solution riven

C. R. Acad. Sci. Paris, r. 325, Serle I, p. 307-812, 1997
Problernes rnathematiques de la mcc<Ulique/MallJemaficill Problems in Mechanics
,
Ecoulcrncnt engeridre par Ic vent
.
et Ia force de Coriolis dans un domaine rrunce
I Cas sta.tiormnire
nidip.· BBESCH, J.;.·;)UW LEMOINE et Ja(:'1lJes SlMON
L" I"' I'HI"i 1'(" .I.. ,\'Tn I 1":'l'n "I i'l n," AJI!,lillll [" ' ~'
Ullin'",;;' " BI"iso'-I'''s",,1 ((I, ·,·mont- F'·I.,.""d II)
(,:{177 Auh ip]"(' C"d ,·x. Fran. :«.
Resume.
<-I
(NBS.
On mont re que la solu tion des equations de Navier-Stok es station naires avec adherence
au fond e t traction pa r le vent en surface. co nvcnablemeut adimcn sionnalisce. converge
vers une limite 3D q uand la pro to udeur tend vers n. On ex plici te la limite en Ionction
de la coordonnee vertica le et de la press io n limite. qui lie de pend que ties coordonnees
hori zo ntalcs . La pressi on limite est gouvcrncc par une equation 20 sur la surface
dcg cncrant sur Ie rivagc, qu' on rcsout dans un cs pacc il po id s.
driven b)' willd euul. fly Corio[i... [orce
in (t tlun. domain:
I Sta.tionary case
j}folifHl
Abstract.
lVe {HOI 'e that tlu: so lution of th« N uvicr- Stokes eq uations with culhercn c« III bo ttotn
and tract ion by wind at SU I.1i /C (' go('s I (J 1/ 3D lim it \\'h ('11 ih« d ep th goes / 0 O. once
convenicntlv adiincn sioualirrd. The value ( ~r the limi! is given ill term s oj' vertical
coord ina te and lim it pressure , which dep en ds on I," 01 1 tlu: horirontal coordina tes. The
lim it pressu re IS d riven by a 21) equ a tion U II the surfa ce degenen uing Oil the shor e,
whtch is so lved in (/ wei gh led splice.
Abridged English Version
I nt roduction
We are interested in the behavior at the solut.on of the stationary Navier-Stokes equations when
the aspect ratio of the domain goes to O. The limit model which is derived here ;;ive, a 3D
inform ation - vertical variations on the horizontal velocity, vertical velocity for the simple cost
of a 2 D computation.
Note presentee par (;cl'3rd 100_".
807
D. Bresch, J, Lemoine et J. Simon
Numerical simulations are running (see [4 J). They show that the expressions (10 ) and (JS) of the
velocity give a good feature of the driving by the wind at the sur face and of the forward motion at
the bonom , and of the horizontal and vertic al deflectio n of the fl uid by the submarine topography.
Simplified model for a lake
The tluid occupies a domain d = {(:r., z) : :l: E F. -h (:c ) < Z < O}, I' being an open bounded
set in fr~ . The horizont al velocity 'I) = ('OJ , '1)2). the vertical one 1lJ, and the pressure 1) satisfy the
Navier-Stokes equations (I) in d, the adherence condition v = 0, 111 = (J on the bottom f , and the
traction condition 1/ z "/) = g, 111 = 0 on the surface 8. The force due 10 the wind 9 = (9 1, g..,,)
satisfies It 1/29 E (£ 2(1')2 , the depth It is on Iy assumed to he conti nuous on
and no regularity
is required on Df .
Pro position 2 provides the existence or a variational soluti on ("/I , 'Ill) in the clos ure E (Ii ) for the
£2. nonn of derivatives of the space [(,I) of divergence free smooth functions defined by (2) , A
pressure 7) E
Ii ) is uniquely asso ciated, up 10 an additive constant, to each solution .
u
r
u.:
z
5
----~---
h(x) :
f
I
Asymptotic analysis
We a-xurne that Ii. = e ll , e --+ 0, e / I) - l O. kc"l / /)
K, Ie' £ 3 / I) --+ () (see [8 ], p. 190). and
= 1/ G'/e in order to get a velocity of order I. We use the scalin g X = :r. Z = z j e to get
a fixed domain D = \( X , Z) : X E I', - H (X ) < Z < O} and we rescale the soluti on to be
V" ( X . Z)
v (.l:, z ), IV '"(X, Z ) - W(:L:. Z)/c:. and P €(X ,Z)
e2]J(:I:, Z)/ I/ .
In the first main result (Theorem 2). we cla im that (V ' , W E" . p ,")
(V, W , IP ) weakly in
(£ 2(D ))2 x H - 1(U ) X L ~;: (D). where ( V, W ) is the unique solut ion in F (D ) of the 3D varia tional
equation (8), and P is uniquely defined by (9). up [0 an additiv e constant.
T he space F(D) is the closure of [ (D ) for the norm U~) laz V I2dX dZ )I /2.
--+
.y
=
=
--+
Explicit solution in terms of Z and V P (X)
The second main result (Theorem 4) gives explicitely the limit solutio n in the lack of Coriol is force,
that is for f( = 0: if D is starshaped with respec t to one point of 8 . then P is the unique solution of
the 2D variational equation (13) in the weight ed space A ( r ) defined by ( 12), and (V, W ) is give n by
the exp licit formulas (10), where R = -Z(T-/(X) is the relati ve depth in D.
More genera lly, when [he Coriolis force is taken into account. P is solution of the 2D equation (17)
and ( V, W) is given by the formuJas ( 15). where M v , . .. , N p are 2 x 2 matrix of the form 111.[ + n.B,
111, and 'It being scalar functions of U and l-/(X), I being the identity matrix, and B a rotauon matrix .
Their exp ressions bein g too long to be given here. the reader is referred to [5].
For evolution problems. conv ergence result s similar to those brought up here hold. ,1'((' 151, but the
limit solution is no longer explicit ; only approached solutions are explicit.
808
Ecoulement dans un domaine mince -
Cas statiormaire
1. Introduction
On s ' inlercssc all com porteme nt de la solution des equations de N avicr-Stokes stationnaires lo rsquc
lc rapport daspcct E du dornaine tend vel's 0.
0 11 etablit (theoreme 2) la convergence de route solution variarionnclle (F E, W' E, PE).
convc nablement adimcnsionnaliscc dans un do maine de referenc e D, vers lun ique solution (V , W , IP' )
d' un problcmc variationnel 3D. On rnontrc que IP IlC depend pas de la coordon nce vcrtic alc Z CI esl
gouvernee par une equation 20 Sur Ia surfa ce I' degcnerant sur uf, qu'on resout dans un cspacc :1
poids (p roposition 3). On cxplic i te (V . W )( X , Z ) en fo nctio n de P ( X ). de la pr orond cur H(X) et
de la profondeur relative R = - Z / H ( X ). d'abord en negligeant la force de Coriolis (tbeoreme 4)
pUIS ell l a preuant c n compte (t hcor emc 6) .
On n' impose aucunc rcgul ariic sur Uf Cl a n suppose seulement que la protondeur H est continue
sur
ct que la force G , due au vent. veri fie [-[ 1/ 2 0 E (L2(f )f .
r
hllh(~1 du resultat obtenu , - On obti ent une informat ion tridirncnsionnelle - variations vcrticalcs
de la vitesse hor izon tale, vitessc verticale - au scu l prix d'un calcul bidimcnsionnel, Des simulat ions
numeriqucs sont en cou rs (voir [4 D. Elks rnontrcnt que lcs expressions ( 10) et ( 15) de la vitesse
rendcnt bien compte de l' entralnernent par Ie vent en surface et de son retour par le fond. ct de la
deflex ion hor izontale ct vcriicale du fluid c par les rel iefs sous-rnariu-.
Pour lc problerne d'evolution , Oil a des resultats de conve rgence analo gues a ceux preserues ici,
voir [5]; en re v anch e, on ne sail plus expliciter la solution limite, mais des soluti ons approchccs,
Resultats antericurs. - Pour un problcme de lu britication, une analyse asyrnptotique vois i ne de l a
notre sans force de Coriolis est effe ctu ce dans [ I ). Ellc fournit unc equati on en P> non degeneree au
bord, l a hauteur ayant un minimum strictcment positif (l'ccan entre les pieces). On observe. dans
certain s rnodeles oceani ques, la memc hypothe se H ~ H n > n (vo ir [7 ]. p. 101 6). Pour une grande
vi scosite hor izontalc, la limi te (n on cxpl icitc) est obtenuc dans 121 et [ 3] .
D e nornbreux travaux considerent le problerne devolution dans un dom ai ne de hauteur constante
(v oir 16], [9 ] et sa bibliograph ic), ce qui ne decrit pas notre probl cme pour lcqucl Ie relie f est csscntiel .
2, Modelisation simplifiee d 'un lac
Le ftuide occupe Ie domaine suivant de il l :
d
= {(:I:, z ) :
.n E I' . - 11.(:1:)
< z < U},
r,
r
all
est un ouvcrt borne de R ~ et all ]<1 profon deur h est line fonc tion continue sur
posit ive sur ['
et nullc sur uf. La froniiere est ad ::::: f U 8 U U8, OU le fo nd f. la surface s et Ie rivage
sont
f = {(:I: . - II (;1: )) :
La vi tcssc hori zonta lc
11
:1:
E 1'} ,
8
= {( :1:. (J) :
= CI' I- 'IJ:!), la
:1;
E T},
vitcssc vert icale
'1/1
Us = UI
os
= {(:/:. 0) : :1; E iJI'}.
et la pression 1) sarisfont Ics equations
de Navier-Stokcs stationnaircs qui secrivent. dans d :
+ u;v) + I,:.IJ 11 + k' m e + Cu, \7) 'U + 111 U" V + \7p = 0,
-1/(.6.W + D;w ) - J/Vl + (11 ' \7) III + WU;;. 'W + () ,,]J = (),
-1/ (6 v
(1)
{
\7 . 'If
+ 0;;. II! = O.
809
J. Lemoine et I. Simon
D. Bresch,
ou V
et
i/
= (U/ ih: ] , D/ih:'!. ), .6 = \7 • V , iJo = iJ/ iJz,
13('1/], '112 ) = ( - 'lJ2. 'ud, C = ( 1. 0). l: 2: 0, /;;' 2: 0
Elles sont co m pletees par les co nd itions dadbere nce au fon d et de tract ion horizoru al. :
> n.
en surface
'() = U.
au .II
all
= (Fi t · 9 2)
U sur [ ;
CSI une toncuon donnee, la
I
1/
iJ; V = rJ ,
W
= 0 sur " .
orce ex ercee par Ie vent sur .'-;. On suppose que
notc :
£ (11 ) = {( 'fl. 'III ) E (C"''(J)f x C Cd) : \7. /} + i) o ll! = 0,
(II. 1J) ) = 0 sur un voisin agc de [ , II! = () sur 8 }
(" )
el
'W -
£ (11 ) la terme ture de [ (rl) pour la norme (L Iv 012 + l\7wl2 + iJo',f
liJo wI2t1:/: tlZ )I / 2.
On demontre par lineari sation et point fixe Ie resu ltat dexisten ce et d'unicite suivant :
PROPOSITION. - II existe uue solut ion (v , 'I V ) E E (rl ) de : V(i.p,If;) E J:; (d ),
. 1/
./ <1
(3)
{
TUfA/e
+
(vv . Y tp + V'll" V I!; + a;'/! . iJ, <p
1
k Iln . ip
+ u"wiJ; ~~) + J/( w <PI
-
/1 ] 1;) I!;}: de
+ «(1; ' v + 1IJ Dz ) '11 ) • (p + ( Cll ' \7 + w D, ) 1IJ ) 11 du:d.z
=
!
g.
i.p da:
solution verijiC'
(4)
Elle
<'ST
unique' si
011 Ii' (' ST line coustante univers clle. A chaque solution correspond une pression JI E
(/ une (' O/1 SW/1/(! additive pres. verifiant (l).
Lfo,J d ). unique
3. Analyse asyrnptotiq ue
On s uppos e le rappor t daspec t E: petit, lc nombre de Rossb y gra nd ( vo i r (8 ). p. 190).
assc z grand pour que la vitesse res tc d' ordre I :
(5)
h
= ell ,
E ----->
O.
E / l/ ------>
O.
hE2 /1/
--+
1<.
k
, :.l
E / r/ ~, O .
,Il --'
1/
X = :/:,
Z
.e vcru
«
1/
G / E.
La viscositc peut etre pe tite (cesr phy siq ucm ent le cas), cest-a-d ire 1/ ------> (J POllrvll que
et f( peut sannuler (n I'equateurl. On effectue Ie changemeut d 'echelle ve rt ica le :
(v )
,. :l
E
«
= z ]e,
(I se ramcncr au domaine fixe D - { ( X. Z ) : X E r . -J/ (X ) < Z < OJ . et
ad imensionna lise Ja vitesse vertica le et la pression tra nsp ortecs, Plus cxacte meru. on dcfinit :
de facon
1
all
So it F(D ) 1a fcrmct ure de «D ) pour la normc U~_ ) !U;: Ilj' r/.Yo'? )" " . cest un espacc de Hllhen.
810
Ecoulemenl dans un domaine mince
Cas stationnaire
On a Ie resultat de con vergence des so lutions vuriati onnell cs suivant :
T I I E() R f:: ~ I E 2. - On suppos« (5). L'image par les cha ngement s d '£;che//e (6) et (7) de toutc solution
(II, '11' .11) d cjinie d(1!!.I' /0 pm!J(}sitioll I ven} il':
(V, W ) est l 'unique distribution da ns F(D ) de : V(1' , If! ) E F ( D ).
Oi l
(s)
/
1
G· <J! «x.
. iJz V· (}z W + J( D V· 'hl X dZ =
J'
. I)
et
011.
eSI / 'unique elemein.
(!J)
a une constante additi ve pre s.
'VP
= J~ V -
f{
veritiant :
n\! . (Jz P
= O.
Prin cip e de demonstration , - L'cxistence ct l'unicite dunc solut ion de (R) et (9) rc<; ;illcnl des
theorernes de Lax -Milgram er de de Rharn . Oil passe ~I la limite dans lcquui.on variationnellc s ur
(\/ " , I·F " ), qui est l' 1Il1<l~e de (3) p<lr lcs changements dcc hclle. en uti lis.nu i' ine::::ahlc dcncrgie
linage de (4).
Remarquc. - Ce result.u donne des hypotheses rigoureuses de validite de lapproxirnation
hydrosuuiquc iJ7..' :- I), et de l ' uppro ximation de la force de Cor ioJis par la contr ibuti on de 1<1
composante vcrticale de la rotation de fa ter re (cest-a-dire n x (v , w ) est approche par n, x (11 . 0 ) ).
qui sont obtenues par des considerations phy siqu es dans [8 J, p. 49.
R(!/lWn!IIf'. - La cond itio n du nici rc de ((1~, '(f} ~ ) , done de (F e. TF e), donncc dans la proposi tion
n est 1.1.1 .<, "ill isfaite quand 1/ -> O. En CfrCI, elk s' ecrit (fJ Il 1a x ) 1/21 1H I /2ell(I. ! ( I") ! < ,til.
4. Solu tion expl icite ell Z et 'VIP'( X ), ell ] "a bsence de force de Corio] is
=
O. l'cquat ion (9) coupl ee avec 'V. V
Lorsque K
,'-,' ct V
0 sur F . donne, Ionn cllcmcnt,
=
+ uz W
= 0 da ns D, uz V
= Get
W
=
0
Sill'
( 10)
ou H = - Z j H ( X ) CSI la prorondeur relau ve dans D . La condi tion V = () sur F couplcc avec la
null ite du fl ux de .f~ n V rlZ il trav ers {}r don ne alo rs I' equation 2D dans I' :
( II )
\7.
(
I ? )= o.
:;,] H 3 \7P - 7j ll -C
1 2 ')
1 3
( -J H v IP - -:2
H e ·
n Dr
= O.
On dcfinit line solution vuriation nellc de cctt e equ atio n dans l' cspac c de Hilbert
( 12 )
ou
1"'0
est
Ull
ouven lipschitzien non vide inclus d.ms I'.
B11
0, Bresch,
J,
Lemoine el
P ROPOSITION
J. Simon
3. - II existe line solution uni que IP
E
r
( I ;~ )
A ( f) de :
V:=:
E
A(1').
r
I I ( I"V P . v =. rlX =
~ H 2G . V =' rlX.
Jr3
.Ir 2
La resolution explicite en Z et 'VP (X ) ci-d cssus , cst jusun ee par le result at suivant :
T I IEORE/o. IE 4. -
On suppos e que
D
etoil« pal' rapport iJ un point de S .
('SI
Alors, P etant (h'/mi par (13), [es [ormules (10) dlpni.I'selil l'unique solution (V. W) E F( D) de
(8) et (9 ) .
a
Prin cipe de d enum stration , - On verilie que (V. IN), dcfini p:t1 (10), appurtient
F (D) en
consrru i sant des approximations par sym ctri sation et convolution. II ne restc plus, ensuire, qua
verifi er qu' il satisfait l' equation variarionnelle (8).
5. Prise en compte de In force de Coriolis
Dans Ie cas ge neral
(15)
( 1G)
Ull
ohtient,
all
lier de (10) et (I I).
v = Al v v lP + NvG ,
V, (Mp v P
+-
NpC')
= O.
W
= \7. (Mw VIP + N w G ),
( M pv lP
+ N pC:) '1I Dr = 0,
lid + 11D. au tri er
ou M«, N v • . . .. N I' sont des matrices 2 x :2 de la form e
n sonl des fonctions
scalaires de Il. 11(X) et K. 1 est la matrice identite et B la matrice de rotat ion dej a vue. Leurs
expressions clam trop tongues pour erre donnees ici , Ie lcctcu r sc rc portc ra it [5 ]. L a f, .rrnu 1 ~lt l(111
var iationnclle 2D en P est :
( 17)
rM
Jr
vp · v:=: dX
= -
r
Jr
j\v'p G ·
v:=: «x.
La representation cxplicitc en Z ct V IP (X) ci-dcssus, es t ju stificc par le resultat suivant, dont la
demon stration est ana logue a celles de la proposition 3 et du theorerne 4.
TH I,U [{ I,~ l E 6. - 011 suppose ( 14) . 11 exi ste (/J/(' solution unique P E A (f) de
definit I'uuiquc solution (V. W) E F ( D ) de (8) et (9).
Remerciements. Lcs auteurs rcmcrcicnt O. Besson pour des cchangcs qui
SOJ1( ;1
(17 ) .
La [ormule ( . :))
loriginc de ce travail.
Note remise lc 10 rcvricr 1997. acccprcc aprcs rev ision lc 19 aout 1997.
References bi bliographiques
I I I Assemi en A .• Ba yada G. cl Chambat M .. 1994. Inertia l e ffects in the as ymp tot ic beha vio r of a thin film no w. , 1.\) 111/!/( III('
/vial vsis, 9. p. 177-108.
(1) Besson O . et La yd i M . R., 1992. So me es tim ate, fur the anisotropic Na vie r-Stu kes equations and for the hydrostat ic
appro ximation. "1 '2 .'1 1\:. 26. 11° 7, p. 855-865.
131 O , fiCSSUlI, 1"[, R. Layd i cl TOllI.BIli R., 1990. Un modele nsymptotique ell oce.mogruphie, C. No Acad. Sci. Paris, 3 10,
xeric I. p. 66 1-665.
141 ll resch D., Echevarria R., l.ernolne J. et Simon .I. S imulation numcriquc d'u n lac. travail en cours.
15 ) Br esch D., L e m oine J. et Simon .I. Motio n o f a fluid in a thin do main. (it paraltre),
[6 ) Colin T , et Fa h r ic P.. jI)96. Rouu ing fluid 'I I high Ro ssby number dr iven by a surface stress : ex istence an d convergence.
Rapp ort Univ. Bordeaux 2, I/ 0 9600 ! .
171 Li uns .J.-L .. Te m a m R. et Walll! S" 1992, O n the eq ua tions o f the large -scale ocea n. Nonlinearity, 5. p. 1007-105 3.
18) Pl'((lus ky .I.. t\lS7. Geophvsicul jlltid dynumics, S pringer-Verlag.
19 1 Raugel (;. ct Sell G., 199.1. Nav ier- Stok es equa tions in thin 3D domaius : I G lohal au ructo rs and g lobal regularity o r
solutions. J. A 111<'1". Mal/I. Soc.• (,. n O J . p. 503-56 S.
812