−−→
RAB.
Des points sont dits alignés ssi il existe une même droite affine qui les contient. Deux points distincts sont
−−→ −→
alignés. Trois points A, B et C sont alignés ssi AB et AC sont liés (linéairement dépendants).
5. Si F est un plan (i.e. de dimension 2), W est appelé plan affine.
−−→ −→
Lorsque A, B et C ne sont pas alignés (i.e. AB et AC sont indépendants), il existe un unique plan contenant
−−→
−→
ces trois points : A + RAB+RAC.
On dit que des points sonts coplanaires lorsqu’il existe³un plan affine
les contenant. Trois points sont copla−−→ −→ −−→´
naires. Quatre points A, B, C et D sont coplanaires ssi AB,AC,AD est liée.
6. Dans le plan les sea sont : singletons, droites affines, plan.
7. Dans l’espace les sea sont : singletons, droites affines, plans affines, espace.
8. L’ensemble des solutions de f (x) = b où f est linéaire de E dans F est vide ou bien est le sea x 0 + ker f avec
x0 solution particulière. C’est en particulier le cas des solutions des systèmes d’équations linéaires ou d’une
équa diff linéaire avec second membre.
Mathématiques
B.2.2
chapitre : géométrie affine
page
6
Parallélisme
Définition 5 Soient W et W 0 deux sea de directions respectives F et F 0 .
1. On dit que W est parallèle à W 0 lorsque F est inclus dans F 0 .
2. On dit que W et W 0 sont parallèles lorsque W est parallèle à W 0 et W 0 est parallèle à W
c’est-à-dire lorsque F = F 0 .
Rem1 Propriété : la relation ”être parallèle à” est
– réflexive : W k W ,
– transitive : si W k W 0 et W 0 k W 00 alors W k W 00 ,
– mais pas symétrique : l’inclusion F ⊆ F 0 ( avec F k F 0 ) peut être stricte.
Rem2 La relation ”sont parallèles” est, elle, une relation d’équivalence dans l’ensemble des sea. Cette notion est
plus restrictive.
Rem3 On évitera de confondre les deux relations. Exemples et dessins dans l’espace avec droites et plans.
Rem4 Un singleton est parallèle à tout sea.
Proposition 9 Soient W et W 0 deux sea. Si W est parallèle à W 0 , alors
– soit W est inclus dans W 0 ,
– soit W et W 0 sont disjoints.
Rem1 C’est à dire que si l’intersection de ces sea n’est pas vide, l’un est inclus dans l’autre.
Rem2 Si W et W 0 sont parallèles, alors
– soit W = W 0 ,
– soit W et W 0 sont disjoints.
Rem3 Réciproque de propo 9 fausse ; si, certes l’inclusion implique le parallélisme, il n’en est pas de même pour
la disjonction : on peut avoir deux sea disjoints mais non parallèles (par ex il existe deux droites de l’espace
de dimension 3 non sécantes et non parallèles).
B.2.3
Intersection de deux sous-espaces affines
Proposition 10 Soient W et W 0 deux sea de directions respectives F et F 0 . L’intersection
W ∩ W 0 est soit vide, soit un sea de direction F ∩ F 0 . Dans ce dernier cas, en particulier,
dim (W ∩ W 0 ) = dim (F ∩ F 0 ).
Exemples 2 Cas du plan. Cas de l’espace
B.3
Repères cartésiens (généralités)
n ∈ N∗ désigne la dimension de E 6= {0}.
Mathématiques
B.3.1
page
chapitre : géométrie affine
7
Repères cartésiens d’un sous-espace affine
Définition 6 Un repère cartésien R de E est un couple R = (ω,B) où ω est un point de E et B est
une base de E. Le point ω est appelé origine du repère.
Exemple Dans Rn le repère cartésien canonique (O,base canonique) est un repère privilégié mais rien ne l’impose
a priori.
Définition 7 Soit R = (ω,B) un repère cartésien de E, B = (e1 ,...,en ). Les coordonnées d’un point
−−→
M de E dans le repère R sont par définition les composantes (coordonnées) du vecteur ωM dans
la base B ; c’est-à-dire :
n
n
i=1
i=1
X
−−→ X
x i ei .
xi ei ssi M = ω+
(x1 ,...,xn ) ∈ Rn coordonnées de M ssi ωM =
Rem1 On peut adopter une notation matricielle des coordonnées : notés en matrice unicolonne à n lignes.
−−→
Rem2 Il est immédiat que les composantes B du vecteur M N sont (y1 − x1 ,...,yn − xn ) lorsque M = (x1 ,...,xn ) et
−−→
N = (y1 ,...,yn ) dans R. En particulier l’écriture matricielle dans B de M N est XN − XM où XN et XM sont
les écritures matricielles de N et M dans R.
Rem3 Le choix d’un repère (donc d’un point et d’une base) établit une bijection (non canonique car dépend du
point origine et de la base) entre E et Rn : à tout point on associe le n-uplet de ses coordonnées dans R. C’est
ainsi que le choix (dans la pratique ce choix doit être fait soigneusement pour être le plus judicieux possible)
d’un repère en dimension 2 (resp 3) ie du plan (resp. de l’espace) nous ramène à un problème dans R 2 (resp.
R3 ).
B.3.2
Changement de repère
Un changement de repère consiste a priori à changer simultanément l’origine et la base de ce repère. Si seul
l’origine est modifiée (et la base est préservée) on parlera, pour être plus précis, de changement d’origine.
Soient R = (ω,B) un repère ( ” l’ancien”) et R0 = (ω1 ,B 0 ) un autre repère (le ”nouveau”).
Soit M un point de E d’écritures matricielles X dans R et X 0 dans R0 . Quelle relation y-a-t-il alors entre X et X 0 ?
Soient :
– PB,B0 la matrice de passage de B à B 0 : PB,B0 ∈ GLn (R).
– Ω1 la matrice unicolonne repésentant ω1 dans R = (ω,B).
−−−→
ω1 M a pour écriture matricielle X − Ω1 dans B et X 0 dans B 0 . On a alors X − Ω1 = PB,B0 X 0 . On retiendra le résultat
sous forme de propriété :
Proposition 11 Avec les notations plus haut : X = PB,B0 X 0 + Ω1 .
Rem1 Lorsque ω1 = ω (pas de changement d’origine), Ω1 = 0 : X = PB,B0 X 0 .
Rem2 Lorsque B 0 = B (changement d’origine -uniquement-), PB,B0 = In : X = X 0 + Ω1 .
Rem3 Cette relation s’écrit analytiquement par un système affine exprimant x i en fonction de x01 ,...,x0n ,a1 ,...,an
coordonnée de Ω1 dans B.
Rem4 Choix d’un repère. Il est à noter que les propriétés affines concernent l’incidence (l’intersection) bien sûr
mais surtout le parallélisme ; les notions d’angles, de distance, de norme, n’interviennent pas (dans une
étude purement affine où E n’a aucune raison d’avoir une structure d’evnormé ou euclidien a priori). Ainsi
il n’y a a priori aucune raison de choisir ce repère orthogonal ou orthonormal lorsque seules les notions
affines nous intéressent.
B.3.3
Équations et paramétrages
Paramétrage d’un sea
Mathématiques
page
chapitre : géométrie affine
8
Considérons W = A + F un sea de dimension non nulle p. Soit B une base de F ; (A,B) est alors un repère de W .
p
P
Posons B = (e1 ,...,ep ). Un élément M de E est dans W ssi il existe (λ1 ,...,λn ) tel que M = A+
λi ei et cette
i=1
écriture est unique.
Définition 8 Avec les hypothèses et notations plus haut. L’application de R p qui à (λ1 ,...,λp ) asp
P
socie le point M = A+
λi ei est un paramétrage (ou représentation paramétrique) de W . (Car
i=1
l’écriture de M sous cette forme est unique et lorsque les p-uplets parcourent R p , M parcourt W ).
Rem1 Si on s’est donné un repère R de E : A = (a1 ,...,an ), ∀i,ei = (ε1i ,...,εni ). On 
a alors une écriture analytique
x1 = a1 + λ1 ε11 + ... + λp ε1p



p
P
x2 = a2 + λ1 ε21 + ... + λp ε2p
λi ei : M = (x1 ,...,xn ) ∈ W ssi ∃ (λ1 ,...,λp ) ∈ Rp ,
du paramétrage M = A+
...

i=1


xn = an + λ1 εn1 + ... + λp εnp
(et (λ1 ,...,λp ) est alors unique).
Rem2 La donnée d’un repère de W détermine un paramétrage de W . La non unicité du paramétrage de W ne
fait pas de mystère : il y a un certain nombre de repères possibles -point et base-.
Rem3 Il peut a priori y avoir des paramétrages qu ne rentrent pas dans ce cadre (ceux que nous considérons sont
en fait les paramétrages affines) : R2 →Plan (r,t) → (r cos t,r sin t) est un paramétrage et il peut y en avoir
plein d’autres...
Paramétrages d’une droite, demi-droite, d’un plan, d’un demi-plan
~ Soit D une droite affine de direction ∆. Tout repère de D est de la forme (A,u) où A est un point de D et u
un vecteur non nul de ∆ (base de ∆). On a alors le paramétrage de D : R → D
.
λ 7→ A + λu
Définition 9 Soit A un point et u un vecteur non nul. On appelle demi-droite issue de A et dirigée et orientée par u la partie {A + λu,λ ∈ R+ } de la droite (A,u). L’application λ 7→ A + λu,λ ∈
R+ est un paramétrage de la demi-droite en question.
Rem1 Une demi-droite n’est pas un sea.
~ Soit P un plan affine de direction π. La donnée d’un point A de π et de (u,v) libre de π (base de π) détermine
un repère (A,u,v) de P et donc le paramétrage de P : R2 → P
.
(λ,µ) 7→ A + λu + µv
Définition 10 Soit A un point et (u,v) couple de vecteurs libres. On appelle demi-plan limité
par la droite A + Ru et orienté par v la partie {A + λu + µv, (λ,µ) ∈ R × R + } du plan (A,u,v).
L’application λ 7→ A + λu + µv, (λ,µ) ∈ R × R+ est un paramétrage du demi-plan en question.
C Applications affines
Dans toute la suite de ce chapitre on désigne par E un espace affine de dimension finie n et par E l’espace
vectoriel associé . En d’autres termes et avec nos conventions dans la partie B, E est un espace vectoriel de
dimension finie n et E l’espace affine construit à partir de E. On décide donc à partir de maintenant de faire la
différence entre E muni de sa structure vectorielle et E muni de sa structure affine ( et noté E ) .
C.1
Les définitions
Définition 11 Une application f : E → E est dite affine lorsqu’ existent A ∈ E et ϕ A ∈ L(E) tels
que
−−−−−−−−−−→
∀x ∈ E : ϕA (x) = f (A)f (A + x)
1. et notation : On note Af f (E,E) l’ensemble des applications affines de E dans E.
−−−−−−−−−−→
2. Ne pas oublier que par définition même de la stucture affine de E on a f (A)f (A + x) = f (A + x) − f (A)
et qu’alors on a aussi : une application f : E → E est affine lorsqu’ existent A ∈ E et ϕ A ∈ L(E) tels que
∀x ∈ E : ϕA (x) = f (A + x) − f (A).
Remarque 3
Mathématiques
chapitre : géométrie affine
page
9
3. Un autre point de vue équivalent: une application f : E → E est affine lorsqu’ existe A ∈ E tel que
ϕA : E → E
soit un élément de L(E).
x 7→ f (A + x) − f (A)
Proposition 12 Soit f ∈ Af f (E,E) et A comme dans la définition 11 . Alors pour tout
B ∈ E, ϕB : E → E
est linéaire et n’est autre que ϕA .
x 7→ f (B + x) − f (B)
Remarque 4
1. et notation : le point A intervenant dans la définition 11 n’a donc pas d’importance et si A
convient tout point B conviendra . Par ailleurs l’application ϕ A associée sera toujours la même, on la note
→
−
alors f et on parle d’application linéaire associée à f .
2. On remarquera alors que pour (A,B) ∈ E × E et x ∈ E on a
−−−−−−→ →
→
−
− −−→
f (A + x) = f (A) + f (x) et f (B) − f (A) = f (A)f (B) = f (AB)
3. Une application affine est donc entièrement déterminée par sa partie linéaire et l’image d’un point .
Exemples 3
1. Expression analytique d’une application affine via le choix d’un repère affine.
2. Montrer qu’une application affine de E3 dans E3 est déterminée de façon unique par la donnée des images
de quatre points non coplanaires.
Proposition 13 Une application affine conserve le barycentre.
C.2
Exemples
Nous allons maintenant rencontrer nos premières applications affines . Nous allons en fait définir avec rigueur
des applications que souvent, nous manipulons déjà depuis la terminale.
z D’abord les translations :
Définition 12 On appelle translation une application f : E → E telle qu’existe u ∈ E tel que
∀ M ∈ E : f (M ) = M + u.
Voyons ces translations d’un peu plus près:
Proposition 14 Soit f : E → E une translation :
1. le vecteur u tel que dans la déf 12 est unique . On dit alors que f est la tranlation
de vecteur u.
→
−
2. f est une translation ssi f est affine et f = IdE
z Ensuite les homothéties:
Définition 13 On appelle homothétie une application f : E → E telle qu’existent Ω ∈ E et k ∈
tels que
−−→
∀M ∈ E : f (M ) = Ω + k ΩM .
On note hΩ,k une telle application.
Exemples 4
1. Si k = 1 , on trouve l’identité de E. La réciproque est vraie.
On remarquera par ailleurs que dans ce cas , n’importe quel point Ω fournit la même application ( On ne
pourra donc alors pas définir le centre de l’homothétie ).
2. Si k = 0, on trouve l’application constante f : M → Ω. La réciproque est vraie.
Voyons donc ces homothéties d’un peu plus près:
Proposition 15 Soient hΩ,k et hΩ0 ,k0 deux homothéties avec k et k 0 différents de 1.
Alors
hΩ,k = hΩ0 ,k0 ⇐⇒ Ω = Ω0 et k = k 0
Mathématiques
chapitre : géométrie affine
page
10
Remarque 5 Pour une homothétie h différente de IdE , existent donc un unique Ω et un unique k tels que h = hΩ,k .
On dit alors que h est l’homothétie de centre Ω et de rapport k.
Proposition 16 Soit h = hΩ,k une homothétie . Alors
→
−
h ∈ Af f (E,E) et h = kIdE
z Enfin les symetries et projections ortho non triviales en dimensions 2 et 3. E est alors muni d’une structure
euclidienne qui confère à E une structure d’espace affine euclidien (note 4 ) :
Dessins :
1. Les applications M → H , M → M 0 = RefD (M ) , M → M 0 = SD (M ) et M → M 0 = RefP (M ) ainsi
définies sont respectivement appelées projections ortogonales ( sur une droite D ou un plan P ) , réflexion
par rapport à D , symétrie ortho par rapport à D et réflexion de plan P .
− ou
2. Nous admettrons aisément que les applications précédentes sont affines de parties linéaires associées p →
D
→
−
→
−
→
−
→
−
5
− (projo ortho sur D ou P ) (note ), s→
− ( sym ortho par rapport à D ) et s→
− ( sym ortho par rapport à P ).
p→
P
D
P
3. Comme en vectoriel , les réflexions désignent les sym ortho affines hyperplanes.
C.3
Propriétés
Proposition 17 Soient f et g deux éléments de Af f (E,E). Alors
−−→ − →
−
1. g ◦ f ∈ Af f (E,E) et g ◦ f = →
g ◦ f
→
−
2. f est inversible si et seulement si f l’est auquel cas
(a) f −1 ∈ Af f (E,E)
−−−→
→
−
(b) (f −1 ) = ( f )−1
Proposition 18 L’ensemble des applications affines inversibles est un groupe pour
la loi de composition des applications .
Dans la suite de cette section , E ( ie E ) est muni d’une structure euclidienne (note 6 ) .
Définition 14 On appelle isométrie affine de E une application affine f : E → E qui conserve la
distance ie telle que
∀ (A,B) ∈ E × E : d(f (A),f (B)) = d(A,B)
→
−
Proposition 19
1. Soit f ∈ Af f (E,E). f est une isométrie affine de E ssi f ∈ O(E)
2. L’ensemble des isométries affines de E est un groupe pour la loi de composition des
applications . On le note Iso(E) .
3. Si f est une application de E dans E qui conserve la distance alors f est une isométrie
affine de E.
4. cf cours de début d’année ou plus simplement votre cours de terminale
→
−
5. Pour H sea de E nous définissons naturellement H (sev de E ) comme étant la direction de H
−→
6. qui induit donc une distance sur E: ∀A,B : d(A,B) =|| AB ||
Mathématiques
page
chapitre : géométrie affine
11
Remarque 6 Il devient donc inutile de préciser affine lorsqu’on désigne une isométrie d’un espace affine euclidien.
D Isométries du plan affine euclidien
Dans tout ce chapitre on désigne par E2 le plan affine euclidien de dimension 2 et E2 le plan euclidien associé.
D.1 Autour des déplacements
On complète ce qui a été fait sur les isométries affines dans le cas général par :
Définition 15 On appelle isométrie directe ou déplacement (resp isométrie indirecte ou antidéplacement ) de E2 une isométrie de E2 de déterminant 1 ( resp -1 ) ( note a )
a On
→
−
désigne par déterminant de f et on note det(f ) le scalaire det( f )
Remarque 7
1. L’ensemble des déplacements de E2 est un groupe comme noyau du morphisme de groupe
.
det : Iso(E2 ) →
f 7→ det(f )
→
−
2. Il est immédiat qu’une isométrie f est un déplacement ssi f ∈ SO(E2 ).
3. Il est tout aussi clair que le produit de deux antidéplacements ( resp d’un déplacement et d’un antidéplacement ) est un déplacement (resp antidéplacement).
Pour la définition suivante il est nécessaire d’orienter E2 ( ie E2 ), ce que nous faisons pour toute la suite .
Définition 16 Soit A ∈ E2 et θ ∈ . On appelle rotation de centre A et d’angle θ l’unique (
note a )application affine de E2 fixant A et de partie linéaire rθ ( note b ). On note RotA,θ une telle
application.
a On rappelle qu’une application affine est entièrement déterminée par sa partie linéaire et l’image d’un point quelconque
b On rappelle qu’il s’agit là de la rotation vectorielle d’angle θ
Remarque 8 On a donc par définition :
−−→
∀M ∈ E2 : RotA,θ (M ) = A + rθ (AM )
Dessin
Proposition 20
1. Une rotation est un déplacement.
2. On a RotA,θ = IdE2 ssi θ ≡ 0 (mod 2π).
3. Soit f une rotation différente de IdE2 , A,A0 dans E2 et θ,θ 0 des réels . On suppose que f = RotA,θ . Alors
f = RotA0 ,θ0 ⇐⇒ A = A0 et θ ≡ θ 0
(mod 2π)
Une telle rotation possède un unique point fixe, son centre.
Remarque 9 Une rotation différente de IdE2 possède donc un unique centre et son angle est unique modulo 2π.
Mathématiques
chapitre : géométrie affine
page
12
Le théorème central de cette section est le suivant:
Théorème 1 Classification des isométries directes de E2
Les isométries directes de E2 sont les rotations et les translations.
D.2 Quelques propriétés des réflexions
Une première propriété pas très surprenante:
Proposition 21 Etant donnés deux points distincts A et B de E 2 , il existe une
unique réflexion qui transforme A en B : la réflexion par rapport à la médiatrice de [AB].
Comme en vectoriel, le rôle joué par les réflexions est essentiel pour décrire les déplacements :
Théorème 2
1. Le produit de deux réflexions de droites parallèles est une translation et le produit de deux réflexions de droites non parallèles est une rotation
( de centre le point d’intersection des deux droites )
2. Tout déplacement est le produit de deux réflexions . On peut même préciser :
(a) Si u ∈ E2 et que D est une quelconque droite perpendiculaire à u alors en
posant D 0 = t u2 (D) on aura tu = RefD0 ◦ RefD .
(b) Si A ∈ E2 , θ ∈ et que D est une quelconque droite passant par A, alors
en posant D 0 = rotA, θ (D) on aura RotA,θ = RefD0 ◦ RefD .
2
Remarque 10 Bien entendu il n’y a pas unicité d’une telle décomposition.
Exemples 5
1. Composée de deux rotations
Soient O1 er O2 deux rotations de E2 , θ1 et θ2 deux réels. Déterminer l’application affine
f = RotO2 ;θ2 ◦ RotO1 ;θ1 .
→
−
2. Soit D une droite affine de E2 et u ∈ D ⊥ . Déterminer
tu ◦ Ref D et Ref D ◦ tu
E Similitudes directes du plan affine euclidien
E.1 Classification
Définition 17
1. On appelle similitude de rapport k ∈
E2 → E2 qui multiplie les distances par k ie telle que
∗
+
de E2 une application affine f :
∀ (A,B) ∈ E2 × E2 : d(f (A),f (B)) = kd(A,B)
2. On dit par ailleurs que la similitude f est directe ( resp indirecte ) lorsque det(f ) > 0 ( resp
det(f ) < 0 ) .
Remarque 11
1. On remarquera que le 2 de cette dernière définition sous-entend qu’une similitude est inversible ce qui est bien le cas.
2. Soit f ∈ Af f (E2 ,E2 ) . Alors
→
−
f est une similitude de rapport k ⇐⇒ ∀x ∈ E2 :|| f (x) ||= k || x ||
3. Peut-on se passer du terme affine dans la définition?
Exemples 6
1. Les isométries directes ( resp indirectes ) sont des similitudes directes ( resp indirectes ) de
rapport 1.
2. Une homothétie de rapport k 6= 0 est une similitude directe de rapport | k |.
Mathématiques
page
chapitre : géométrie affine
13
Le théorème central de cette section est le suivant:
Théorème 3 Classification des similitudes directes de E2
Soit f une similitude directe de E2 de rapport k :
1. Si k 6= 1 alors f possède un unique point fixe Ω et il existe θ unique à 2π
près tel que
f = hΩ,k ◦ RotΩ,θ = RotΩ,θ ◦ hΩ,k
Ω et θ sont alors respectivement appelés le centre et l’angle de la similitude ( directe ) f .
2. Si k = 1 alors f est une rotation ou une translation.
Remarque 12
→
−
On remarquera que seule la translation (de vecteur 6= 0 ) n’est pas une similitude à centre.
E.2
Propriétés
Proposition 22 Effet d’une similitude directe sur les angles et les aires
1. Les similitudes directes conservent les angles orientés ie pour f similitude directe :
−−−−−−\
→ −−−−−−→ −−
→ −→
\
∀(A,B,C) ∈ (E2 )3 , deux à deux distincts : f (A)f (B),f (A)f (C) ≡ AB,AC (mod 2π)
2. Les similitudes directes multiplient les aires par k 2
Remarque 13
1. On peut montrer que les similitudes indirectes on le même effet sur les aires et transforment
un angle en son opposé .
2. Pour clore cette section on n’ouliera pas la description des similitudes directes rencontrées en début d’année
et qui disait on le rappelle :
Proposition 23 description des similitudes directes à l’aide des complexes
On munit E2 d’un rond R ce qui permet d’identifier E2 au plan complexe ( ie on
identifie M = (x,y)R et z = x + iy ).
Alors f est une similitude directe ssi son expression complexe est de la forme
f (z) = az + b avec (a,b) ∈
∗
×
.
De plus
(a) |a| est le rapport de f
(b) f est une translation ssi a = 1 auquel le vecteur de la tranlation est le vecteur
d’affixe b
b
et l’angle
(c) Si f n’est pas une translation alors le centre de f a pour affixe
1−a
de f appartient à arg(a).
F Isométries de l’espace affine euclidien
Dans tout ce chapitre on désigne par E3 l’espace affine euclidien de dimension 3 et E3 l’espace euclidien associé.
F.1 Autour des déplacements
On commence par quelques définitions et propriétés analogues à celles rencontrées en dimension 2 :
Mathématiques
page
chapitre : géométrie affine
14
Définition 18 On appelle isométrie directe ou déplacement (resp isométrie indirecte ou antidépacement ) de E3 une isométrie de E3 de déterminant 1 ( resp -1 )
Remarque 14
1. L’ensemble des déplacements de E3 est un groupe comme noyau du morphisme de groupe
.
det : Iso(E3 ) →
f 7→ det(f )
→
−
2. Il est immédiat qu’une isométrie f est un déplacement ssi f ∈ SO(E3 ).
3. Il est tout aussi clair que le produit de deux antidéplacements ( resp d’un déplacement et d’un antidéplacement ) est un déplacement ( resp antidéplacement ).
Pour la définition suivante il est nécessaire d’orienter E3 ( ie E3 ), ce que nous faisons pour toute la suite .
Définition 19 Soit D un axe orienté ( note a ) de E3 et θ ∈ . On appelle rotation d’axe D et
−
d’angle θ toute application affine de E3 fixant au moins un point de D et de partie linéaire Rot→
D ,θ
( note b ).
a Par
b On
→
−
définition D est orienté par le choix d’une orientation de D
→
−
rappelle qu’il s’agit là de la rotation vectorielle d’axe D et d’angle θ
Remarque 15
1. On remarquera que pour l’instant il n’existe pas une unique telle rotation . En effet, il en existe
à priori autant qu’il y a de points sur D . Par contre , les rotations ainsi définies ont toutes la même partie
−
linéaire ( Rot→
).
D ,θ
Nous verrons à la prochaine proposition que toutes les rotations ainsi définies sont en fait égales.
2. On a donc par définition pour A ∈ D fixé par une telle rotation f :
−−→
− (AM )
∀M ∈ E3 : f (M ) = A + Rot→
D ,θ
Dessin
Nous listons maintenant quelques propriétés essentielles :
Soit D un axe orienté de E3 et θ ∈
Proposition 24
1. Toutes les rotations définies dans la définition 19 sont égales.
On note alors RotD,θ l’application affine ainsi définie
Un cas particulier : on appelle retournement toute rotation d’angle π .
2. RotD,θ est un déplacement laissant D invariant point par point.
3. On a RotD,θ = IdE3 ssi θ ≡ 0 (mod 2π).
4. Soit f une rotation différente de IdE3 , D un axe orienté de E3 et θ,θ 0 des réels .
On suppose que f = RotD,θ . Alors
D = {M ∈ E3 ,f (M ) = M } et f = RotD,θ0 ⇐⇒ θ ≡ θ 0
(mod 2π)
5. Soit P un plan orthogonal à D et O = D ∩ P . Alors RotD,θ restreinte à P induit
la rotation de P ( orienté par D ) , de centre O est d’angle θ .
Mathématiques
chapitre : géométrie affine
page
15
Remarque 16 Soit RotD,θ une rotation 6= IdE3
1. D est appelé un axe et θ un angle de la rotation RotD,θ .
2. RotD,θ possède un autre couple d’axe-angle obtenu en orientant D en sens contraire et en changeant θ en
−θ.
Définition 20 Soit D un axe orienté de E3 , θ ∈
θ et de vecteur u , l’application RotD,θ ◦ tu
Remarque 17
→
−
et u ∈ D . On appelle vissage d’axe D , d’angle
1. Dessin
2. On remarquera que les applications RotD,θ et tu commutent.
F.2 Classification des isométries directes de E3
Proposition 25
1. Tout déplacement de E3 possèdant au
moins un point fixe est une rotation.
→
−
2. Soit D un axe orienté de E3 , θ ∈ \2π et v ∈ D ⊥ . Alors
tv ◦ RotD,θ est une rotation d’axe parallèle à D et d’angle θ
( si l’axe de cette nouvelle rotation est orienté comme D ) .
Pour finir le théorème central de cette section:
Théorème 4 Classification des isométries directes de E3
Les isométries directes de E3 sont les vissages.
Remarque 18
1. Comment caractériser l’axe?
considère les droites de E3 :
Exemples½7
1. Soient (α,h) ∈ 2 . On ½
x sin α − y cos α = 0
x sin α + y cos α = 0
0
D:
et D :
, et on considère la transformation:
z=h
z = −h
f = RetD0 ◦ RetD .
Déterminer les éléments caractéristiques de f .
2. Dans chacuns des exemples suivants, reconnaitre f : E3 → E3 qui à M (x; y; z) associe f (M ) = M 0 (x0 ; y 0 ; z 0 ),
et préciser ses éléments caractéristiques:
 0
 0
 0
 x = −z + 2
 x = −z − 2
 x = 13 (−2x − 2y + z + 1)
y 0 = −x + 1 et c)
y 0 = −x + 1
y 0 = 13 (−2x + y − 2z + 2) ; b)
a)
 0
 0
 0
z =y+1
z =y+1
z = 13 (x − 2y − 2z + 1)
Mathématiques
chapitre : géométrie affine
page
16
F.3 Quelques propriétés des réflexions
Une première propriété pas très surprenante:
Proposition 26 Etant donnés deux points distincts A et B de E 3 , il existe une
unique réflexion qui transforme A en B : la réflexion par rapport au plan médiateur de [AB].
dessin :
Encore une fois, le rôle joué par les réflexions est essentiel pour décrire les déplacements :
Théorème 5
1. Le produit de deux réflexions de plans parallèles est une
translation et le produit de deux réflexions de plans non parallèles est
une rotation ( d’axe supporté par l’intersection des deux plans )
2. Tout déplacement est produit d’un nombre pair de réflexions.
dessin :
Remarque 19 Bien entendu il n’y a pas unicité d’une telle décomposition.
G Compléments de géométrie dans l’espace
E3 est muni ici d’une structure euclidienne . Dans cette section , tous les repères considérés sont des ROND.
G.1 Autour des droites et des plans
z Distance d’un point à un plan.
– Soient M un point de E3 et π un plan de E3 . La distance de M à π est par définition la longueur M H
où M est le projeté orthogonal de M sur π. C’est aussi la plus petite des distances M M 0 lorsque M 0
parcourt π. On la note d (M,π).
Mathématiques
chapitre : géométrie affine
page
17
→
−
– Si π est le plan de vecteurs directeurs (−
u ,→
v ) et passant par A, on a :
¯h
−−→i¯¯
¯ →
−
u ,→
v ,AM ¯
¯ −
.
d (M,π) =
−
−
k→
u ∧→
vk
– Il découle que si ax + by + cx + d = 0 est une équation de π et (xM ,yM ,zM ) sont les coordonnées de M ,
alors :
|axM + byM + czM + d|
√
d (M,π) =
.
a2 + b 2 + c 2
En particulier, si l’équation est normale :
d (M,π) = |axM + byM + czM + d| .
– On en déduit, si π est le plan passant par A, B et C, trois points non alignés de l’espace :
¯h−−→ −→ −−→i¯
¯
¯
¯ AB,AC,AM ¯
°
°
d (M,π) = °−−→ −→°
.
°AB ∧ AC °
z Distance d’un point à une droite.
– Soient M un point de E3 et ∆ une droite de E. La distance de M à ∆ est par définition la longueur M H
où M est le projeté orthogonal de M sur ∆. C’est aussi la plus petite des distances M M 0 lorsque M 0
parcourt ∆. On la note d (M,∆).
−
– Si ∆ est la droite dirigée par →
u et passant par A, on a :
°
−−→°
°
°→
u ∧ AM °
°−
.
d (M,∆) =
−
k→
uk
G.2 Sphères
– Soit ω un point de E et R un réel positif. La sphère S de centre ω et de rayon R est par définition l’ensemble
des points M de E tels que ωM = R.
– Lorsque R = 0, la sphère est réduite au singleton {ω} et est appelée sphère-point.
– L’intérieur de la sphère est l’ensemble des points M de E tels que ωM < R, l’extérieur de la sphère est
l’ensemble des points M de E tels que ωM > R.
– Soient A et B deux points de S. On dit que [AB] est un diamètre de S lorsque ω est le milieu de [AB].
G.2.1
Équation cartésienne d’une sphère
– (Nous sommes toujours dans un repère orthonormal). Le cercle S de centre ω = (a,b,c) et de rayon R est
2
2
2
l’ensemble des points M de coordonnées (x,y) tels que (x − a) + (y − b) + (z − c) = R2 qui s’écrit encore
2
2
2
2
2
2
2
x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + a + b + c − R = 0.
Réciproquement, l’équation x2 +y 2 +z 2 −2ax−2by−2cz+d
cercle ssi a2 +b2 +c2 −d ≥
√ = 0 détermine un unique
2
2
0 ; c’est alors le cercle de centre (a,b,c) et de rayon R = a2 + b2 + c2 − d. Si a + b − c < 0 l’ensemble des
points vérifiant l’équation est vide.
³−−→ −−→´
– Si S est de diamètre [AB], on a la caractérisation : M ∈ S ssi AM | BM = 0.
Cela permet (entre autres) d’écrire une équation cartésienne de S :
.
(x − xA ) (x − xB ) + (y − yA ) (y − yB ) + (z − zA ) (z − zB ) = 0
Mathématiques
G.2.2
chapitre : géométrie affine
page
18
Intersection d’une sphère et d’une droite
z Les différentes configurations possibles.
Soient S une sphère de centre ω et de rayon R > 0 et D une droite. Nous distinguons trois cas :
– Cas 1, d (ω,D) < R : S et D sont sécants ; leur intersection est constituée de deux points A et B tels que
q
2
HA = HB = R2 − d (ω,D) , où H désigne le projeté orthogonal de ω sur D.
– Cas 2, d (ω,D) = R : S et D sont tangents ; leur intersection est un singleton : le point de tangence est le
projeté orthogonal de ω sur D.
– Cas 3, d (ω,D) > R : S et D sont disjoints ; leur intersection est vide.
z Droites tangentes en un point d’une sphère.
Soit M0 = (x0 ,y0 ,z0 ) un point de S. Les droites tangentes à S en M0 sont les droites passant par M0 et
−−→
dirigées par un vecteur non nul orthogonal au rayon ωM0 . Il y en a une infinité ( Faire tourner la droite D
dans le cas 2 ci-dessus façon "hélicoptère" ).
G.2.3
Intersection d’une sphère et d’un plan
z Les différentes configurations possibles.
Soient S une sphère de centre ω et de rayon R > 0 et π un plan. Nous distinguons trois cas :
– Cas 1, d (ω,π) < R : S et π sont sécants ; leur intersection est un cercle du plan π non réduit à un point :
q
2
son centre est le projeté orthogonal de ω sut π et son rayon est R2 − d (ω,π) = r .
– Cas 2, d (ω,π) = R : S et π sont tangents ; leur intersection est un singleton : le point de tangence est le
projeté orthogonal de ω sur π.
– Cas 3, d (ω,π) > R : S et π sont disjoints ; leur intersection est vide.
z Plan tangent en un point d’une sphère.
Soit M0 = (x0 ,y0 ,z0 ) un point de S. Le plan tangent à S en M0 est le plan orthogonal à (ωM0 ) passant par
M0 . On en obtient ainsi facilement une équation cartésienne :
Mathématiques
G.2.4
chapitre : géométrie affine
page
19
Intersection de deux sphères
z Les différentes configurations possibles. Soient S et S 0 des sphères de centres ω et ω 0 et de rayons R > 0 et
R0 > 0 respectivement. On suppose de plus que R 0 ≤ R.
– Si S et S 0 sont concentriques (ω = ω 0 ) alors :
– Cas 1, R0 < R : S 0 est dite intérieure à S, S ∩ S 0 = ∅ ;
– Cas 2, R0 = R : S = S 0 .
– Si S et S 0 ne sont pas concentriques (ω 6= ω 0 ) alors :
– Cas 1, ωω 0 < R − R0 : S 0 est dit intérieure à S, S ∩ S 0 = ∅ ;
– Cas 2, ωω 0 = R − R0 : S 0 est dit tangente intérieurement à S, S ∩ S 0 est un singleton ;
– Cas 3, R − R0 < ωω 0 < R + R0 : S et S 0 sont dits sécants, S ∩ S 0 est un cercle ; comment déterminer
géométriquement le centre et le rayon de ce cercle?
– Cas 4, ωω 0 = R + R0 : S 0 est dit tangent extérieurement à S, S ∩ S 0 est un singleton ;
– Cas 5, ωω 0 > R + R0 : S 0 est dit extérieur à S, S ∩ S 0 = ∅.
Les dessins sont analogues à ceux du plan, mais en relief.